精品解析：江苏省泗阳中学2025-2026学年第二学期第二次学情调研数学试卷

2025-2026学年第二学期第二次学情调研 高二数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 2. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 3. 某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（ ） （参考数据：若，则） A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 5. 一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 如图，已知圆锥的轴截面为正三角形，底面圆心为，，垂足为.线段绕轴旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，随机变量，若，则的值为（ ） A. 81 B. 242 C. 243 D. 80 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 二面角的正弦值为 D. 该平行六面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的系数为___________. 13. 某生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有__________种． 14. 甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社团对男女学生是否喜欢书法进行了一个随机调查，调查的数据如下表所示． 喜欢书法 不喜欢书法 男学生 24 32 女学生 16 24 根据调查数据回答： （1）有的把握认为性别与是否喜欢书法有关吗？ （2）若该社团某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动，记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为 与 . （1）甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率； （2）甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率. 17. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 18. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次学情调研 高二数学试卷 时间：150分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可. 【详解】若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题. 2. 的展开式中常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项展开式的通项公式为， 整理得：， 令，解得：， 展开式中常数项为：. 3. 某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（ ） （参考数据：若，则） A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328 【答案】C 【解析】 【详解】，则，， ， 因此身高落在区间内的男生人数为. 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可. 【详解】的展开式中的系数是 因为且，所以， 所以， 以此类推，. 故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用. 5. 一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 6. 已知，则关于的展开式中各项系数之和的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】代入系数和公式，以及基本不等式求解. 【详解】令，则展开式中各项系数和为，因为，所以， 当，即时等号成立，所以展开式的各项系数之和的最小值为16. 7. 如图，已知圆锥的轴截面为正三角形，底面圆心为，，垂足为.线段绕轴旋转一周所得的曲面将圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，根据已知确定上几何体的构成，再应用圆锥的体积公式求上下几何体的体积，即可得. 【详解】过作，如下图示， 由题意，上几何体是半径为的两个圆锥组合而成，高分别为， 令的边长为，则，，，可得， 所以上几何体的体积为， 而圆锥的体积为， 所以下几何体的体积为， 综上，上下几何体的体积之比是. 8. 已知，随机变量，若，则的值为（ ） A. 81 B. 242 C. 243 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布求出、的值，并求出、的表达式，根据题中条件求出的值，利用赋值法可得出结果. 【详解】因为随机变量，则，， 因为， 则，， 所以，，解得， 令， 所以，， 故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用数据的和差积商性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A，因随机变量，则，由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B，由事件，相互独立可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，， 对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C正确； 对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 10. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用排列组合计算符合要求的基本事件的个数和基本事件的总数，根据古典概型概率公式可得选项A错误，C正确；利用条件概率公式可得选项B正确；根据和事件的概率公式可得选项D正确. 【详解】A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D.，D正确. 故选：BCD. 11. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 二面角的正弦值为 D. 该平行六面体的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由即可判断A；由即可判断B；取AD中点O，连接得到是二面角的一个平面角，再计算即可求解二面角的正弦值；求出即可由正弦定理和柱体体积公式计算求解判断D. 【详解】由题可得， 因为 所以不垂直，A错误； 因为，所以， 所以即，B正确； 取AD中点O，连接，则由题意易知， 所以是二面角的一个平面角， 因为， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为，C正确. 因为四面体为正四面体，故顶点在底面的投影落在直线上， 因为， ， 所以，所以， 所以该平行六面体的体积为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理，通过对展开式的通项讨论得出结果 【详解】考虑二项式展开式的通项为， 当时，该项为；当时，该项为； 因此展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 13. 某生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有__________种． 【答案】36 【解析】 【分析】根据特殊元素优先的原则，分类讨论计算即可. 【详解】由于甲、乙、丙比较特殊，因此可以将他们先安排，以他们照看第一、四道工序分类讨论． ①当甲照看第一道工序、丙照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）； ②当乙照看第一道工序、甲照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）； ③当乙照看第一道工序、丙照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）． 综上所述，不同的安排方案一共有（种）． 故答案为：36. 14. 甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据的可能取值分类讨论即可，②先考虑单局游戏得分之和的数学期望，再根据每局游戏是相互独立的，从而计算结果. 【详解】①甲先从张卡片中随机抽取张，有种组合，乙从剩下的张中随机抽取张，有种组合， 因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为种， 甲抽取张卡片中较大编号为，乙抽取张卡片编号为，“默契局”的条件是， 由题意可知，的可能取值是， 当时，甲抽到的卡片只能是，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或或，此时需满足，没有满足条件的，情况数为种； 因此，“默契局”的总情况数为种，一局游戏成为“默契局”的概率为. ②设单局游戏中甲乙得分之和为，则 如果是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为； 如果不是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为； 则单局得分之和的期望为， 由于三局游戏是相互独立的，总得分之和是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性性质，有. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社团对男女学生是否喜欢书法进行了一个随机调查，调查的数据如下表所示． 喜欢书法 不喜欢书法 男学生 24 32 女学生 16 24 根据调查数据回答： （1）有的把握认为性别与是否喜欢书法有关吗？ （2）若该社团某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动，记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）答案见解析; （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据及公式，求出，观测值与临界值进行比较即可求解. （2）利用超几何分布求解分布列，再计算期望. 【小问1详解】 如图，画出完整列联表 喜欢书法 不喜欢书法 总计 男学生 24 32 56 女学生 16 24 40 总计 40 56 96 假设零事件:认为性别与是否喜欢书法无关联， ， 根据的独立性检验，即没有的把握认为性别与是否喜欢书法有关联； 【小问2详解】 可能的取值：， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 16. 甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为 与 . （1）甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率； （2）甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率公式进行求解即可. (2)由题意结合对立事件概率公式求解这四次投球中至少一次命中的概率值即可. 【小问1详解】 恰好命中1次，有“甲命中乙未命中”和“甲未命中乙命中”两种情况， 所以恰好命中1次的概率. 【小问2详解】 “甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮中至少一次命中”的事件是“甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮均未命中”的事件C的对立事件， 而 ∴甲、乙两人在罚球线各投篮二次，这四次投篮中至少一次命中的概率为 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投篮中至少一次命中的概率为 17. 在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； （2）若第项是有理项，求的取值集合. （3）系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】（1） （2） （3）第项和第项 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）当为整数时为有理项，即可求解； （3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组即可求解. 【小问1详解】 ，， 二项式系数最大的项为中间项，即第项， 所以； 【小问2详解】 ，， 当为整数时为有理项，即， 则的取值集合为； 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，所以，解得， 故系数的绝对值最大的项为第项和第项. 18. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先判断四点共面，再结合线面平行的性质得到，最后结合平行四边形的性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用面面角的向量求法求解即可. （3）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在中，过点N作交BC于点Q，连接QM， 如图，作出符合题意的图形， 在三棱柱中，因为，所以， 所以四点共面，因为直线平面，平面， 平面平面，所以． 所以四边形是平行四边形， 得到，所以为的中点． 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又因为正方形，， 故可以B为原点建立空间直角坐标系，如下图， 因为，所以，，，， ， ，，所以，． 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得， 易知平面的法向量， 得到， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 而，由中点坐标公式得，则， 由，得，取，得， 又，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得. 19. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 【答案】（1） （2） （3） 由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 【解析】 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【小问1详解】 恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 【小问2详解】 由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $