8.1.3同底数幂的除法（第1课时同底数幂的除法）（教学课件）2025--2026学年沪科版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦同底数幂的除法法则及科学记数法表示绝对值小于1的数，通过回顾幂的运算性质，结合杀菌剂杀菌的实际问题导入新知，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题情境和小组合作探究为载体，培养学生运算能力与推理意识。如通过地球与太阳体积比、人均水资源问题渗透应用意识，借助表格观察猜想法则发展数学思维，步骤总结助力结构化认知，教师可依托清晰环节提升教学效率。

8.1.3 同底数幂的除法 第8章【整式乘法与因式分解】 第3课时 1.理解用科学记数法表示较小的数的原理，会用科学记数法表示绝对值小于1的数； 2.能将10的负整数次幂与原数灵活互化，体会数学各部分知识间的联系； 3.掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数解决实际问题的过程； 4.在探究学习过程中，体会数的多种表达形式，使学生感受到知识来源于生活、并应用于生活的特点，感受数学之美. 情景导入 我们在前面学习了幂的有关运算性质，这些运算都有哪些？ 思考： 1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加. = 2.幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方，等于每一个因式乘方的积 . = = 问题 幂的组成及同底数幂的乘法法则是什么？ 同底数幂的乘法法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即 am · an = am＋n (m，n 都是正整数). an 底数 幂 指数 一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴这种杀菌剂可以杀死 109 个有害细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？ 1012÷109. (2) 观察这个算式，它有何特点？ 我们观察可以发现，1012 和 109 这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式. 所以我们把 1012÷109 这种运算叫做同底数幂的除法. (1) 怎样列式？ 思考：如何计算 1012÷109 呢？ 类比：如何计算 a12÷a9 呢？ 引申：如何计算 am÷an 呢？(m＞n) 用科学记数法表示绝对值小于1的数 小组合作： 1.结合学过的知识，思考如何用科学记数法表示； 2.组内成员合作，完成题目，并进行讨论，归纳出用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤和方法. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 化分数 负整数次幂 化分数 负整数次幂 新知探究 am ÷ an am · an = am+n（m，n 都是正整数）. 怎样计算？ 算 式 运算过程 结 果 35÷32 33 46÷43 a4÷a2 a5÷a3 3×3×3×3×3 3×3 4×4×4×4×4×4 4×4×4 a · a · a · a a · a a · a · a · a · a a · a · a 43 a2 a2 观察上表，同底数幂相除有什么规律？ 算 式 结 果 35÷32 33 46÷43 a4÷a2 a5÷a3 43 a2 a2 35－2 46－3 a4－2 a5－3 猜想: am ÷ an = ？ (当 m、n 都是正整数) 同底数幂的除法 算式 运算过程 结果 35÷32 46÷43 a4÷a2 a5÷a3 33 43 a2 a2 1 完成下表： 观察上表，同底数幂相除有什么规律? 猜想 ＝35-2 ＝46-3 ＝a4-2 ＝a5-3 am÷an＝？ 猜想：am÷an = am－n (m＞n). 验证：am÷an = m 个 a n 个 a = a · a · ··· · a (m－n) 个 a = am－n. 合作探究 对于一个绝对值小于1的数，其中零(包括小数点前面的一个零)的个数与用科学记数法表示时10的指数之间有什么关系？完成下列题目，看看能发现什么？ (1)0.1；(2)0.01；(3)0.001；(4)0.000 1；(5)0.000 000 000 1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 通过这些题目归纳出用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤. 0.1 用科学记数法表示绝对值小于1的数 0.01 0.001 0.000 1 0.000 000 000 1 【变式】：计算： (1) (－x) 8÷(－x) 4； (2) ( x－y) 7÷( y－x) 5. 解题秘方：紧扣“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算. 解： (－x) 8÷(－x) 4 = (－x) 8-4 = (－x) 4 =x4； 例题讲解 解： ( x－y) 7÷( y－x) 5 = ( x－y) 7÷［ － ( x－y) 5］ = － ( x－y) 7-5 = － ( x－y) 2. 底数互为相反数的相同奇次幂互为相反数， 即：(a－b)2n+1=－ (ba)2n+1. ( a≠0，m，n 都是正整数，且 m＞n ). am÷an = am－n 即：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 幂的运算性质4 (同底数幂的除法法则)： 知识要点 则 1012÷109 = . a12÷a9 = . 103 a3 例1 计算： (1) a5 ÷a； (2)(-x)5÷(-x)2； 典例精析 解：(1) a5÷a = a5-1 = a4. (2) (-x)5÷(-x)2 = (-x)5-2 = (-x)3 = -x3. (3) (ab)3÷ab； (4) (x－y)9÷(y－x)6. (3) (ab)3÷ab = (ab)3-1 = (ab)2 = a2b2. (4) (x－y)9÷(y－x)6 = (x－y)9÷(x－y)6 看作整体 互为相反数，将底数化为相同 = (x－y)9-6 = (x－y)3. 例2 已知：am = 3，an = 5. 求： (1) am-n 的值； (2) a3m-3n 的值. 解：(1) am-n = am÷an = 3÷5 = 0.6. (2) a3m-3n = a3m÷a3n = (am)3÷(an)3 = 33÷53 = 27÷125 = 同底数幂的除法可以逆用：am-n = am÷an. 这种思维叫做逆向思维 (逆用运算性质). 用科学记数法表示绝对值较大或较小的数，有利于按幂的运算性质简化计算. 方法点拨 1. 底数互为相反数的相同偶次幂相等，相同奇次幂互为相反数，即：(a－b)2n=(b－a)2n，(a－b)2n+1=－ (ba)2n+1. 2. 底数互为相反数的幂相除，先化为同底数幂，再运用运算性质计算 . 归纳总结 补充例题 已知：am=3,an=5. 求： （1）am-n的值； (2)a3m-3n的值. 解:(1) am-n= am ÷ an= 3 ÷5 = 0.6； (2) a3m-3n= a 3m ÷ a 3n = (am)3 ÷(an)3 =33 ÷53 =27 ÷125 = 同底数幂的除法可以逆用：am-n=am÷an 这种思维叫做逆向思维 (逆用运算性质）. 例题讲解 【变式】已知 xm=9， xn=27，求 x3m-2n 的值 . 解题秘方：逆用同底数幂的除法法则，即 am-n=am÷an (a ≠ 0，m，n 是正整数，且m>n)，进行变形求值 . 解： x3m-2n =x3m÷ x2n = ( xm ) 3÷ ( xn ) 2 =93÷272 =1. 93÷272=（32）3÷（33）2 =36÷36=1 例3 地球的体积大约是 1.1×1012 km3，太阳的体积大约为 1.4×1018 km3，请问太阳的体积大约是地球体积的多少倍？(结果保留小数点后一位） 同底数幂的除法的实际应用 2 3. 我国的水资源总量居世界前列，但人均水资源量仅为世界平均水平的四分之一，是全球人均水资源最贫乏的国家之一 . 2021 年度《中国水资源公报》显示， 2021 年我国水资源总量为 2.963 82×1012 m3 . 按全国 1.4×109 人计算，2021年我国人均水资源量为少?(结果精确到个位) 解：2.963 82×1012 ÷(1.4×109 ) ≈ 2×103 (m3 ) 答：2021年我国人均水资源量大约为 2×103 m3 . 方法点拨：逆向运用同底数幂的乘除法法则和幂的乘方法则求值的方法：当幂的指数是含有字母的加法时，通常转化为同底数幂的乘法；当幂的指数是含有字母的减法时，通常转化为同底数幂的除法；当幂的指数是含有字母的乘法时，通常转化为幂的乘方，然后逆用法则并整体代入求值 . 归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 用科学记数法表示绝对值小于1的数 同底数幂的除法 法则 am÷an = am-n (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 同底数幂的除法法则的逆用： am-n = am÷an (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n） $