江苏扬州市邗江区梅苑双语学校2025-2026学年下学期八年级数学阶段学情诊断练习

**基本信息** 以真实情境为载体，覆盖统计与概率、分式核心知识，梯度设计合理，通过水蜜桃检测、公益活动统计等真实问题考查数据意识，以分式方程应用、“分离常数法”探究培养模型观念与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|普查与抽样、概率比较、分式性质|结合垃圾分类、新能源汽车等情境考查基础概念| |填空题|10/30|分式化简、频率计算、事件类型|投壶游戏概率估计、水滴图扇形统计体现数据观念| |解答题|10/96|统计分析、分式方程应用、创新探究|水蜜桃坏果率估算、“糖水不等式”证明、“友好数对”定义探究，融合运算能力与逻辑推理|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 18 答案 B D B D 9.-4 10.x(x+2)(x-2) 11.0.1 12.0.4 13.②③① 14.③⑤ 15.42° 60001000 16 ,x+50x 17.k2-3日k≠-1 18.-1 ab2.-3a2b2（- 19.解：(1) 2c2÷ 4cd d ab24ed 3 =2c23a2b22d e,- 2(x-3) 5x2-4 =x-2"x-2x-2 2(x-3).x-2 =x-2(3+x)3-x) 、2 x+3 x-2x1 20.(1)解：x+13x+3 去分母得：3x-2x=3x+3, 解得：x=3 2 3 检验：把x=-2代入3x+3得：3x+3≠0， :s3 2是原方程的解： x-216=x+2 (2)解：x+2x2-4x-2' 去分母得：(x-2)-16=(c+2 解整式方程得：x=-2, 检验：把x=-2代入2-4得：-4=(-2-4=0 .x=-2是原方程的增根， 原方程无解. =1+a+2)a-2).a-1 1-a(a+2)2 =10-2 a+2 a+2-(a-2) a+2 4 = a+2, 由题意，a-l≠0，a+2≠0，-2≤a≤1， ∴a=0或-1， 当a=0时，原式=2，当a=-1,原式=4（两个答案有一个即可）· 22.(1)解：根据题意得0.061-，X 3000÷ 解得：x=183 305 y= =0.061 5000 故答案为：183,0.061： (2)观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在0.06左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为0.06 故答案为：0.06： (3)解：设至少需要准备n颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为1-0.06=0.94，要确保9400 颗完好水蜜桃 0.94n≥9400. 解得n≥10000 ∴.至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣. 23.(1)解：m=20÷10%=200 a%=_ -×100%=30% 20 a=30: 9h的人数为：200-20-30-60-40=50，补全条形图如图： 人数 80 70 60 60 50 % 20 10 8 10 时间/h (2)360°×30 =54° 200 答：参加公益活动时间为7h所对应扇形圆心角的度数为54°； (3)1200×」 40 600=240人)3 答：估计育华中学八年级参加公益活动的时间是10h的学生有240人. 24.(1)解：，七年级A组频数为1， ∴.B组频数为2， .C组频数为3， ∴.E组频数为6， .D组频数为20-1-2-3-6=8」 七年级测试成绩频数分布直方图 个频数 8--- 6 5 0 5060708090100成绩 又，七年级成绩中89出现次数最多， .n=89 ,八年级A组占10%， .A组人数为20×10%=2， ,八年级B组占10%， ∴.B组人数为20×10%=2 ,八年级C组成绩为73,74,74,74,74,76， .C组人数为6， ,八年级D组成绩为83,88,89， .D组人数为3， .八年级成绩从小到大排列后第10个数据为76，第11个数据为83， 76+83=79.5 2 (2)解：八年级E组人数为20-2-2-6-3=7， 7 .E组所占比例为20， 7 ∴.圆心角度数为360°× =126° 20 (3)解：：七年级不低于90分的比例为20， 六估计七年级人数为900×%=270. 20 7 :八年级不低于90分的比例为20， 估计八年级人数为920× =322 20 .两个年级共约有270+322=592人. 25.解：设走路线一的平均车速是每小时x千米，则走路线二平均车速是每小时1.8x千米， 3036,20 由题意，得x1.8x60 解方程，得x=30. 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意. 所以1.8x=54 答：走路线二的平均车速是每小时54千米. 3x-_3x+10-4=3-4 26.(1)解：x+1x+1 x+1’ .m=3,n=-4: 4r-3_4x-)+1=4+1 (2)解：x-1x-1 x-1 4x-3 :分式x-1的值为整数，且x为整数， .x-1=±1， .x=0或2； 2-3x2-3x2-3+5-3(x2+1)+5 (3)解：x2+1x2+1x2+1 =-3+5 x2+1, .x2+1≥1， 5 0<+ -≤5 -3<-3+5 ≤2 x2+1 3<2-3 -≤2 x2+1 27.(1)解：当a=3,b=2,c=1时， b+c=2+1_3_9b28 a+c3+1412’a312, 32 .43 b+c b a+c ai 故答案为：> b+e_b_a(b+c)-b(a+c) (2)解：a+ca a(a+c) ab+ac-ab-bc a(a+c) _(a-b)c a(a+c) ,a>b>0,c>0 .a-b>0,a+c>0, :ca-b）>0a(a+c小>0 b+c_bz0 :a+c a b+c b ate ai 4=9=4h6=9=% (3)解：①：4+%+， 2+%2+%, 4-=-2=-a%+%)--%y+）=2oy-2) (y+)2+) (+)y2+),由题意 y>%2>%>0y-2>04-t2>04>12 可知， ，故 ,即 ∴.乙船先返回A港 故选：B: ②由题意，a>0,b>0,c>0、 ..a+b>c,a+c>b,b+c>a, -<-a+a 由“糖水不等式”可知：a+ba+十'a+c<a+b十c'6+。a+b+, :、c b a -<-c+c b+b a+a + a+b a+c b+c a+b+c a+b+c a+b+c' +a<c+c+b+b+a+a b a+b a+c b+c a+b+c' b a -<2 a+b a+c b+c 28(解：关于x的分式方程是1=b, 2写不是方我子11的解 11 2 数对[2，不是关于x的分式方程1=1的“友好数对”： 1 x=. =-1 :3+(4)是方 3-1=-4 的解， :数对印刮是关于的分式方程=一4的友好数对。 (②)结论：m=1时，数对A-到是关于的分式方程1=b的“友好数对”， 理由如下： :Y=_ n+n-3是方程元 g”-1=n-3的解， ,n(n+n-3)-1=n-3 .n2-2n+1=0, :(n-=0 .n=1, 即n=1时，数对，n-是关丁x的分式方程1=b的“友好数对”： (3)解：：数对4]k<-3n≠0)是关于的分式方程：1=b的“友好数对”， 1 “x=4+是关于x的分式方程 4-1=的解， :4(4+)-1=m .km=3, 3 即n= k M=k-2=k-2 ÷Mk+1n+2k+13+2(k+2k+3). k N=1+在1+1。 3 3k+4 2k+3n+32k+33 +32k+3k+1(k+1)(2k+3), k k 3k+4 2(k+2) M-N=- (k+1)(2k+3)(k+1)(2k+3)(k+1)(2k+3), k<-3, .k+1<0,k+2<0,2k+3<0, :k+10(2+3)>02k+2)<0 2(k+2) ->0 .(k+1)(2k+3), .M-W>0, .M>N. 八年级数学阶段学情诊断练习 2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适合采用普查的是（   ） A．调查某市垃圾分类的情况 B．了解某班学生的跳远成绩 C．调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中学生的脊柱侧弯情况 2．云南省某市为了解本市6700名初中毕业生的身高情况，随机抽查了其中1000名学生的身高进行统计分析，下列叙述错误的是（    ） A．6700名学生的身高是总体 B．每名初中毕业生的身高是总体的一个个体 C．1000名学生是总体的一个样本 D．本次调查属于抽样调查 3．事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（  ） A．P（C）＜P（A）=P（B） B．P（C）＜P（A）＜P（B） C．P（C）＜P（B）＜P（A） D．P（A）＜P（B）＜P（C） 4．下列变形中，错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．保持不变 6．对某中学70名女生的身高进行测量，得到一组数据的最大值为169cm，最小值为143cm，对这组数据整理时测定它的组距为5cm，应分成(   ) A．5组 B．6组 C．7组 D．8组 7．某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．已知，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．4 D．6 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．分式的值为0，则x的值为______． 10．分式的最简公分母是___________． 11．已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为，则第六组的频率是__________． 12．投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到小数点后一位）． 13．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率；②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表；③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比．正确统计步骤的顺序应该是________． 14．下列事件： ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品； ②三条线段组成一个三角形； ③a是实数，则|a|＜0； ④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K； ⑤367个人中至少有2个人生日相同； ⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖． 其中属于确定事件的是 ________．（填序号） 15．李明对七年级120名同学关于节约用水方法选择的问题，进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图．如果将这个水滴图绘制成扇形图，那么表示“巧妙用水”扇形的圆心角度数是________． 16．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为________ 17．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______． 18．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（1） （2） 20．解方程． (1)； (2)． 21．先化简：，其中a为整数且，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 22．每年盛夏，水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 23．2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)_______．扇形统计图中_______．并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数； (3)若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？ 24．我市某校开展了“珍爱生命，预防溺水”知识竞赛活动，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试（百分制），测试成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，绘制了如下不完整的统计图表： 测试成绩数据分析表： 成绩 平均数 中位数 众数 七年级 84.8 88.5 八年级 81.8 74 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，86，88，88，88，89，89，89，89，92，96，97，97，98，99． 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 根据以上信息完成下列问题： (1)填空：__________，__________，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中“E组”对应扇形的圆心角度数； (3)如果该校七年级有学生900名，八年级有学生920名，这两个年级本次测验成绩不低于90分的学生共有约多少人？ 25．某班级准备组织全班同学到学校结对农场参加夏收劳动，班长从农场带回来两条信息：信息一：从学校到农场有两条行车路线，路线一全程30千米，但路况不太好，路线二全程36千米，但路况比较好；信息二：一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.8倍，走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少20分钟．根据以上信息，求走路线二的平均车速． 26．数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 27．阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重克，其中溶有糖克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（糖水浓度）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． (1)【特例验证】假设，则______．（填“>、<或=”） (2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． (3)【应用拓展】 ①已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，水流速度为，两船同向逆流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，比较的大小，可判断出先返回港的是___________． A．甲  B．乙   C．甲乙同时   D．无法判断 ②若为三边的长，证明： 28．新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小 学科网（北京）股份有限公司 $