江苏苏州常熟市中学2025-2026学年高二下学期5月学习效果阶段调研数学试卷

2025~2026学年第二学期学习效果阶段调研卷（5月） 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．随机变量的方差是2，则随机变量的方差是（ ） A．2 B．8 C．5 D．9 2．展开式中的系数为（ ） A．504 B．84 C． D． 3．在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（ ） A． B． C． D． 4．将2个完全相同的黑球和4个完全相同的白球排成一排的排法种数是（ ） A．15 B．20 C．30 D．12 5．函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ） A． B． C． D． 7．设，为两个事件，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．苏州旅游局在中小学生春假期间选出6名学生去苏州博物馆、拙政园、虎丘做志愿者，规定：每名学生只能去一个地方，每个地方至少安排一名志愿者，若甲、乙两名学生去拙政园，则不同的安排方法的种数有（ ） A．38 B．42 C．50 D．56 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 且，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是函数定义域内的极小值点 B．的单调减区间是 C．若方程有两个不同的实根，则 D．在定义域内有最小值，无最大值 11．给定正整数，，进行次独立重复试验，每次试验成功的概率为，设事件表示第1次试验成功，事件表示前2次试验中恰有1次成功，事件表示次试验中恰有次成功，事件表示次试验中至少成功次，下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．对任意，事件与事件都不独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 13．甲乙兄弟二人与其他六位朋友以随机顺序排成一排照相，则两兄弟之间恰有三人的概率是__________． 14．若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知且满足各项的二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求的值． 16．（15分）甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为60%，乙赢的概率为50%，设甲乙两人胜负结果是独立的，且各轮比赛相互独立．求： （1）在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）； （2）在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差． 17．（15分）如图，在直三棱柱中，平面，，为棱的中点，且． （1）求证：； （2）若平面和平面所成角为，求； （3）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且变化时，球的体积取到最小值，求此时直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； （2）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 19．（17分）已知函数，其中，． （1）若，求的单调区间； （2）设，令，已知满足对任意都有两个不同的零点， （i）求的取值范围； （ii）若，1，成等差数列，证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 常熟市中学高二下5月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BCD 10．AC 11．ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）448；（2）255． 【解析】（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以，二项式展开式的通项为，所以； （2）令，得，令，得，所以． 16．【答案】（1）略（2）0.2，0.98． 【解析】（1）可能取值为，0，1由记分规则，得， ， 的概率分布列用表格表示为 0 1 0.2 0.5 0.3 （2）可能取值为，，0，1，2，由两轮比赛的结果独立，得 ，， ，， 的概率分布列用表格表示为 0 1 2 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以有， ． 17．【答案】（1）略；（2）1；（3）． 【解析】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，可得． 已知，且． 故平面． 因为平面，所以． （2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 设，则，，，． 易求得平面的一个法向量为．平面的一个法向量为． 由题意： 解得，因，故，即． （3）直角的外接圆心为斜边中点． 设外接球心，半径为． 由可得： 解得． 球半径，当且仅当时，取得最小值，体积最小． 此时，且球心．所以，代入（2）中求出的法向量可得平面的法向量． 设所求角为，则： 直线与平面所成角的正弦值为． 18．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）． 【解析】（1）（i）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”． 则，，所以． （ii）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率． 则，，，1，2，3，4， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望． （2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”，其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，则 ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ， 解得，所以甲的亲友团助力的概率的最小值为． 19．【答案】（1）略；（2）（i）；（ii）略． 【解析】（1）此时，． 若，则，在递减． 若，令，则，且时，时． 因此的单调减区间是，单调增区间是． （2）（i）由题意． ，．因此递增． 又因为，且在上的值域是．因此有唯一解， 设为． 则时，时，因此在上单调递减，在上单调递增．且． 由于和时，因此有两个零点等价于，即对任意恒成立． 又，且满足，将代入得． 由于和一一对应，因此对任意恒成立． 令．则，从而在上，在上，因此．因此．即的取值范围是． （ii）由（i）知先减后增，且由于，因此，因此．设，，则，代入得 解之得 相加得 ． 因此等价于 ． 令，， 因此递减，因此成立． 学科网（北京）股份有限公司 $