精品解析：辽宁沈阳市第二中学2025-2026学年高三下学期考前模拟考试数学试卷

沈阳二中2025-2026学年度下学期模拟考试 高三（26届）数学试题 说明：1.考试时长120分钟，满分150分 2.考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足(其中为虚数单位)，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“为幂函数”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线，直线，若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，则a的取值有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ） A. B. 2 C. D. 6. 在展开式中，系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A. B. 4 C. D. 2 8. 正项数列的前项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 10. 如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为4 C. 圆锥SO外接球的表面积为 D. 若，为线段AB上的动点，则的最小值为 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 14. 已知函数 ，其中，.过点作函数图像的切线，令各切点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为______. 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 16. 如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. （1）若为上靠近点的三等分点，证明：平面； （2）若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 18. 已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为. （1）求的概率； （2）设的值为随机变量， （ⅰ）求的所有取值对应的概率； （ⅱ）求的绝对值的数学期望 . 19. 过抛物线（为不等于2的质数）的焦点，作与轴不垂直的直线交抛物线于、两点，线段MN的垂直平分线交MN于点，交轴于点. （1）若直线的斜率为1，求； （2）求PQ中点的轨迹的方程； （3）证明：上有无穷多个整点（横、纵坐标均为整数的点），但上任意整点到原点的距离均不是整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳二中2025-2026学年度下学期模拟考试 高三（26届）数学试题 说明：1.考试时长120分钟，满分150分 2.考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2. 复数z满足(其中为虚数单位)，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，故复数z的虚部为 3. “”是“为幂函数”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 4. 已知双曲线，直线，若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，则a的取值有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【详解】由直线整理得，则直线恒过定点，且斜率为， 又因为双曲线的渐近线斜率为， 所以当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时有， 当时，直线与双曲线渐近线平行，满足题意， 当时，直线与双曲线渐近线平行，满足题意， 再由直线与双曲线联立方程组， 整理得： ，  当（即不是平行渐近线的情况），由直线与双曲线相切可得，判别式， 即，解得， 综上，符合条件的共3个, 故选：B. 5. 在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将表示为，利用向量的数量积求解. 【详解】由已知条件可得，， 则. 6. 在展开式中，系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 7. 已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的前项和公式，化简得到，求得，再根据，求出，即可得解. 【详解】由等比数列的前项和公式， 可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即， 所以，解得或（舍去）， 由，可得， 所以. 故选：D. 8. 正项数列的前项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可解得，再由前项积的定义将表达式化简可得，可知数列是以为首项，公差为的等差数列，可得 ，因此，代入计算可得结果. 【详解】依题意当时，可得 ，即 ，解得或（舍）； 当时，，可得， 由 可得， 所以， 整理可得，即， 又因为数列的各项为正，所以，可得， 因此 ， 由此可知数列是以 为首项，公差为的等差数列， 因此 ， 所以，可得. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：当时， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以, 所以，故C正确； 对于D：因为， 由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与的概率相等，故D正确． 故选：BCD． 10. 如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为4 C. 圆锥SO外接球的表面积为 D. 若，为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】先求母线，利用侧面积公式可判断A，利用体积公式可判断B，利用勾股定理求出球的半径可判断C，利用展开图结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以,其侧面积为，A正确； 对于B，三棱锥的底面积最大为，所以三棱锥体积的最大值为，B不正确； 对于C，设外接球的球心为，半径为，因为圆锥的外接球球心在高上，所以,因为，所以,解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，C正确； 对于D，因为，，所以，把绕边旋转，使其与共面，如图，连接，交于点，此时取得最小值， 在中，,所以， 所以, 由余弦定理， 所以的最小值为，D不正确. 11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AD选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代入，结合二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 【答案】 【解析】 【详解】设该三棱台为正三棱台，且，， 设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则． 在平面中，过作，垂足为，则平面， 且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为． 因为，， 所以， 故． 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 14. 已知函数，其中，.过点作函数图像的切线，令各切点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数导数，写出切线方程并代入点坐标，整理得到。利用方程根关于对称的性质，结合区间长度与的周期性，得出共有 1007 对根，每对和为，从而得到总和. 【详解】已知 ， 则 . 设切点横坐标为，切线过点  ， 代入切线方程 ， 约去不为0的​，整理得： ， 由于函数 与 的图像都关于点中心对称， 故该方程的根关于对称， 若是根，则 也是根，每对根之和为 . 已知，区间长度为 ， 周期为，每个周期内恰有1个根，共 个根，即对根. 综上，所有根之和为 ， 即数列 的所有项之和为 . 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 16. 如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. （1）若为上靠近点的三等分点，证明：平面； （2）若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设与交于点，由，线线平行判定线面平行； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量，由线面角的正弦等于方向向量与法向量的余弦的绝对值计算即可. 【小问1详解】 如图，设与交于点，连接， 因为，，所以， 所以，所以为上靠近点的三等分点， 又因为为上靠近点的三等分点，所以在中，， 而平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，，所以， 又因为平面，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， ， ， 从而， 因为，所以， 所以点的坐标为，， 设平面的一个法向量为， 则即 则，令，可得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则， . 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合一元二次函数的性质讨论的正负性即可； （2）利用（1）中函数的单调性以及即可求出. 【小问1详解】 由题可得. 令，则， 当时，，此时，，故在上单调递减； 当时，，记两根为，， 此时，，则两根均为负，得， 故在上单调递减； 当时，，此时，，则两根均为正，且， 故或时，，在、上单调递减， 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 【小问2详解】 注意到. 若，则在上单调递减， 当时，，当时，， 所以成立当且仅当，结论成立； 若，，，在上单调递增，从而有，， 时，，由零点存在定理，知，使得， 当时，，当时，，当时，， 故不存在满足条件的区间. 综上，的取值范围为. 18. 已知数列满足，并且对任意的，取或的概率均为. （1）求的概率； （2）设的值为随机变量， （ⅰ）求的所有取值对应的概率； （ⅱ）求的绝对值的数学期望 . 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）易知当且时才能满足，可求得其概率； （2）（ⅰ）设，可得，设，则，事件相当于在个数中有个取1，个取，可得的概率分布； （ⅱ）对任意，易知，从而，由组合数性质证明. 【小问1详解】 等价于且， 所以的概率为. 【小问2详解】 （ⅰ）设. 则对任意正整数取1或的概率均为，且. 设，显然， 并设此时中有个1，个，则， 因此只能取之间的偶数值， 对于偶数，事件相当于在个数中，有个取1，个取， 因此的概率分布可表示为， （ⅱ）对任意，易知， 从而. . 19. 过抛物线（为不等于2的质数）的焦点，作与轴不垂直的直线交抛物线于、两点，线段MN的垂直平分线交MN于点，交轴于点. （1）若直线的斜率为1，求； （2）求PQ中点的轨迹的方程； （3）证明：上有无穷多个整点（横、纵坐标均为整数的点），但上任意整点到原点的距离均不是整数. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和抛物线焦点弦长公式，求得； （2）设直线斜率为，求出、坐标，用中点公式消参，得到轨迹方程； （3）构造无穷多组整数点，再用反证法结合数论知识，证明无整点到原点距离为整数. 【小问1详解】 设 则的方程为， 则由得，则， 由抛物线焦点弦长公式得 . 【小问2详解】 抛物线的焦点为，设的直线方程为. 由得. 由，得， 而，故的斜率为，的方程为. 代入得. 设动点R的坐标为，则， 因此，故中点R的轨迹L的方程为. 【小问3详解】 由的方程 ，是不等于的质数，故， 又由于和4的最大公约数为1，且是质数，可得. 设（为任意非零整数），代入得 ， 显然均为整数，且有无穷多个，故上有无穷多个整点. 假设L上有一个整点到原点的距离为整数，不妨设，则: ，因为p是奇质数，于是， 从②可推出，再由①可推出. 令，则有， 由③，④得，于是， 即 ， 于是，得， 故，有，但L上的点满足，矛盾. 因此，L上任意点到原点的距离不为整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $