精品解析：江西抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年高二下学期5月阶段性检测数学试题

崇仁一中2026年春季学期高二年级阶段性数学学科作业 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式，列方程组求出，再根据通项公式求解． 【详解】，即， 解得：，． 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得，即可得答案. 【详解】由可变形为， 故为公差为的等差数列， 所以，所以，所以． 4. 若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】设，则， 由题意得，解得. 5. 函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数与原函数的关系判断. 【详解】设导函数图象与轴交点为，则， 由图象知，时，，单调递增，时，，递减， 又的图象过原点，所以时，，点在第三象限， 所以图象不过第二象限； 函数在上单调递增，所以，即点在第一象限； 因为函数在上单调递减，且递减速度越来越快，所以函数图象一定会经过第四象限. 6. 已知数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【详解】因为，即． 当时，，即； 当时，， 所以，即． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以． 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，分析单调性得到的大小关系，从而得到的大小关系. 【详解】可知， 设，则， 因为在上都是减函数，所以也是减函数， 当时，， 所以在上单调递减，可得 ， ，所以． 8. 当，满足，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和取值范围的分析，得到在上恒成立.再分离参数得，，设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由. 设，， 则. 又因为，， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，，与1的大小关系不确定，但是要求实数的最小值，所以只要考虑，此时， 所以. 因为，所以，. 设，，则，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以. 所以. 即实数的最小值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极小值为 C. 的图象关于原点对称 D. 有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】先求导，利用导数研究单调性进而判断AB，判断的奇偶性即可判断C，求的零点即可判断D. 【详解】函数的定义域为， 所以， 对于A，由，得或，函数在上单调递增，故A正确； 对于B，由，得，函数在上单调递减， 在上单调递增，所以函数在取得极小值，故B错误； 对于C，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，故C正确； 对于D，由，解得，函数有3个零点，故D错误． 10. （多选）如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过观察图形，数出前4个图案中黑色小三角形的个数，归纳出数列的通项公式，进而逐一判断各选项. 【详解】选项A：观察图形可知， 第1个图案中黑色三角形个数 ； 第2个图案中黑色三角形个数 ； 第3个图案中黑色三角形个数 ； 第4个图案中黑色三角形个数 ； 由此可知，数列是首项为1，公比为3的等比数列， 通项公式为 ，故选项A正确； 选项B：由选项A可知 ，显然 ， （例如时，），故选项B错误； 选项C：由通项公式可得 ，故选项C正确； 选项D：当时，，故选项D正确. 11. 若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数在区间上为“凹函数” D. 若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】先通过赋值法求解抽象函数的解析式，再结合题目给出的“凹函数”定义，利用导数逐一分析各选项即可. 【详解】∵ 函数的定义域为，满足，且， 令，得，即， ∵ ，∴ . 令，得，即， 代入原式验证：左边，右边，等式成立， 故. 对选项A：∵ ，∴ A正确. 对选项B：∵ ，，故，故不是奇函数，B错误. 对选项C：， 则，设函数的导函数为 则， 当时，，， 故，即在上为减函数，不符合凹函数定义，C错误. 对选项D：，故， 则，设函数的导函数为， 若为上的凹函数，则为上的增函数，即对任意恒成立， 故恒成立， 即对任意恒成立. 令，则， 令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， ∴ ，即，故D正确. 【点睛】方法归纳：求解抽象函数解析式常用赋值法，处理新定义问题需准确转化定义为已有知识，恒成立问题优先分离参数转化为函数最值问题求解. 易错归纳：判断凹函数时需注意是一阶导数单调递增，即二阶导数非负，避免混淆导数阶数出错；求解函数最值时需准确判断单调性，不要弄错极值点的函数值符号. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，且，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合，根据求得的取值范围. 【详解】由解得，所以，由于，所以. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查根据包含关系求参数，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 13. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件转化为恒成立问题，通过分离参数求最值得到的取值范围. 【详解】因为在单调递增， 所以在恒成立， 所以在恒成立，令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围是. 14. 已知数列满足，且，则数列的前n项和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得数列是首项为，公差的等差数列，得到，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由数列满足，当时，可得，所以， 当时，可得，所以， 因为，可得，解得， 又由，当时，可得， 两式相减，可得， 整理得，即， 即，所以数列是首项为，公差的等差数列， 所以， 则， 所以数列的前n项和为： . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数，若函数在处与直线相切． （1）求实数，的值； （2）求函数在上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可确定方程组，求解即可； （2）由函数的导函数可确定函数在给定区间上的单调性，结合单调性可求最大值. 【小问1详解】 ，， 函数在处与直线相切， ，解得 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 当时，令，得， 令，得， 在上单调递增，在上单调递减， ． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用求出数列首项,再通过与作差得到递推关系,判定为等比数列,进而求出通项公式并验证首项符合. (2)由得出,利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 因为①， 当时,可得，即， 当时，②. 由①②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列，所以, 当时满足上式，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减得， 即，则 故. 17. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1）； （2）当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 【解析】 【分析】（1）由题给、代入函数表达式，解方程求出参数的值，确定完整的函数解析式. （2）先根据单件利润与销量关系列出每日利润并化简，再对利润函数求导得到导函数，令导函数为零求出临界点并舍去区间外的解，依据导函数正负判断函数在区间内的单调性，确定为最大值点，最后代入算出最大利润，得出定价与最大利润的结论. 【小问1详解】 由题意可知，当时，，即， 解得，所以. 【小问2详解】 设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得（舍去）或， 所以当时，在为增函数； 当时，在为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 此时元. 所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 18. 已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设为的前项和，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】(1)设等比数列的公比为,由变形得,解得；结合求得,故.由是公差为1的等差数列及,得,进而得. (2)化简：奇数项,偶数项；将拆分为奇偶项和,奇数项用裂项相消法、偶数项按等比数列求和,最终得. 【小问1详解】 等比数列的公比设为，前项和为， 数列是公差为的等差数列，设 即有，即， 由，，，得， 又，所以， 即为，即，代入解得， 可得；． 【小问2详解】 即为 ． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）化简，求导，并令，分离参数得到，令，利用导数分析函数的取值，求出m的取值范围； （ⅱ）利用极值点性质得到，，令，将待证式转化为，构造函数，利用导数分析单调性，进而证明. 【小问1详解】 当时, ，, 所以，所以函数在点处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 ， ，令，则， 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 当时，，当时， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同的根， 所以，故m的取值范围为； （ⅱ）因为， 所以， 所以， 令，则，代入上式得：， 因为，所以 ， 要证，只需证，即证， 令，则， 令，则， 所以即在上单调递减，， 所以在上单调递增，所以， 即成立，故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇仁一中2026年春季学期高二年级阶段性数学学科作业 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 2026 7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 当，满足，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极小值为 C. 的图象关于原点对称 D. 有两个零点 10. （多选）如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数在区间上为“凹函数” D. 若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，且，则实数的取值范围是______. 13. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 14. 已知数列满足，且，则数列的前n项和为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设函数，若函数在处与直线相切． （1）求实数，的值； （2）求函数在上的最大值． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，求. 17. 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 18. 已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设为的前项和，求． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $