精品解析：2026年江西抚州市联盟中考适应性演练二模数学试题

2026年初中学业水平考试适应性演练 数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. （深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用字母“C”“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，…，按此规律排列下去，第2025个图案中字母H的个数为（ ） A. 4048 B. 4050 C. 4052 D. 4054 6. 某生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线如图所示，观察曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 在12时时，该植物的呼吸作用强度逐渐减弱 B. 该植物24小时内进行光合作用的时间为16小时 C. 在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大 D. 在4时时，该植物的光合作用强度逐渐增强 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. ___________． 8. 因式分解：_____． 9. 在中，，，，则__________． 10. 已知、是方程的两个实数根，则的值是_______． 11. “向莆铁路”（昌福高铁前身）是抚州第一条快速铁路，被誉为“赣东最美铁路线”．“向莆铁路”列车的车速比原来普通列车每小时快50千米，已知从抚州到南昌全程约120千米，提速后运行时间缩短了30分钟．求“向莆铁路”列车的速度．设“向莆铁路”的速度为千米/时，依题意，可列方程为___________． 12. 如图，在矩形中，，，将线段绕顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，线段的长度为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图：已知，且，求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 张老师在班会课上进行中国传统民俗文化教育，她请同学们从下面图示的四张春节习俗卡片（除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片）中，随机抽取一个进行习俗讲解．现将卡片背面朝上洗匀后让欢欢和乐乐开始抽取． （1）欢欢从这四张卡片中随机摸出一张卡片，摸到“．吃饺子”的概率是 ； （2）若欢欢先从这四张卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片背面朝上放回，洗匀，乐乐再从这四张卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法，求两人摸到的卡片习俗相同的概率． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）； （2）在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等． 17. 如图，一次函数的图像与反比例函数（，）的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上的一动点，当的面积为3时，求a的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，浔阳楼是江南十大名楼之一，因九江古称浔阳而得名．某校数学兴趣小组在测量浔阳楼的高度的过程中，绘制了如图2所示的示意图，斜坡的长为5m，．在点D处测得浔阳楼顶端A的仰角为，又在点E处测得浔阳楼顶端A的仰角为，交的延长线于点C．（参考数据：，，，，） （1）求斜坡的高度． （2）求浔阳楼的高度． 19. 如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若， 求的长． 20. 某体育用品店借抚州赣超联赛热潮，购进A、B两款抚州本土球队球迷装备．相关信息如下： 信息1：每个A款球迷装备的进价比每个B款多元； 信息2：该店用元购进A款装备的数量，是用元购进B款装备数量的一半． （1）求每个A款、B款球迷装备的进价分别是多少元？ （2）厂家联动赣超推出优惠：购买1个A款装备，赠送1个B款装备．若B款装备的总数量，是A款数量的倍少个，且购买总费用不超过元，求该店最多可购买多少个A款装备？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 22. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论解答题（2）． （1）如图1，在中，，，垂足为D． 求证：． 结论应用 （2）如图2，在菱形中，过点C作，交的延长线于点E，过点E作，垂足为F，且交于点G． ①若，，求的长； ②若，，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试适应性演练 数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列实数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是整数，属于有理数； B、开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； C、是有限小数，属于有理数； D、，是整数，属于有理数． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，但不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形但不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半图形互相重合，也能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是轴对称图形也是中心对称图形，故D正确． 3. （深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据2360亿用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，2360亿， ∴把数据2360亿用科学记数法表示， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A：，∴ A错误； B：，∴ B错误； C：，∴ C错误； D：，∴ D正确． 5. 如图，用字母“C”“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，…，按此规律排列下去，第2025个图案中字母H的个数为（ ） A. 4048 B. 4050 C. 4052 D. 4054 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索．观察可知，后面一个图形比其前面（相邻）的那个图形多2个H，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案中有4个H， 第2个图案中有6个H， 第3个图案中有8个H， ……， 以此类推，可知第n个图案有个H， ∴第2025个图案中字母H的个数为， 故选：C． 6. 某生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线如图所示，观察曲线，下列说法不正确的是（ ） A. 在12时时，该植物的呼吸作用强度逐渐减弱 B. 该植物24小时内进行光合作用的时间为16小时 C. 在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大 D. 在4时时，该植物的光合作用强度逐渐增强 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，正确的识别图象是解题的关键． 根据图象中提供的信息即可得到结论． 【详解】A．在12时时，该植物的呼吸作用强度逐渐减弱，正确； B．该植物24小时内进行光合作用的时间为16小时，正确； C．在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大，正确； D．在4时时，该植物的光合作用强度先增强，再减弱，故错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. ___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、余弦的定义． 根据勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图： ， 在中，，，， 由勾股定理得AB= 所以． 故答案为：． 10. 已知、是方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系得到，并由方程的解得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：． 11. “向莆铁路”（昌福高铁前身）是抚州第一条快速铁路，被誉为“赣东最美铁路线”．“向莆铁路”列车的车速比原来普通列车每小时快50千米，已知从抚州到南昌全程约120千米，提速后运行时间缩短了30分钟．求“向莆铁路”列车的速度．设“向莆铁路”的速度为千米/时，依题意，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，利用提速前后运行时间的差等于缩短的时间列方程，需要先将时间单位统一为小时． 【详解】解：设“向莆铁路”的速度为千米/时，则原来普通列车的速度为千米/时， ∵提速后运行时间缩短了30分钟，即小时， ∴可列方程为． 12. 如图，在矩形中，，，将线段绕顺时针旋转，得到线段，连接，，当时，线段的长度为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】如图，连接、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，推出，，然后分两种情况：①点在上方；②点在长方形内时，结合旋转的性质，等边三角形的判定和性质及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ①点在长方形内时， 如图，连接，则， ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∵将线段绕顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ②当点在下方时， 如图，延长至点，使，连接、，则，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴、、三点共线， ∵将线段绕顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点是的中点， ∵，即， ∴， 若点与重合，则， 此时， 综上所述，线段的长度为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与判定，垂直平分线的判定性质，等腰三角形的三线合一等知识点，运用了分类讨论的思想．正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图：已知，且，求证：． 【答案】（1）（2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，平行线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，乘方，特殊角的三角函数值，再运算加减，即可作答． （2）先根据平行的性质得，结合等边对等角得，，进行角的整理得，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∵， ∴，， 则， ∵， 则， 故， ∵， ∴． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，代数式求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先计算括号内分式减法，再计算除法，代入特殊三角形函数值求出，然后代入求值，即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 15. 张老师在班会课上进行中国传统民俗文化教育，她请同学们从下面图示的四张春节习俗卡片（除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片）中，随机抽取一个进行习俗讲解．现将卡片背面朝上洗匀后让欢欢和乐乐开始抽取． （1）欢欢从这四张卡片中随机摸出一张卡片，摸到“．吃饺子”的概率是 ； （2）若欢欢先从这四张卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片背面朝上放回，洗匀，乐乐再从这四张卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法，求两人摸到的卡片习俗相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人摸到的卡片习俗相同的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴欢欢从这四张卡片中随机摸出一张卡片，摸到“．吃饺子”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 欢欢 乐乐 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中两人摸到的卡片习俗相同的结果数有4种， ∴两人摸到的卡片习俗相同的概率为． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）； （2）在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义及其作法、平行线线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键． （1）利用平行线间距离处处相等，作出同底等高的三角形即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 解：如图： 17. 如图，一次函数的图像与反比例函数（，）的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴上的一动点，当的面积为3时，求a的值． 【答案】（1）k的值为，的值为6 （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ∴， ∴一次函数解析式为． 把代入，得． ∴． 把代入，得． ∴k的值为，的值为6． 【小问2详解】 解：当时，． ∴． ∵为x轴上的一动点， ∴． ∴， ． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，浔阳楼是江南十大名楼之一，因九江古称浔阳而得名．某校数学兴趣小组在测量浔阳楼的高度的过程中，绘制了如图2所示的示意图，斜坡的长为5m，．在点D处测得浔阳楼顶端A的仰角为，又在点E处测得浔阳楼顶端A的仰角为，交的延长线于点C．（参考数据：，，，，） （1）求斜坡的高度． （2）求浔阳楼的高度． 【答案】（1）斜坡的高度为 （2）浔阳楼的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，涉及勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键在于正确构造直角三角形进行求解． （1）在中，直接解直角三角形即可； （2）过点D作于点，则四边形为矩形，那么，在中，由勾股定理得，在中，由，可设，则，，在中，，即可求解，继而可求． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， 答：斜坡的高度为； 【小问2详解】 解：过点D作于点， 则由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 在中，∵， ∴， ∴， ∴设， 则，， ∴在中，， 解得：， ∴， 答：浔阳楼的高度为． 19. 如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若， 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，切线长定理，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的判定与性质定理，学会添加常用辅助线是解题的关键． （1）连接，利用证明，结合已知推出，即，再根据圆的切线判定定理(垂直于半径外端的直线是圆的切线)，即可证明； （2）先设圆的半径，表示出，在中利用勾股定理列方程求解得半径为，进而得出；再根据切线长定理设，表示出，在中再次用勾股定理列方程解得；最后在中通过勾股定理计算出即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵点在圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 在中，，， 即， 解得， ∴； ∵是圆的切线， ∴设， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，． 20. 某体育用品店借抚州赣超联赛热潮，购进A、B两款抚州本土球队球迷装备．相关信息如下： 信息1：每个A款球迷装备的进价比每个B款多元； 信息2：该店用元购进A款装备的数量，是用元购进B款装备数量的一半． （1）求每个A款、B款球迷装备的进价分别是多少元？ （2）厂家联动赣超推出优惠：购买1个A款装备，赠送1个B款装备．若B款装备的总数量，是A款数量的倍少个，且购买总费用不超过元，求该店最多可购买多少个A款装备？ 【答案】（1）每个A款装备的进价为元，每个B款装备的进价为元； （2）该店最多可购买个A款装备． 【解析】 【分析】（1）设每个B款装备进价为元，则每个A款装备的进价为元，根据信息2列出方程，解方程即可求解； （2）设该体育用品商店购买个A款装备，则有个B款装备，根据题目要求列出不等式组，即可求得的取值范围，这里注意根据题目信息B款装备总数量应该不少于购买的A款装备数量． 【小问1详解】 解：设每个B款装备进价为元，则每个A款装备的进价为元， 根据题意得，解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， 则（元/个）， 答：每个A款装备的进价为元，每个B款装备的进价为元； 【小问2详解】 解：设该体育用品商店购买个A款装备，则有个B款装备， 根据题意得，解得， 答：该体育用品商店最多可购买个A款装备． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案； （2）先求出编织的人数，再补全条形图即可； （3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案； （4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为： （人）； 故答案为：60； （2）选择编织的人数为：（人）， 补全条形图如下： （3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为： （人）； （4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则 列表如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果， ∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：； 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论解答题（2）． （1）如图1，在中，，，垂足为D． 求证：． 结论应用 （2）如图2，在菱形中，过点C作，交的延长线于点E，过点E作，垂足为F，且交于点G． ①若，，求的长； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②5 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，正确应用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，列出比例式即可求证； （2）①由（1）可得：，那么，代入，即可求解； ②由，再由勾股定理可得，证明，则，求出，那么． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明： 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $