精品解析：辽西重点高中2025-2026学年高三下学期考前模拟考试数学试题

辽西重点高中2025~2026学年度下学期高三考前模拟考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，所以集合，所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将复数分母实数化写成的形式，利用计算结果． 【详解】因为； 故． 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 4. 两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量的长度为. 5. 已知函数是中心对称图形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可． 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； ， 又在上单调递增，在上也单调递增， 所以是增函数，又，所以，所以C错误； 因为，所以， 又因为，所以，所以D错误． 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由结合正弦定理可知. 因为，则. 即，结合正弦定理得，即得. 将上式代入， 得，故，又，. 所以，，. 所以的面积为. 7. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比. 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比， 设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式可得：  ，​ 又因为​在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：，​ ，  因此体积比：. 8. 已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，四边形是一个正方形 B. 当时， C. 当时，四点共面 D. 当时，直线相交于一点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线线平行得出平行四边形及菱形判断A，B，根据平行得出四点共面判断C，应用平面的基本性质得出三线共点判断D. 【详解】因为分别是的中点，所以， 当时，，所以， 四边形是一个平行四边形，且，易得， 所以四边形是一个菱形，则， 不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确； 对于C，当时，，，则， 所以四点共面，C正确； 对于D，当时，，但，而， 所以但不相等，所以四边形是一个梯形， 假设相交于点，因为平面，平面， 又平面平面，所以， 从而可得直线相交于一点，D正确，故选：BCD. 10. 一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意可知：，， ，， 对于选项A：因为，所以与不互斥，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为， 设样本空间为，则，，， 可得，，， 因为，所以与相互独立，故D正确. 11. 已知函数及其导函数均为定义在上的连续函数，且，且，设，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A的真假；求导可判断B的真假；利用得到，对该式求导分析其正负，最后结合得到在处取得极小值，即可判断CD. 【详解】对A：因为，令，可得 ，A正确； 对B：因为，所以 ，B正确； 由和可得， ，设， 则， 所以单调递增，又，所以当时，， 即，单调递减，当时，即，单调递增， 又，故在处取得极小值，C错误，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列，记，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和公式与等比中项性质求解首项和公差，再推导、的表达式，进而得到的表达式，通过计算正整数对应的取值得到最小值． 【详解】设等差数列的公差为，， 由，根据等差数列前项和公式，得：，化简得①， 由成等比数列，根据等比中项性质得，将各项用展开：， 整理得，因，故②， 联立①②，将代入②，解得，。 因此通项公式，前项和． 代入得，计算不同的取值： 时，，，故； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，，，故，综上，的最小值为． 13. 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求的通项公式，再求和的表达式，并确定的最小值 【详解】设的公差为，则， 所以，所以， ， 且当时，， 所以为使若对于任意正整数恒成立，则， 则的最小值为． 14. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方，，O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合抛物线的定义可得，进而可得圆心和半径，以及直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，， 因为，则， 可得，则，即， 可知以PO为直径的圆的圆心为，半径， 且直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以所截得的弦长为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 16. 已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1），bn （2） 【解析】 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. 【小问2详解】 由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 17. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中. （1）求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比； （2）若二面角的大小为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，结合锥体和柱体的体积公式运算求解； （2）建系并标点，求平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角，列式求解即可. 【小问1详解】 在正三棱柱中，取中点， 则四棱锥的体积， 正三棱柱的体积， 四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为. 【小问2详解】 在正三棱柱中，取的中点，连结， 因为，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平面， 所以平面，且， 故以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为，则， 可得 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 则， 整理得，解得. 18. 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. （1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. （2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，由题设求解即可. （ii）第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，可得化简后可得数列为等比数列，由此求解即可. （2）设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，分别求解，即可. 【小问1详解】 （i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件， 可得. （ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为， 所以，即. ， 令，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率， 则①， ②， 联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为. 19. 定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数．若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”．已知（），设的“伴生函数”为． （1）请求出的一个“伴生区间”； （2）若方程有两个不同的实数解，（）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“伴生函数”定义，先求的导函数，再计算，结合“伴生性质”的条件，直接得出时满足，因此是一个伴生区间，核心是对新定义的理解与导数的基础应用； （2）（i）先化简方程，将问题转化为函数 的零点问题，通过求导分析其单调性，结合零点存在定理，得到 的取值范围，关键是利用导数研究函数的单调性与零点存在条件； （ii）本题通过等价转化要证的不等式，构造辅助函数、，利用导数分析函数的单调性与不等式关系，结合是方程的解的条件，通过放缩与单调性证明不等式，体现了导数在证明不等式中的构造与放缩技巧． 【小问1详解】 当时， 的“伴生函数”为 ， ， 当时， ，，具有“伴生性质”． 故的一个“伴生区间”为． 【小问2详解】 （ⅰ） ，故， 设，， 令，解得；令，解得， 故当时，单调递减；时，单调递增． 因为方程有两个不同的实数解． 所以在上有两个零点，故，即 ， 当时， ，因为 ， 所以． 若，所以，令 ，则 ． 当时， ，所以在 上恒成立， 因此 在 上单调递增，所以，即在上恒成立， 则在上单调递增，则，即当时，． 若，所以，则在上单调递减， 则，所以当时，． 当时，． 当时， ，即 ． 因为 所以 ， 综上，的取值范围． （ⅱ）由为方程的两个解可知：， 要证，即证， 令，， 令，， 则在单调递增，故 ， 所以时，，故M（x）在上单调递增， 则 ． 设 ，令 ， ， 令 ，则 ． 因为，所以，则，所以． 则在上单调递增，，即， 则在上单调递增，所以，即，成立， 因为，则 ， 又，，由（i）的单调性可知在单调递减， 则，即， 故，所以，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽西重点高中2025~2026学年度下学期高三考前模拟考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知函数是中心对称图形，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（ ） A. B. C. D. 8. 已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，四边形是一个正方形 B. 当时， C. 当时，四点共面 D. 当时，直线相交于一点 10. 一个正四面体的四个面上分别标以数字1，2，3，4，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：“”，事件：“”，事件：“”，事件：“”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 11. 已知函数及其导函数均为定义在上的连续函数，且，且，设，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 有极大值 D. 有极小值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列，记，则的最小值为_______. 13. 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 14. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上且在x轴上方，，O为坐标原点，以PO为直径的圆被直线PF所截得的弦长为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 16. 已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中. （1）求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比； （2）若二面角的大小为，求的值. 18. 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. （1）射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. （2）新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 19. 定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数．若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”．已知（），设的“伴生函数”为． （1）请求出的一个“伴生区间”； （2）若方程有两个不同的实数解，（）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $