精品解析：江西宜春市袁州区2025－2026学年九年级下学期数学阶段性练习（二）

九年级下学期数学阶段性练习（二） 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的负整数是（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂体现了我国古代建筑之美，既有几何之规整，又有自然之灵秀，下面是关于窗棂的一些图片，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其开花时长的平均数和方差如图所示，若从甲、乙、丙、丁中选择一种开花时间最长，且最平稳的，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） A. 呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B. 当K＝0时，的阻值为100 C. 当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算________． 8. 小麦花粉的直径约为米，数据用科学记数法表示为__________． 9. 如图，正方形的边长为，分别取，，，各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为________． 10. 如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 12. 矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解不等式 （1）计算：； （2）解不等式组：． 14. 数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图，小颖将问题转化为图，※为运算符号，为一个代数式． （1）小颖猜测※为“”，求； （2）数学老师告诉小颖※为“÷”，用表示出，并求时的值． 15. 如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形． （2）在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 16. 如图，体育课上，六位同学（分别记为A，B，C，D，E，F）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，且球传给其他三人的可能性相同，如B可以将球传给D，E或F，但不能将球传给A或C，球现在A手中． （1）第一次传球后，A将球传给F的概率为________． （2）若假设没有传球失误，求经过两次传球后球在B手中的概率． 17. 如图，为的内接三角形，点为圆外一点，，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 19. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 20. 如图，直线与双曲线交于，两点，中，，且点的坐标为． （1）求直线与双曲线的解析式． （2）为第一象限内一点，当为等边三角形时，求点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（x）的数据进行整理分析，共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． DeepSeek人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 a b 111.2 DeepSeek 86 c 88 89.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对DeepSeek人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为______． 22. 综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“射影点”． 初步感知 （1）如图，在中，，于点，则点______（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 （2）如图，已知在四边形中，对角线交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 （3）如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，直接写出的长． 六、（本题12分） 23. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期数学阶段性练习（二） 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最大的负整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据负整数的定义排除不符合的选项，再根据两个负数比较大小的规则：绝对值越大的负数越小，比较剩余负整数的大小，即可得到结果． 【详解】解：是负分数，不是负整数， ，，，且， ， 最大的负整数是． 2. 窗棂体现了我国古代建筑之美，既有几何之规整，又有自然之灵秀，下面是关于窗棂的一些图片，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4. 从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形为有一条对角线的正方形，如图所示： 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的主视图，根据已知几何体的位置观查出主视图，考查学生的空间想象能力． 5. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其开花时长的平均数和方差如图所示，若从甲、乙、丙、丁中选择一种开花时间最长，且最平稳的，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平均数说明开花时间，再根据方差的大小判断稳定性即可得出答案． 【详解】解：根据图示可知甲，乙的平均数是3，丙，丁的平均数是5，可知丙，丁的开花时间长，且丁的方差最小，所以丁开花时间最长，且最平稳，则D符合题意． 6. 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） A. 呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B. 当K＝0时，的阻值为100 C. 当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D. 当时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D． 【详解】解：根据函数图象可得， A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意； B. 当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意； C. 当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意； D. 当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了函数图像，根据函数图像获取信息是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 小麦花粉的直径约为米，数据用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故答案为：． 9. 如图，正方形的边长为，分别取，，，各边中点得到正方形，再取，，，的中点得到正方形；…；以此类推，则正方形的边长为________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由线段中点的定义可得，则由勾股定理可得，则正方形的边长为，同理求出正方形的边长为1，正方形的边长为，据此可得正方形的边长为，由此可得答案． 【详解】解：∵在正方形中，，． 由题意可得：， ∴， ∴正方形的边长为， 同理可得，， ∴， ∴正方形的边长为1， 同理可得正方形边长为， ……， 以此类推，可知正方形的边长为． ∴正方形的边长为． 10. 如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 11. 幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、乘方及代数式求值，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由题意可得到关于m、n的两个方程，解方程即可求出的值，再把m、n的值代入计算即可求解． 【详解】解：设右上角数字为x，右下角数字为y， 由题意可得，， 解得，， ， 故答案为： ． 12. 矩形中，对角线，将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点，则________． 【答案】2或或 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到是直角三角形，结合旋转的性质得到对应线段相等，分情况讨论中点的不同位置，利用勾股定理计算求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点旋转一定的角度后，点的对应点恰好为一边的中点， ∴当点的对应点为斜边的中点时，如图，则此时， ∴当点的对应点为直角边的中点时，此时， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 当点的对应点为边的中点时，记此时的对应点为，则，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去） 综上所述，或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解不等式 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行加减运算． （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共解集． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 14. 数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图，小颖将问题转化为图，※为运算符号，为一个代数式． （1）小颖猜测※为“”，求； （2）数学老师告诉小颖※为“÷”，用表示出，并求时的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据异分母的分式减法运算法则求解； （2）先根据分式的除法运算法则化简，再解分式方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ； 【小问2详解】 解：若※为“÷” ； 当时，即， ， 解得， 经检验，是原方程的解． 15. 如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中，以线段为腰画一个等腰直角三角形． （2）在图②中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作图，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的定义画出图形； （2）取格点D，连接，根据相似三角形的性质和正切的定义即可得到符合题意的图形． 【小问1详解】 解：如图①所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图②所示， ，使， 则， ∴即为所求图形． 16. 如图，体育课上，六位同学（分别记为A，B，C，D，E，F）分别站在正六边形的顶点处做传球游戏．规定：球不得传给相邻的人，且球传给其他三人的可能性相同，如B可以将球传给D，E或F，但不能将球传给A或C，球现在A手中． （1）第一次传球后，A将球传给F的概率为________． （2）若假设没有传球失误，求经过两次传球后球在B手中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：因为规定：球不得传给相邻的人，A与F相邻，故 A将球传给F的概率为； 小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两次传球后球在B手中的结果有种，故所求概率是． 17. 如图，为的内接三角形，点为圆外一点，，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ∴ 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵为半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可设，则，再由互余关系证明，则，即，即可证明； （2）过点作于点，则，，然后解求，解求出半径，再由弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的长 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某商场国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 【答案】（1）这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元 （2）厂商补贴最多是600元 【解析】 【分析】（1）先计算出两件商品的原价总和，再结合降价规则列出二元一次方程组求解即可得到各自原价； （2）根据价格要求列出一元一次不等式，求解即可得到厂商补贴的最大金额． 【小问1详解】 解：设这台电视机原价为元，平板电脑原价为元 由题意得， 解得 答：这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元； 【小问2详解】 解：设厂商补贴为元 由题意，国补后再减去厂商补贴的价格不低于2970元， 列不等式得   解得   答：厂商补贴最多是600元． 19. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点E到的距离约为 答：点到地面的距离约为． 20. 如图，直线与双曲线交于，两点，中，，且点的坐标为． （1）求直线与双曲线的解析式． （2）为第一象限内一点，当为等边三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式是，双曲线的解析式是 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由题意可得点与点关于原点成中心对称，连接，则，．如图，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，可得点的坐标是，再分别代入两个函数的解析式求解； （2）如图，连接，过点作轴于点．易得是线段的垂直平分线，得到点在直线上，求出直线的解析式为，进而设点的坐标为，根据等边三角形的性质、勾股定理合三角函数求出，再在中利用勾股定理求出n即可． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于，两点， 点与点关于原点成中心对称， 为的中点． 连接，由题意知，， ，． 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点坐标为， ∴， ，， ， ． 又，， ， ，， 点的坐标是， 代入与，得， 直线的解析式是，双曲线的解析式是． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴于点． ，是等边三角形，即， 是线段的垂直平分线． 点为的中点， 点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线解析式为． 设点的坐标为，则，． 点的坐标是，点与点关于原点成中心对称， 点的坐标是， ． 是等边三角形， ． 在中，∵， ， ， 点的坐标为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分（x）的数据进行整理分析，共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 豆包人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． DeepSeek人工智能软件在C组（）内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 a b 111.2 DeepSeek 86 c 88 89.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对DeepSeek人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从豆包软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为______． 【答案】（1）87.5，85，88 （2）580名 （3）88 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵豆包人工智能软件10个得分数据中，从小到大排列后，中位数为第5个和第6个数之和的平均数， ∴中位数， ∵豆包人工智能软件得分数据中85出现的次数最多， ∴众数， ∵DeepSeek人工智能软件得分数据中：共10个数据， ∴A组有（个），B组有（个）， ∴DeepSeek人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第1个、第2个数据的平均数， ∴中位数． 【小问2详解】 解：（名）， ∴估计估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数约为580名． 【小问3详解】 解：∵新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为88， ∴新抽取的5个用户评分从小到大排列后第3个是88分，即有两个评分低于88分，有两个评分高于88分， ∵豆包人工智能软件原得分从小到大排列的第4个和第5个都是85， ∴合在一起的15个评分中，第8个是88，即中位数为88． 22. 综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“射影点”． 初步感知 （1）如图，在中，，于点，则点______（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 （2）如图，已知在四边形中，对角线交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 （3）如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，直接写出的长． 【答案】（1）是 （2）证明见解析 （3）①证明见解析；②或 【解析】 【分析】（）证明，可得，再根据“射影点”的定义即可判断求解； （）根据“射影点”的定义可得 ，又由得到，即得到，即可求证； （）①根据“射影点”的定义可得，又由可得，即得到，进而即可求证；②利用矩形的性质和勾股定理可得，过点作，垂足为，利用三角形的面积得 ，得到 ，设，则， ，由 ，可得，即得，解方程得到或，再利用解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是中边上的“射影点”， 故答案为：是； 【小问2详解】 证明：∵点是中边上的“射影点”， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①证明：∵点是中边上的“射影点”， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴点也是中边上的“射影点”； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 由①知，， 又∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， ∴解得或． 六、（本题12分） 23. 定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”． （1）已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________； （2）直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________； ②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标； ③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由． 【答案】（1）， （2）①； ②的坐标为或； ③点不是点关于点的的“正旋点”，理由如下： 如图3，过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立解析式得， 解得：（舍去），， ∴点的坐标为． ∵，， ∴， ∴点不是点关于点的的“正旋点”． 【解析】 【分析】（1）根据新定义，利用旋转的性质得出相等的边，利用等边三角形的判定和性质以及勾股定理进行求解； （2）①假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， 根据直线解析式求出点的坐标，确定线段的长度，证明，根据对应边成比例求解； ②作轴于点，轴于点，证明，得出，设点的坐标是，则，表示出的坐标为，然后代入反比例函数解析式求解即可； ③过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则，证明，得出，求出直线的解析式为，联立解析式求出点的坐标为，然后根据勾股定理求出，，进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，若点的坐标为，根据旋转的性质得， ∴点关于点的正垂旋点坐标是； 如图所示，令点为点关于点旋转的正旋点，过点作轴于点， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴点关于点旋转的正旋点坐标是； 【小问2详解】 解：①如图1所示，假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； 当时，， 解得， ∴， ∴； ∵点的横坐标为6， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上一动点， ∴点的横坐标为， 将代入得， ， ∴点的坐标为； ②如图所示，作轴于点，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标是，则， ∴，， ∴的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴， ∴， 解得：． ∴的坐标为或； ③略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $