期末复习专题09 排列与组合讲义【10大题型+强化训练】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题09 排列与组合 知识点1：分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 【注意】定义中，每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 知识点2：分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【注意】完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，这时用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． 知识点3：排列概念的理解 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序相同． 【注意】排列定义中的两层含义：一是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素；二是按一定顺序排列 知识点4：排列数公式 排列数 的定义 及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 全排列 的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概 念及表示 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 排列数 公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况 ＝n！，1！＝1，0！＝1 【注意】排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积．(2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1.(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立 知识点5：组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【注意】(1)组合中取出的元素没有顺序．(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 知识点5：组合与组合数公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 规定：＝1． 考点一 排列公式与组合公式 考点二 涂色问题 考点三 数字排列问题 考点四 元素(位置)有限制的问题 考点五 相邻与不相邻问题 考点六 顺序固定与环形问题 考点七 多面手问题 考点八 分组与分配问题 考点九 几何组合计数问题 考点十 x+y+z=n的整数解的个数（相同元素问题） 考点一 排列公式与组合公式 1．（25-26高二下·山东菏泽·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 3．（25-26高二下·广东汕头·期中）若，则__________. 4．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）（多选）下列说法正确的是（） A． B． C．若，则 D．若，则 考点二 涂色问题 5．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 6．（25-26高二下·四川成都·期中）小明周末打开了一款航天基地主题的游戏，看着屏幕上熟悉的平面布局，他突然意识到沉迷游戏不如用数学探索世界．于是他将基地平面图转化为涂色问题：中央中控楼不涂色，周围五个功能区域如图所示．现用红、黄、蓝、绿四种颜色给这五个区域涂色，要求相邻区域不同色（其中四种颜色可以用完，也可以不需用完）．则不同的涂色方法有______种（用数字作答）． 7．（25-26高二下·河北唐山·期中）（多选）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（   ） A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 8．（25-26高二下·天津武清·期中）如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 9．（25-26高二下·广东惠州·期中）用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．480 C．420 D．360 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）给图中五个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域的颜色不能相同，若有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为________． 考点三 数字排列问题 11．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）用1，2，3，5，6，8可以组成n个无重复数字的三位数，则（   ） A．20 B．60 C．120 D．210 12．（25-26高二下·江苏南通·期中）由0，1，2，3，4，5组成无重复数字且能被25整除的五位数的个数是________． 13．（25-26高二下·吉林长春·期中）（1）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（用数字作答） （2）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？（用数字作答） （3）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？（用数字作答） 14．（25-26高二下·安徽六安·期中）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 15．（25-26高二下·陕西商洛·期中）用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数. (1)可以组成多少个五位数? (2)可以组成多少个能被 2整除的五位数? (3)将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少? 考点四 元素(位置)有限制的问题 16．（25-26高二下·广东惠州·期中）（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 B．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 C．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有528种排法 17．（25-26高二下·江苏南通·期中）某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 18．（2026·福建泉州·模拟预测）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________. 19．（25-26高二下·河南·阶段检测）为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 20．（25-26高二下·上海·阶段检测）现有4名男生和3名女生．若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？ (1)4名男生互不相邻； (2)若4名男生身高都不等，按从左到右由高到低的顺序站； (3)男生甲不站最左端，女生乙不站最右端． 21．（2026·湖南湘潭·三模）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 考点五 相邻与不相邻问题 22．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）． 24．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）（多选）已知3名女同学与5名男同学站成一排，则（   ） A．不同排法数为 B．3名女同学站在一起的排法数为 C．3名女同学两两不相邻的排法数为 D．3名女同学都不站两端的排法数为 25．（2026高三·全国·专题练习）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体7人排成一排，其中甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体7人排成一排，其中甲、乙两人中间恰好有3人． 26．（25-26高二下·江苏·期中）有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）． (1)排成前后两排，前排3人，后排4人； (2)全体排成一排，女生必须站在一起； (3)全体排成一排，女生互不相邻； (4)全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾； 27．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．课程“数”不排在第一天的不同排法共有600种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D．课程“御”和“书”相邻的不同排法共有240种 28．（25-26高二下·河北沧州·期中）已知甲、乙、丙等6位同学站成一排照相． (1)若甲、乙2位同学站在两端，有多少种排法？ (2)若甲、乙必须相邻，且都不与丙相邻，有多少种排法？ (3)若甲站在乙的左边，乙站在丙的左边（其中甲、乙与乙、丙都不一定相邻），有多少种排法？（最后结果都用数字作答） 考点六 顺序固定与环形问题 29．（25-26高二下·重庆·期中）幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（   ） A．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C．将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D．将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 30．（25-26高二下·山东淄博·期中）（多选）小杨正在安排五一五天假期（月日月日）的旅行计划，他决定在这天里每天去一个不同的景点（其中甲、乙、丙是五个不同景点中的三个），则下列说法正确的是（    ） A．若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有种 B．若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有种 C．若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有种 D．若月日不去甲景点，月日不去乙景点，则不同的安排方法共有种 31．（25-26高二下·广东深圳·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 32．（25-26高二下·重庆·阶段检测）5名男生和3名女生一起合影. (1)排成一排，女生互不相邻，有多少种排法？ (2)排成一排，恰有两名女生相邻，有多少种排法？ (3)若这8人身高均不相等，排成两排，每排4人，为了不被遮挡住，后排每个人的身高都比对应前排的人要高，有多少种排法？（注：所有结果均要求算出具体数字） 33．（25-26高二下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 34．（25-26高二下·江苏淮安·月考）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 35．（25-26高二下·四川达州·期中）8个人按如下方式排队，计算排列数 (1)8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法 (2)8人排成一排，其中甲与乙相邻，甲乙与丙不相邻共有多少排法 (3)8人排成一个圆圈，共有多少种排法 36．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 考点七 多面手问题 37．（25-26高二下·山东·月考）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有________种不同的选法.（用数字作答） 38．（25-26高二·全国·暑假作业）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法（    ） A．10 B．20 C．21 D．40 39．（25-26高二下·全国·课后作业）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 40．（25-26高二下·广东江门·月考）请回答下列问题： (1)现有6份不同的礼物，平均分给甲乙丙3人，有多少种分法？ (2)由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？ (3)某旅行社有导游8人，其中3人只会英语，4人只会日语，1人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 考点八 分组与分配问题 41．（25-26高二下·湖北荆州·期中）某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A．600 B．264 C．207 D．114 42．（25-26高二下·广东佛山·期中）现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．20种 43．（25-26高二下·吉林长春·期中）有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．300 B．360 C．390 D．420 44．（25-26高二下·四川德阳·期末）根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（     ） A．50 B．64 C．35 D．128 考点九 几何组合计数问题 45．（25-26高二下·湖南长沙·期中）过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（    ） A．173对 B．174对 C．183对 D．186对 46．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（    ） A．32 B．34 C．33 D．35 47．（25-26高二下·河南洛阳·期中）（多选）在直三棱柱中，下列说法正确的是（   ）    A．以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥有12个 B．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 C．过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对 D．给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有264种 48．（25-26高二下·浙江·期中）如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（    ） A．30 B．33 C．63 D．69 考点十 x+y+z=n的整数解的个数（相同元素问题） 49．（25-26高二下·江苏淮安·期中）流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有________种． 50．（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 51．（25-26高二下·广东·期中）下列各式错误的是（    ） A．已知，则的取值为6或7 B． C．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D．的展开式中的系数为 52．（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的正整数解的个数为（     ） A． B． C． D． 53．（2026高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 54．（25-26高二下·湖北武汉·期末）2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 1．（25-26高二下·河北保定·期中）某六角星徽章由A，B，C，D，E，F六个平行四边形区域构成，现有3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．36 B．60 C．66 D．78 2．（25-26高二下·四川内江·期中）用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（     ） A．5 B．120 C．625 D．1024 3．（25-26高二下·吉林·期中）由数字组成的无重复数字并且比大的偶数个数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期中）从（包含甲）人中选派人参加这三项不同的活动，且每项活动有且仅有人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 7．（25-26高二下·河北石家庄·期中）以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（     ） A．210 B．190 C．195 D．180 8．（2026·辽宁大连·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（AI）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 10．（25-26高二下·河南郑州·期中）（多选）下列问题中哪些是排列问题（    ） A．从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法 B．从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法 C．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条 D．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条 11．（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到A、B、C三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（     ） A．共有540种不同的分配方法 B．甲分配到学校的概率为 C．若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D．甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 12．（25-26高二下·天津静海·期中）现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者第二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目排序方式有__________种． 13．（2026高三·全国·专题练习）某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆．若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有________种．（用数字作答） 14．（25-26高二下·重庆·期中）现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 15．（25-26高二下·河南郑州·期中）一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中至多含有1个黑球，有多少种取法？ 16．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）． (1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数； (2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数． 17．（25-26高二下·河北邯郸·期中）3个女生和5个男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？ 18．（25-26高二下·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 排列与组合 知识点1：分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 【注意】定义中，每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 知识点2：分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【注意】完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，这时用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． 知识点3：排列概念的理解 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同的充要条件 (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序相同． 【注意】排列定义中的两层含义：一是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素；二是按一定顺序排列 知识点4：排列数公式 排列数 的定义 及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 全排列 的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列 阶乘的概 念及表示 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 排列数 公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，n，m∈N*，m≤n 阶乘式＝(n，m∈N*，m≤n) 特殊情况 ＝n！，1！＝1，0！＝1 【注意】排列数公式的特征：(1)乘积是m个连续正整数的乘积．(2)最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1.(3)m，n∈N*，m≤n，当m>n时不成立 知识点5：组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 【注意】(1)组合中取出的元素没有顺序．(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 知识点5：组合与组合数公式 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示． 2．组合数公式 乘积式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 阶乘式：＝(n，m∈N*，并且m≤n)． 规定：＝1． 考点一 排列公式与组合公式 考点二 涂色问题 考点三 数字排列问题 考点四 元素(位置)有限制的问题 考点五 相邻与不相邻问题 考点六 顺序固定与环形问题 考点七 多面手问题 考点八 分组与分配问题 考点九 几何组合计数问题 考点十 x+y+z=n的整数解的个数（相同元素问题） 考点一 排列公式与组合公式 1．（25-26高二下·山东菏泽·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数的阶乘公式即可求解. 【详解】由得，即， 化简整理得：，解得， 又，所以，所以. 2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：. (3)解关于的不等式：； 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用排列数公式化简求值、证明恒等关系及解不等式； 【详解】（1）； （2），. （3）依题意，有，可得， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又，得，所以的解集为. 3．（25-26高二下·广东汕头·期中）若，则__________. 【答案】 【详解】， 解得 4．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）（多选）下列说法正确的是（） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】本题依次利用排列数、组合数的计算公式与组合数取值约束、组合数方程化简、组合数对称性质，分别代入验算A选项数值，由定义域求出再估值判断B选项，展开整理排列组合方程求解验证C选项，借助求并计算组合数判定D选项，最终确定正确选项为ACD. 【详解】选项A，根据组合数公式，排列数公式，代入得，选项A正确. 选项B，根据组合数定义，下标大于等于上标且均为非负整数，可得不等式组，解得，又，故，原式转化为，选项B错误. 选项C，由排列组合定义知且，公式展开得，即. 化简得，由题可知，所以，选项C正确. 选项D，根据组合数性质，得或，解得或，当时，当时，选项D正确. 考点二 涂色问题 5．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可. 【详解】依顺序，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色， ①区域若与区域同色，则E有两种颜色可选； ②区域若不与区域同色，则只有种颜色可选，也只有种颜色可选， 所以符合条件的方案有种方案． 6．（25-26高二下·四川成都·期中）小明周末打开了一款航天基地主题的游戏，看着屏幕上熟悉的平面布局，他突然意识到沉迷游戏不如用数学探索世界．于是他将基地平面图转化为涂色问题：中央中控楼不涂色，周围五个功能区域如图所示．现用红、黄、蓝、绿四种颜色给这五个区域涂色，要求相邻区域不同色（其中四种颜色可以用完，也可以不需用完）．则不同的涂色方法有______种（用数字作答）． 【答案】168 【分析】先分两类讨论，每一类用分步乘法计数原理计算，最后再用分类加法计数原理相加可求解. 【详解】根据题意，有以下两种情况： （1）工业区和离心机室颜色相同，则工业区有4种涂法，宿舍区有3种涂法，浮力室有2种涂法，离心机室有1种涂法，黑室有3种涂法，共有 种； （2）工业区和离心机室颜色不同，则工业区有4种涂法，宿舍区有3种涂法，浮力室有2种涂法，离心机室有2种涂法，黑室有2种涂法，共有种； 综上，共有72 种. 7．（25-26高二下·河北唐山·期中）（多选）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（   ） A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则和同色，和同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，，同色，相邻区域不同色，故可以先涂，区域，有种涂法， 因三个区域都与，相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因，不同色（只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能与同色，此时共有24种涂法，故D错误. 8．（25-26高二下·天津武清·期中）如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 【答案】 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】我们按区域顺序分步计算涂色方案，根据相邻区域不同色的要求，每一步的选择数如下： 涂区域A：共4种颜色可选，有种方案。 涂区域B：B与A相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域C：C与A、B都相邻，颜色都不同，有种方案。 涂区域D：D与B、C都相邻，颜色都不同，B、C异色，因此有种方案。 涂区域E：E仅与D相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域F：F与D、E都相邻，D、E异色，因此有种方案。 涂区域G：G仅与E、F都相邻，E、F异色，因此有种方案。 根据分步乘法计数原理，总方案数为： . 9．（25-26高二下·广东惠州·期中）用五种不同颜色的涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．480 C．420 D．360 【答案】C 【分析】考查排列组合涂色问题，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理来求解. 【详解】完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂，区域有5种颜色可选，区域有4种颜色可选，区域有3种颜色可选， 若区域与区域颜色相同，区域有1种颜色可选，则区域有3种颜色可选； 若区域与区域颜色不同，区域有2种颜色可选，则区域有2种颜色可选； 再由分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算，可得共有. 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）给图中五个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域的颜色不能相同，若有5种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为________． 【答案】420 【分析】由于AE,BC不相邻，先考虑AE,BC是否同色，然后再考虑其他部分，利用乘法原理解决问题. 【详解】若AE,BC均同色，则涂色方法数为; 若BC与AE中有一组同色，另一组不同色，则涂色方法数为; 若BC不同色，AE不同色，则涂色方法数为; 所以不同的涂色方法数为. 考点三 数字排列问题 11．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）用1，2，3，5，6，8可以组成n个无重复数字的三位数，则（   ） A．20 B．60 C．120 D．210 【答案】C 【详解】依题意可得. 12．（25-26高二下·江苏南通·期中）由0，1，2，3，4，5组成无重复数字且能被25整除的五位数的个数是________． 【答案】 【分析】依据能被25整除的数末两位为25或50的特征，分两类计算符合要求的五位数的个数后求和即可. 【详解】能被25整除的正整数，末两位只能是25的倍数，结合数字无重复、取值范围为的约束，仅存在末两位为、两类情况： 若末两位为：末两位已占用数字、，前三位需从剩余的共4个数字中选3个无重复排列，排列数为； 若末两位为：末两位已占用数字、，剩余可选数字为， 由于首位不能为，故首位有3种选择，剩余中间两位从剩下的3个数字中选2个无重复排列，个数为; 将两类结果求和，总个数为. 13．（25-26高二下·吉林长春·期中）（1）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（用数字作答） （2）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？（用数字作答） （3）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？（用数字作答） 【答案】（1）96；（2）72；（3）60 【分析】（1）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理计算及排列求解即可； （2）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理及排列求解即可； （3）分个位是0和个位不是0，两种情况讨论，再根据分步乘法和分类加法计数原理及排列求解即可. 【详解】（1）万位只能从1，3，6，8这4个数字中选一个，有4种选法， 其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数； （2）万位只能从3，6，8这3个数字中选一个，有3种选法， 其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数且大于30000的五位数； （3）当个位是0时，有个， 当个位不是时，个位只能是或，万位不能为且不能与个位数字相同， 万位是除以外的数，因此有个， 所以可以组成个没有重复数字的五位偶数. 14．（25-26高二下·安徽六安·期中）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】分析千位数是4、3、2三种情况，求出四位偶数中大于的数的个数，即可得答案. 【详解】当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比大的偶数有，共5种， 综上，比大的偶数共有种， 15．（25-26高二下·陕西商洛·期中）用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数. (1)可以组成多少个五位数? (2)可以组成多少个能被 2整除的五位数? (3)将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少? 【答案】(1)96 (2)60 (3)30124 【分析】（1）先排首位，其他位全排列，即可求解； （2）个位分为0或2或4三种情况，分类求解； （3）首先求出首位为1和2的个数，再判断第49个数. 【详解】（1）先排首位，有（种）排法，再排其它位，有（种）排法， 根据分步乘法计数原理得，可以组成（个）五位数. （2）能被2整除的五位数的个位数是0或2或4，若个位数是0，则有个满足题意的五位数； 若个位数是2或4，则先排首位，0不作为首位，则首位有种排法，其余位置有种排法， 此时有个满足题意的五位数.故共有＋（个）满足题意的五位数. （3）首位数字不能为0，首位数字为1的五位数有（个），首位数字为2的五位数有（个）， 此时共有（个）五位数，故第49个数是30124. 考点四 元素(位置)有限制的问题 16．（25-26高二下·广东惠州·期中）（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（    ） A．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 B．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 C．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有528种排法 【答案】BC 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于选项A，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选， 在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，故A错误； 对于选项B，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”看成一个整体， 与其他3门课程全排列，共有种排法，故B正确； 对于选项C，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能， 各占一半，所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有种，故C正确； 对于选项D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数，再减去课程“御”排在最后一周的排法数，然后加上课程“乐” 排在第一周且 课程“御”排在最后一周的排法，则总的排法为种，若课程“乐”排在第一周的排法为种， 若课程“御”排在最后一周的排法为种， 课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为种， 则满足条件的排法数为种，故D错误. 17．（25-26高二下·江苏南通·期中）某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 【答案】C 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】上午两节语文课连上有三种可能，同理下午两节数学课连上有三种可能， 因为英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，直接全排列，所以有种. 18．（2026·福建泉州·模拟预测）为弘扬志愿服务精神，学校鼓励同学们积极参与志愿服务活动.现安排甲、乙、丙、丁共四名同学参加某日早上、中午、晚上三个时段的志愿服务，每个时段需安排2名同学，分别负责接待和登记.若每位同学至少安排一个时段，且甲不能排早上，乙丙不能排同一时段，则安排方法总数为__________. 【答案】208 【分析】先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁，再结合对称性只需先考虑早上是乙丁的情况，在此基础上考虑中午与晚上每个时段有10种排法，再减去不满足的情况得中午和晚上共有种排法，即可根据分步乘法原理求解. 【详解】第一步，先考虑早上，只能有乙丁，或丙丁， 由对称性可知，只需先考虑乙丁，则有种； 第二步，考虑中午和晚上，除掉乙丙，每个时段共有种组合， 故中午晚上共有种，需扣掉以下几种情况： 第一，中午晚上没有甲，则只有乙丙丁，每个时段有种排法，共有16种； 第二，中午晚上没有丙，则每个时段有种排法，共有36种； 第三，中午晚上没有甲丙，则只有乙丁，共有种排法； 所以中午和晚上共有种排法， 所以安排方法总数为种. 19．（25-26高二下·河南·阶段检测）为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】确定六旋翼无人机、四旋翼无人机所排的位置，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，两种无人机必须交错排列， 即架不同型号的六旋翼无人机分别排在第、、号位； 架不同型号的四旋翼无人机排在第、、、号位， 所以不同的飞行队形种数为种. 20．（25-26高二下·上海·阶段检测）现有4名男生和3名女生．若安排这7名学生站成一排照相，分别按以下要求计算各自的排法有多少种？ (1)4名男生互不相邻； (2)若4名男生身高都不等，按从左到右由高到低的顺序站； (3)男生甲不站最左端，女生乙不站最右端． 【答案】(1) 种 (2) 种 (3) 种 【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解. （2）利用定序问题倍分法列式计算. （3）利用排除法列式计算. 【详解】（1）先排3名女生，再把4名男生插入每种排法形成的4个间隙中， 所以4名男生互不相邻的排法种数是（种）. （2）7名学生站成一排照相有种站法，其中4名男生的不同站法有种， 所以所求不同站法种数是（种）. （3）7名学生站成一排照相有种站法，其中男生甲站最左端的有种， 女生乙站最右端的有种，男生甲站最左端且女生乙站最右端的有种， 所以所求不同站法种数是（种）. 21．（2026·湖南湘潭·三模）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 考点五 相邻与不相邻问题 22．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算4人全排列的总情况数，再利用捆绑法计算甲乙相邻的情况数，二者作比得到所求概率。 【详解】首先计算所有基本事件总数：四名同学排成一排的全排列数为种。 再计算甲与乙相邻的符合条件的事件数：采用捆绑法，将甲、乙看作一个整体，此时相当于对个元素（甲乙整体、丙、丁）进行全排列，排列数为种； 同时甲、乙二人内部存在顺序差异，排列数为种， 因此符合条件的事件总数为种。 根据古典概型概率公式，所求概率. 23．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）． 【答案】120 【分析】将队伍从左到右依次按1到7编号，先将队长甲固定在4号位，再考虑乙和丙必须相邻的排法种数，接下来分情况讨论小朋友丁不能站在边上的情况，最后找出符合条件的排法种数. 【详解】将队伍从左到右依次按1到7编号，其中队长甲必须站在正中间的4号位置， 因为好友乙和丙必须相邻，可能的相邻位置组为：，，，. 乙丙内部有种排列，所以乙丙的位置选择有种. 当乙丙在的位置上，剩余的位置为3、5、6、7， 因为小朋友丁不能站在边上， 所以丁可选3、5、6三个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法， 这种情况的排法有种. 同理当乙丙在的位置上，也有种排法. 当乙丙在的位置上，剩余的位置为1、2、3、7， 因为小朋友丁不能站在边上， 所以丁可选2、3两个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法， 这种情况的排法有种. 同理当乙丙在的位置上，也有种排法， 综上，符合条件的排法共有种 24．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）（多选）已知3名女同学与5名男同学站成一排，则（   ） A．不同排法数为 B．3名女同学站在一起的排法数为 C．3名女同学两两不相邻的排法数为 D．3名女同学都不站两端的排法数为 【答案】BCD 【分析】根据排列知识，结合捆绑法、插空法及特殊位置法求解即可. 【详解】若3名女同学与5名男同学站成一排，则不同排法数为，A错误； 由捆绑法可得，3名女同学站在一起的排法数为，B正确； 由插空法可得，3名女同学两两不相邻的排法数为，C正确； 若3名女同学都不站两端，则从5名男同学中选2名进行排列，剩余3名男同学与3名女同学进行全排列， 则3名女同学都不站两端的排法数为，D正确. 25．（2026高三·全国·专题练习）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体7人排成一排，其中甲不站在排头也不站在排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体7人排成一排，其中甲、乙两人中间恰好有3人． 【答案】(1)2520 (2)5040 (3)3600 (4)576 (5)1440 (6)720 【分析】根据排列组合知识逐一求解即可，要注意特殊元素、特殊位置的限制条件及特殊优先法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法等方法的使用. 【详解】（1）从7个人中选5个人来排列，有种排列方法． （2）方法一：分两步完成， 第一步，先选3人排在前排，有种方法； 第二步，余下4人排在后排，有种方法. 故共有种排列方法． 方法二：事实上，排成前后两排，前排3人，后排4人，即为7人排成一排的全排列， 故不同的排列方法总数为． （3）（优先法）甲为特殊元素． 先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法， 故共有种排列方法． （4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法， 再将4名女生进行全排列，也有种方法， 故共有种排列方法． （5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求， ∴应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法， 故共有种排列方法． （6）把甲、乙及中间3人看作一个整体， 先排甲、乙两人有种方法， 再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法， 最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法， 故共有种排列方法． 26．（25-26高二下·江苏·期中）有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）． (1)排成前后两排，前排3人，后排4人； (2)全体排成一排，女生必须站在一起； (3)全体排成一排，女生互不相邻； (4)全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾； 【答案】(1)5040 (2)720 (3)1440 (4)3720 【分析】（1）应用排列数，全排列公式及分步乘法原理计算求解； （2）应用排列数，全排列公式及捆绑法计算求解； （3）应用排列数，全排列公式及插空法计算求解； （4）分类讨论甲的位置应用排列数及特殊位置优先计算求解； 【详解】（1）先选3人站前排有种方法，余下4人站后排有种方法， 共有（种）． （2）捆绑法，将3名女生看成一个整体有种，再与4名男生进行全排列有种， 共有（种）． （3）插空法，先排男生，再在5个空位中插入3名女生，有种， 所以共有 （种）． （4）分为两种情况： ①甲在排尾时有种， ②甲不在排尾时有，从非甲乙5人中选1人排尾，甲从中间5个位置中安排一个，剩下5人排列，则种， 所以共有（种）． 27．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）（多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ） A．课程“数”不排在第一天的不同排法共有600种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D．课程“御”和“书”相邻的不同排法共有240种 【答案】ABD 【详解】对于A，优先排课程“数”，从除第一天以外的5天中选1天排课程“数”，再排剩下的课程， 则课程“数”不排在第一天的不同排法共有种，故A正确； 对于B，由于“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等， 则课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有种，故B正确； 对于C，要使课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，产生4个空位，再将“御、书、数”插入空位中， 则课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有种，故C错误； 对于D，要使课程“御”和“书”相邻，先排课程“御”和“书”，将2个课程看作一个整体与另外4个课程排列即可， 则课程“御”和“书”相邻的不同排法共有种，故D正确. 28．（25-26高二下·河北沧州·期中）已知甲、乙、丙等6位同学站成一排照相． (1)若甲、乙2位同学站在两端，有多少种排法？ (2)若甲、乙必须相邻，且都不与丙相邻，有多少种排法？ (3)若甲站在乙的左边，乙站在丙的左边（其中甲、乙与乙、丙都不一定相邻），有多少种排法？（最后结果都用数字作答） 【答案】(1)48 (2)144 (3)120 【详解】（1）第1步：先安排甲、乙2人，有种方法， 第2步：再安排余下的4人，有种方法，所以共有种方法； （2）第1步：先排余下的3人，有种方法； 第2步：捆绑插空．产生了4个空位，将甲、乙2位同学捆绑在一起，看成一个元素，再与丙插到4个空位中的2个空位，有种方法； 第3步：松绑．将甲、乙2位同学松绑，甲、乙2位同学内部再全排列，有种方法； 所以共有种方法； （3）第1步：先从6个位置中任取3个位置，有种方法， 第2步：把甲、乙、丙这3人安排到这3个位置中去，因为这3个人顺序一定，所以只有一种方法； 第3步：将剩下的3个人安排到剩下的3个位置，共有种方法， 所以共有＝20×6＝120种方法． 考点六 顺序固定与环形问题 29．（25-26高二下·重庆·期中）幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（   ） A．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B．将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C．将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D．将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 【答案】D 【详解】将汽车玩具作为一个整体，共有种不同的排法，故A正确； 先排恐龙玩具，再将汽车玩具插空，共有种不同的排法，故B正确； 先将所有玩具排列，再利用定序法求解，共有种不同的排法，故C正确； 先给甲3个，再给乙3个，共有种不同的分配方案，故D错误. 30．（25-26高二下·山东淄博·期中）（多选）小杨正在安排五一五天假期（月日月日）的旅行计划，他决定在这天里每天去一个不同的景点（其中甲、乙、丙是五个不同景点中的三个），则下列说法正确的是（    ） A．若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有种 B．若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有种 C．若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有种 D．若月日不去甲景点，月日不去乙景点，则不同的安排方法共有种 【答案】BD 【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用插空法可判断B选项；利用倍缩法可判断C选项；记事件月日去甲景点，记事件月日去乙景点，则不同的排法种数为，结合韦恩图可判断D选项. 【详解】对于A选项，将甲、乙两景点捆绑，形成一个大元素，与其余三个景点进行排序， 所以不同的安排方法种数为种，故A错误； 对于B选项，先将除甲、乙两景点以外的三个景点进行排序， 再将甲、乙两景点插入其余三个元素中形成的个空位中的个， 由插空法可知，不同的安排方法种数为，故B正确； 对于C选项，若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻）， 由倍缩法可知，不同的排法种数为，故C错误； 对于D选项，记事件月日去甲景点，记事件月日去乙景点，如下图所示： 则月日去甲景点，且月日去乙景点，则， ， 所以，不同的排法种数为种，故D正确. 31．（25-26高二下·广东深圳·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（   ） A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法 B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法 C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】C 【详解】对A：利用“捆绑法”，满足条件的排法有种，故A正确； 对B：因为课程“礼”排在“乐”的后面和课程“乐”排在“礼”的后面的情况一样多，所以满足条件的排法有种，故B正确； 对C：利用“插空法”，满足条件的排法有种，故C错误； 对D：满足条件的排法可分为两类： 第一类，“御”排在第一周，这样的排法有种； 第二类，“御”不排在第一周，这样的排法有种. 所以满足条件的排法种.故D正确. 32．（25-26高二下·重庆·阶段检测）5名男生和3名女生一起合影. (1)排成一排，女生互不相邻，有多少种排法？ (2)排成一排，恰有两名女生相邻，有多少种排法？ (3)若这8人身高均不相等，排成两排，每排4人，为了不被遮挡住，后排每个人的身高都比对应前排的人要高，有多少种排法？（注：所有结果均要求算出具体数字） 【答案】(1)14400 (2)21600 (3)2520 【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解. （2）利用相邻问题捆绑法，结合插空法列式求解. （3）利用组合计数问题列式求解. 【详解】（1）排5名男生，有种方法；在每个排列形成的6个间隙中任取3个排3名女生，有种方法， 所以排成一排，女生互不相邻的排法种数是. （2）排5名男生，有种方法； 从3名女生中任取2名作为整体与另一名女生插入6个间隙中的两个，有种方法， 所以排成一排，恰有两名女生相邻排法种数是. （3）8人排成两排，每排4人，相当于8人排成4列，每列2人， 从8人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第1列， 从余下6人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第2列， 再从余下4人中任取2人，按矮的在前，高的在后，排第3列， 最后2人，按矮的在前，高的在后，排第4列， 所以不同排法种数是. 33．（25-26高二下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【分析】定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可. 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 34．（25-26高二下·江苏淮安·月考）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【分析】根据排列即可求解. 【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ， 故选：A 35．（25-26高二下·四川达州·期中）8个人按如下方式排队，计算排列数 (1)8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法 (2)8人排成一排，其中甲与乙相邻，甲乙与丙不相邻共有多少排法 (3)8人排成一个圆圈，共有多少种排法 【答案】(1)5760 (2)7200 (3)5040 【分析】（1）特殊位置特殊元素问题，考虑特殊位置特殊元素优先排列来解决问题； （2）相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法解决； （3）8人排成一个圆圈，固定一人位置后，其余7人全排列即可. 【详解】（1）8人排成前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排来考虑. 先排前排的甲乙，从前排4个位置中选2个给甲乙排列，有种排法； 再排后排的丙，从后排4个位置中选1个给丙，有种排法； 其余的5人在剩下的5个位置上任意排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有种排法. （2）先将甲乙看成一个整体（甲乙之间有种排法），此时相当于7个元素. 除甲乙整体和丙外的5个元素全排列，有种排法，这5个元素排列后形成6个空， 将甲乙整体与丙插入这6个空中，有种排法. 根据分步乘法计数原理，共有种排法. （3）8人排成一个圆圈，固定一人位置后，其余7人全排列， 共有种排法. 36．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有______种. 【答案】 【分析】根据环状排列的计算方法，结合元素相邻的计算方法求解. 【详解】由于环状排列没有首尾之分， 将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 考点七 多面手问题 37．（25-26高二下·山东·月考）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有________种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【分析】根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出；第二类：从只会印刷的4人中选出3人；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可得解. 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 38．（25-26高二·全国·暑假作业）某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法（    ） A．10 B．20 C．21 D．40 【答案】B 【详解】“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”，故需分三类： ①既会英语又会日语的不当选；②既会英语又会日语的按会日语当选； ③既会英语又会日语的按会英语当选． 既会英语又会日语的有（人），仅会英语的有6人，仅会日语的有2人． 从仅会英､日语的人中各选1人有种选法； 从仅会英语与英､日语都会的人中各选1人有种选法； 从仅会日语与英､日语都会的人中各选1人有种选法． 根据分类加法计数原理，共有（种）不同选法． 39．（25-26高二下·全国·课后作业）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 【答案】B 【分析】根据题意，以“只会划左舷的人员入选左舷的人数” 为标准进行分类，对每一种情况进行计算即可求解. 【详解】设集合只会划左舷的3人，只会划右舷的4人}，既会划左舷又会划右舷的5人． 先分类，以集合为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①中有3人；②中有2人，中有1人；③中有1人，中有2人；④中有3人． 第①类情况中，从集合中选3人划左舷，从集合，中选3人划右舷，有种选法； 第②类情况中，从集合中选2人划左舷，从集合中选1人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第③类情况中，从集合中选1人划左舷，从集合中选2人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第④类情况中，从集合中选0人划左舷，从集合中选3人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法． 故不同的选法共有（种）． 故选：B． 40．（25-26高二下·广东江门·月考）请回答下列问题： (1)现有6份不同的礼物，平均分给甲乙丙3人，有多少种分法？ (2)由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？ (3)某旅行社有导游8人，其中3人只会英语，4人只会日语，1人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】1）将6份不同的礼物平均分为三组，再分给三位学生，可得答案; （2）先考虑个位上的数字是不是0，因此分为两类情况考虑，可得答案； （3）分两类情况考虑：会双语的导游不选和选一个会双语的导游，求出每种情况的选择方法，可得答案. 【详解】（1）由题意不同的方法种； （2）若个位是0，则有种， 若个位不是0，先从2､4中选一个放个位， 再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位， 中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有种， 所以没有重复数字的四位偶数共个； （3）分类计数： 若不选会双语的导游，则有种， 若选会双语的导游，则有种， 故不同的选择方法有种. 考点八 分组与分配问题 41．（25-26高二下·湖北荆州·期中）某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A．600 B．264 C．207 D．114 【答案】D 【分析】先将5人分成3组，再求出小李和小赵不同组的情况，然后再排列. 【详解】先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法， 其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种； 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式， 所以共有种方法. 42．（25-26高二下·广东佛山·期中）现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．20种 【答案】C 【分析】结合人数的分配以及排列数、组合数的计算求得正确答案. 【详解】根据题意，不同的分组有和， 则不同的安排方法共有． 43．（25-26高二下·吉林长春·期中）有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．300 B．360 C．390 D．420 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合求解即可． 【详解】当5人中恰有三人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人中恰有四人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人全部被录用，则不同的录用情况数为； 故不同的录用情况数为． 44．（25-26高二下·四川德阳·期末）根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（     ） A．50 B．64 C．35 D．128 【答案】A 【详解】若每个地区至少派送2名支教老师，则不同的分组方案为2人、4人或3人、3人： 若是2人、4人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则共有种方法； 若是3人、3人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则有种方法； 综上，共有 种方法. 考点九 几何组合计数问题 45．（25-26高二下·湖南长沙·期中）过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（    ） A．173对 B．174对 C．183对 D．186对 【答案】B 【分析】使用“正难则反”的原则，从总数中剔除所有相交和平行的共面情况即可求解. 【详解】从正方体的8个顶点中任取4个顶点，共有种取法， 每4个顶点可分为共面与不共面两种情况， 其中共面的情况包括6个表面和6个对角面共12种情况， 此外，每组不共面的4个点构成的四面体中，均有3组异面直线， 所以共有对不同的异面直线． 46．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（    ） A．32 B．34 C．33 D．35 【答案】C 【详解】从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为， 在三棱台中，共有3对棱平行：和，和，和， 所以所求的选法种数为． 47．（25-26高二下·河南洛阳·期中）（多选）在直三棱柱中，下列说法正确的是（   ）    A．以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥有12个 B．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 C．过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对 D．给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有264种 【答案】ABD 【分析】对于A，直接考虑选取的四面体的个数即可；对于B，直接考虑选取两个不同点的情况即可；对于C，结合A选项，根据每个四面体有3对异面直线求解；对于D，按用色数量的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定涂三点涂法数，再讨论点A，B，C的涂法数即可. 【详解】对于A，三棱柱有六个顶点，可组成个四面体，即三棱锥有12个，故A选项正确； 对于B，三棱柱有六个顶点，可组成条直线，故B选项正确； 对于C，三棱柱有六个顶点，可组成个四面体，而每个四面体有3对异面直线，则共有对，故C错误； 对于D，计算不同涂色方法数有两类方法： 当涂四色时，先涂，，，有种涂法，再从A，B，C中选一点涂第四种颜色，如A，再涂B， 若B与同色，则C有2种涂法，若B与异色，则C有1种涂法，于是得有种涂法， 当涂三色时，先涂，，，有种涂法，再涂A，有2种涂法，则B，C各有1种涂法，故有种涂法， 利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为： (种)， 所以不同的涂色方法共有264种，故D选项正确. 48．（25-26高二下·浙江·期中）如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（    ） A．30 B．33 C．63 D．69 【答案】B 【分析】分成两类计数：一类是所在面上另外5个点中任选3个，另一类是所在棱上三点与对棱中点共面，由此可得. 【详解】含有的侧面中，每个面上的6个点都是共面的，除外的5个点任选3个，则个数为， 所在的棱上三点与对棱中点共面，这样的组数有3个， 所以共有个. 考点十 x+y+z=n的整数解的个数（相同元素问题） 49．（25-26高二下·江苏淮安·期中）流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有________种． 【答案】35 【分析】问题等价转化为将8个口罩分给5个人，使用隔板法求解即可. 【详解】由题意，5名学生每人至少3个口罩，若每人2个，则需要分出10个， 所以18个口罩余下8个，化为将8个口罩分给5个人，每人至少一个口罩， 使用隔板法可得共有种. 50．（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的非负整数的个数为（   ） A．495 B．715 C．1001 D．2002 【答案】B 【分析】利用隔板法求解. 【详解】，， 则问题转化为将14个相同的元素分成5份，每份至少1个， 需要在14个元素之间的13个空隙中插入4个隔板， 则方程非负整数解的个数有. 51．（25-26高二下·广东·期中）下列各式错误的是（    ） A．已知，则的取值为6或7 B． C．将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D．的展开式中的系数为 【答案】C 【分析】由组合数的性质判断A，B；由隔板法判断C；由二项式定理判断D． 【详解】对于A，因为， 所以或， 解得或，故A正确； 对于B，由组合数的性质可知： ， 所以， 所以 ，故B正确； 对于C，利用隔板法可知，原问题即为将8个相同小球排成一列，在中间7个空隙中放入3个隔板即可， 所以共有种不同放法，故C错误； 对于D，因为的展开通项为：， 而的展开式中的系数由两部分组成： 第一部分是与的展开式中的系数的积，即； 第二部分是的系数与的展开式中的系数的积，即， 所以的展开式中的系数为，故D正确． 52．（25-26高二下·贵州遵义·期中）方程的正整数解的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定变量的正整数取值，再对剩余变量的和用挡板法分情况计算分组数，累加得到结果. 【详解】已知均为正整数，即. 由， 结合，得，解得，故可取. 利用挡板法：将个相同元素分为3组且每组至少1个，分组方式数为. 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 因此，总分组方式数为. 53．（2026高二·全国·专题练习）（1）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ （2）把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ （3）把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ 【答案】（1）15；（2）15；（3）36 【分析】（1）利用隔板法求解即可. （2）先将问题合理转化，再利用隔板法求解即可. （3）法一对空盒子的个数进行分类讨论，再求和即可，法二利用隔板法求解即可. 【详解】（1）在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （2）可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆， 在7个小球产生的6个空档中选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. （3）法一：空0个盒子共有种，仅空1个盒子共有种， 仅空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. 54．（25-26高二下·湖北武汉·期末）2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 【答案】/ 【分析】问题化为9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种分组，且并应用古典概型的概率求法求对应概率，进而求期望. 【详解】若三个年级人数分别为，则，又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种， 由题意，则，且各年级人数为， 其中的情况有一种情况，即， 的情况有、、、、、、、、九种情况，即， 所以， 综上，. 故答案为： 1．（25-26高二下·河北保定·期中）某六角星徽章由A，B，C，D，E，F六个平行四边形区域构成，现有3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．36 B．60 C．66 D．78 【答案】C 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】若颜色全相同，选颜色共种选法； 涂：每个区域不能是的颜色， 因此每个区域各有种选择，共种.共有种方法. 若用两种不同颜色，选2种颜色种；再分配给三个区域种， 因此共种涂法. 涂，仅夹在两个同色区域之间的那个区域有种选择， 其余两个夹在异色区域之间的区域各只有种选择，共种. 因此共有种方法. 若颜色全不同，用3种颜色，共种涂法； 涂，每个区域夹在两个异色区域之间，仅剩余1种颜色可选，共种. 共有种方法. 将三类相加，总涂色方法为种. 2．（25-26高二下·四川内江·期中）用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数是（     ） A．5 B．120 C．625 D．1024 【答案】B 【详解】用2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数的个数为. 3．（25-26高二下·吉林·期中）由数字组成的无重复数字并且比大的偶数个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知数字组成的无重复数字的6位偶数大于， 则首位为或： 当首位为4时，个位为0或2，共2种，中间4位数任意排列，共种； 当首位为5时，个位为，共3种，中间4位数任意排列，共种； 总数为：． 4．（25-26高二下·重庆·期中）从（包含甲）人中选派人参加这三项不同的活动，且每项活动有且仅有人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】分甲被选中和甲未被选中两类情况计算，再由分类加法计数原理可得. 【详解】根据题意，分两类完成： 第一类：甲被选派参加活动：由于甲不参加和活动，故甲仅能参加活动， 剩余两项活动需从其余人中选人参加，方案数为种； 第二类：甲未被选派参加活动：需从其余人中选人分别参加三项不同活动， 方案数为种. 根据分类加法计数原理，总方案数为种. 5．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的符合条件排列数，两者作商得到所求概率. 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ， 根据条件概率公式： . 6．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 【答案】B 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 7．（25-26高二下·河北石家庄·期中）以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（     ） A．210 B．190 C．195 D．180 【答案】D 【分析】应用组合数求从10个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【详解】正五棱柱共10个顶点，任取4个顶点，有种不同选法， 底面为正五边形，任取4个顶点，有种不同选法， 5条侧棱互相平行，任取2条，有种不同选法， 四点共面中，出现底面对角线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况， 则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为. 8．（2026·辽宁大连·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能（AI）技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码．已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，每次点击有3种选择，连续点击5次，共有种组合， 当5个数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0， 若为三个1和两个0，则共有种组合， 若为一个2，一个1，三个0，则共有种组合， 即数字之和为3时共有种组合， 因此抽奖码是3的概率为. 9．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 10．（25-26高二下·河南郑州·期中）（多选）下列问题中哪些是排列问题（    ） A．从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法 B．从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法 C．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的有向线段共有多少条 D．平面内有共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条 【答案】AC 【详解】对于A，从全班40人中选出3人，有明确的职务，即选出的元素有顺序，故是排列问题，故A正确； 对于B，从全班40人中选出3人参加某项活动，选出的元素无顺序，故是组合问题，即B不符合题意； 对于C，以4个点中的2个点为端点的有向线段，显然有顺序，故是排列问题，故C正确； 对于D，以4个点中的2个点为端点的线段无顺序，故是组合问题，即D不符合题意. 11．（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到A、B、C三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（     ） A．共有540种不同的分配方法 B．甲分配到学校的概率为 C．若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D．甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 【答案】BCD 【分析】按与分配求解判断AC；缩小样本空间求出古典概率判断B；按甲去校分类求出方法种数，再求出概率判断D. 【详解】对于A，按分配有种方法，按分配有种方法， 因此符合要求的不同分法种数是，A错误； 对于B，甲有3种分配方案，因此甲分配到学校的概率为，B正确； 对于C，若甲乙和另外一位老师分配到某校，则需按分配有种方法， 若甲乙分配到某校，则需按分配有种方法， 因此甲、乙两位教师必须分配到同一所学校的不同分法种数是，C正确； 对于D，甲到校有种方法，甲到校有种方法， 因此甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为，D正确. 12．（25-26高二下·天津静海·期中）现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者第二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目排序方式有__________种． 【答案】42 【详解】数列在第一道位置时，解析几何没有要求，则有种； 数列在第二道位置时，解析几何不能在第一道， 则解析几何排在第3，4，5道的位置，则有种； 综上，共有种. 13．（2026高三·全国·专题练习）某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆．若该学校将参观时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有________种．（用数字作答） 【答案】12 【详解】假设有1，2，3三个年级，第一个时间段有种选择. 第二个时间段若1选择2第一个时间段的选择，3只能选择1第一个时间段的选择，剩下的给到2， 若1选择3第一个时间段的选择同理，因此第二个时间段有两种选择. 第三个时间段只能选择每个剩下的参观. 因此总安排方式有种. 14．（25-26高二下·重庆·期中）现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量是________． 【答案】100 【分析】先分组，然后将含甲同学的小组分配到数学或物理小组，再分配另外两个小组即可. 【详解】第一步，将五人分成三个小组，各小组人数有和两类情况， 当按照分组时，有种分组方法， 当按照分组时，有， 所以总的分组方法有种； 第二步，将含有甲的小组分到数学或物理兴趣小组，有2种方法； 第三步，将剩余两组分配到另外两个兴趣小组，有种方法. 又分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有种方法. 15．（25-26高二下·河南郑州·期中）一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中至多含有1个黑球，有多少种取法？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，直接利用组合，即可求解； （2）根据条件，直接利用组合，即可求解； （3）根据条件，利用分类计数原理和组合，即可求解. 【详解】（1）因为口袋内共有个球，所以从口袋内取出的3个小球，共有种取法. （2）因为口袋内有7个白球和2个黑球，所以从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，有种取法. （3）因为口袋内有7个白球和2个黑球，从口袋内取出3个球，其中不含黑球有种， 由（2）知从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，有种取法， 所以从口袋内取出3个球，使其中至多含有1个黑球，有种取法. 16．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某青年志愿者协会共有4名男生和3名女生.现要从中选出5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上（岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤）． (1)若女生丽丽必须进入小队并担任宣传，求符合条件的安排方法数； (2)若已知后勤必须由男生担任，接待必须由女生担任，且男生大勇不会维修，求符合条件的安排方法数． 【答案】(1)360 (2)612 【分析】（1）将丽丽固定在宣传岗，从剩余人中选人进行排列即可； （2）按特殊元素，特殊位置优先排列的原则，分男生大勇是否担任后勤两种情况分析，并根据分类加法和分步乘法计数原理计算可得. 【详解】（1）丽丽固定在宣传岗， 剩余4个岗位（接待、保洁、维修、后勤）从剩下的6人（4男+2女）中选4人进行排列． 方法数为：种． （2）①若男生大勇担任后勤，则先安排接待岗位有3种安排方法， 再从剩下的5人中选择3人排列到剩余岗位上， 根据分步乘法计数原理，方法数为种； ②若后勤不由大勇担任，则先安排后勤岗位有3种安排方法， 再安排接待岗位有3种安排方法， 第三步安排维修岗位，因大勇不能担任，所以有4种安排方法， 最后从剩下的4人中任选2人排列到宣传和保洁两个岗位上. 根据分步乘法计数原理，方法数为种， 综上，根据分类加法计数原理，总安排方法数为种． 17．（25-26高二下·河北邯郸·期中）3个女生和5个男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体， 这样和5个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法， 而每一种排法中，3个女生间又有种排法． 因此共有（种）不同排法． （2）（插空法）先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置， 从中选取3个位置排女生，有种排法． 因此共有（种）不同排法． （3）法一（位置分析法）因为两端不排女生，所以只能从5个男生中选2人排列， 有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法． 因此共有（种）不同排法． 法二（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制， 有种排法． 因此共有（种）不同排法． 18．（25-26高二下·江苏镇江·期中）甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出总的组合数，再求出对立事件对应的取法，用总的取法减去全是次品的取法即可； （2）根据甲箱中取出2件的类型，分成3种情况，分别计算三种情况的发生概率，再利用全概率公式计算求解． 【详解】（1）已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种， 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种， 这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种． （2）从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品， 抽到正品的概率为； ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $