精品解析：辽宁阜新市实验中学2026届高三考前模拟考试数学试题

2026年 高三年级 模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 96种 6. 已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种水果成熟后重量为左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出个水果，称得它们重量如下：206,200,198,205,200,200,202,,192,（单位：），重量在内的水果为优质水果，则（ ） A. 这个数据的第百分位数为 B. 这个数据的中位数与众数相等 C. 从这个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变大 D. 估计这块水果园中优质水果占 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与所成角为，则的取值范围为 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 13. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 14. 已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和（）． （1）证明：为等差数列； （2）设（），求． 16. 如图，在平行六面体 中，棱 底面ABCD是边长为2的正方形，且 （1）求证:BD⊥平面 ACC1A1； （2）求平面AB1C与平面ACC1A1夹角的余弦值. 17. 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表，若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率． （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率． 18. 已知，，函数，． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）设． （ⅰ）若的最大值为，求的值； （ⅱ）将函数的所有正实数零点按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． 19. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，且的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧． （1）求抛物线的标准方程； （2）若，求点的坐标； （3）记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年 高三年级 模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的运算求交集即可.. 【详解】由题可知，，或， 所以. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，根据复数的几何意义求解即可． 【详解】， 在复平面内对应的点为，位于第二象限． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以，所以． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】利用诱导公式 ，得： ， 故利用二倍角公式，得： . 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【详解】甲不站在两端，则甲有种站法，甲和乙不相邻，则乙有种站法， 则不同的排列方式有种. 6. 已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用换元法，设，然后由两点间距离公式计算，结合二次函数和余弦函数的性质求得最小值． 【详解】设，则 ， 所以时，． 7. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 8. 在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值. 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，点的坐标为，过点作于点， 在中，，，， 点的坐标为，是中点，点的坐标为，是中点， 点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入，得，解得， 直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得， 直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为， 根据两点间距离公式：，，， 根据余弦定理可得：，，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某种水果成熟后重量为左右，为了检测其品质，在一块水果园中，随机取出个水果，称得它们重量如下：206,200,198,205,200,200,202,,192,（单位：），重量在内的水果为优质水果，则（ ） A. 这个数据的第百分位数为 B. 这个数据的中位数与众数相等 C. 从这个水果中去掉最重的和最轻的，样本方差变大 D. 估计这块水果园中优质水果占 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知数据求出相应的第30百分位数、中位数、众数、方差判断ABC，估计出优质水果的占比判断D． 【详解】对于A，这10个数据按从小到大排列为：,192, 198, 200, 200,200,202, 205,206,，，第3与第4个数的平均值为，所以第30百分位数为199，A错； 对于B，中位数为，众数为200，B正确； 对于C，去掉最重的和最轻的数据后，各数据与均值的偏差显著变小，因此方差变小，C错误； 对于D，已知10个数据中在上的有6个，占比为，因此估计优质水果占，D正确． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若与所成角为，则的取值范围为 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据线面平行可知，点到平面的距离为定值，继而可判定； 对于B，根据题意画出截面图，计算即可； 对于C，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得的表达式，进一步计算求范围即可； 对于D，作出图形，根据题意建立方程组，解出即可； 【详解】对于A，连接 因为，平面，平面，所以平面， 又是棱上的动点（含端点），所以到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，A正确； 对于B， 如图，四边形为过的平面截正方体所得的截面图形， 因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以， 又因为分别是棱的中点，所以为的四等分点， 所以四边形的周长为，B错误； 对于C， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 所以， ， 当时，， 当时，， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，， ，，即 所以的取值范围为，C正确； 对于D，如图，连接，取的中点，连接， 设外接圆圆心为，外接球球心为，连接，则， 在中，设其外接圆半径为， 由正弦定理得，解得，即， 连接，因为 所以四点共圆，则， 设外接球半径为，过作，交于， 在中，，即①， 在中，，即②， 联立①②，解得，， 所以外接球的表面积为，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图的面积公式结合条件即可求得底面半径，再由锥体体积公式进行计算即可. 【详解】易知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为， 则，，则高． 则圆锥的体积， 故答案为：. 13. 已知幂函数经过点，函数满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数的奇偶性和单调性，即可求解不等式. 【详解】设幂函数经过点得，，所以， 即，故， 因为，且定义域为， 所以是奇函数， 又由于是上的增函数，是上的减函数，是上的增函数， 所以是上的增函数， 再由，得， 所以，解得：， 故答案为：. 14. 已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】两圆圆心，，半径，算出圆心距；由切圆知，到距离恒为，推出到距离；根据弦长公式，越大弦长越小，代入，求得． 【详解】 圆的圆心，半径, 圆的圆心，半径, ， 直线与圆相切，即定点到直线的距离恒等于， 设圆心到直线的距离为， 由定点到定距离的直线，到的距离， 则，即， 解得， 所以， 越大，越小，即取最大值时，最小， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和（）． （1）证明：为等差数列； （2）设（），求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)由即可证明数列为等差数列. (2)先利用错位相减求出解析式，再将代入即可求解的值. 【小问1详解】 证明：由题意,在数列中,， ∴,， 又满足 所以 ∴是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 在中， ， ， 两式相减得， ， ∴ 16. 如图，在平行六面体 中，棱 底面ABCD是边长为2的正方形，且 （1）求证:BD⊥平面 ACC1A1； （2）求平面AB1C与平面ACC1A1夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量数量积运算证明，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）利用空间向量数量积的运算求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在平行六面体中，令，，， 由正方形边长为2，得，而，， 则，， 因， 则，则，即， 又底面ABCD是边长为2的正方形，则，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的法向量， 则， 不妨取，得，则， 由（1）知平面的法向量， 又， ， ， 故， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表，若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率． （1）求甲同学通过测试的概率； （2）若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率． 【答案】（1）0.3 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算甲同学两分球、三分球投篮命中的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式计算； （2）设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算，再利用条件概率的公式计算. 【小问1详解】 甲同学两分球投篮命中的概率为， 甲同学三分球投篮命中的概率为， 设甲同学累计得分为X， 则， 则， 则甲同学通过测试的概率为0.3． 【小问2详解】 同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2， 设乙同学累计得分为Y， 则，， 设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B， 则， ， 则. 18. 已知，，函数，． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）设． （ⅰ）若的最大值为，求的值； （ⅱ）将函数的所有正实数零点按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）能，或 【解析】 【分析】（1）先化简，利用三角恒等变换将其转化为仅含、的形式，再整理为可判断单调性的结构，求导，其导函数在该区间上恒大于等于0，分离参数后转化为求对应函数在区间上的最值问题. （2）（ⅰ）代入，利用二倍角公式将转化为关于的二次函数，其中,分析该二次函数在区间上的最大值点，结合最大值为列方程求解.（ⅱ）令，将方程转化为关于的二次方程，求解的可能取值后反解对应的的正根,假设正零点按从小到大排列为等差数列，根据等差数列的性质，结合三角函数的周期性和根的分布规律，推导的可能取值并验证是否符合条件. 【小问1详解】 由， 可得， 整理得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 法一：令，则，因为，所以， 又由，所以在上恒成立，即，， 设，在上单调递减，只需，所以的取值范围为. 法二：设， 由，得． ， 因为，，所以， 故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 又因为，所以，所以的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，令， 则，. （ⅰ）因为，所以当时，， 由得，. （ⅱ）令，得，函数，当时，． ①当或时，即或时，方程在上没有解，无零点； ②当时，即时，方程的解为，则，方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，如图， 则，，，所以该数列不是等差数列， ③当时，即时，方程在内恰有两个解，设方程的解为，且，，作出函数，，图象如下， 方程和的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，则，与矛盾， ④当时，即时，方程在内只有一个解，设方程的解为，且，作出函数，，图象如下， 方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，与矛盾， ⑤若，即时，方程在内的解为，所以，所以，所以方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为，该数列为等差数列，满足条件； ⑥当时，即时，方程在内有两个解，，由，可得，，由，可得或，， 所以方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足，，， 所以，所以该数列为等差数列， 综上所述，当或时，方程的正实数解即的正实数零点按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列. 19. 已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，且的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧． （1）求抛物线的标准方程； （2）若，求点的坐标； （3）记，的面积分别为，，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最小值，． 【解析】 【分析】（1）根据定义代入计算即可； （2）设出A点坐标和直线方程，求出B点坐标，再根据重心性质，列方程求解即可； （3）列出表达式，再利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 由题意可得， 则，抛物线方程为． 【小问2详解】 设，重心，令，，则． 由于直线过，故直线方程为，代入，得， 故，即，所以． 又由于，，重心在轴上，故， 得，．- ，故，故 【小问3详解】 由（2）设 ，，． 所以，直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故．从而 令，则，．- 当时，取得最小值，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $