8.2 整式乘法 课件 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

第8章 整式乘法与因式分解 8.2 整式乘法 第8章 整式乘法与因式分解 8.2.1 单项式与单项式相乘 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 1.前面学习了哪些幂的运算?运算性质分别是什么？ 2.计算下列各题： （1）(－a5)5; （2）(－a2b)3 ; =-a25 (3) (－2a)2·(－3a2)3 ; =4a2 ·(－27a6)=-108a8 (4) (－yn)2 ·yn-1. am÷an=am-n (am)n= amn (ab)n= anbn =－a6b3 =y2n+n－1=y3n－1 知识回顾 am· an = am+n 获取新知 光的速度大约是3×105 km/s，从太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要4年才能到达地球，如果1年以3.15×107 s计算，地球与这颗恒星的距离约为多少千米？ 地球与比邻星的距离应是 (3×105)×(4×3.15×107)km. 这个式子应如何计算呢？ (3×105) ×(4×3.15×107) =4×3×3.15×105×107 =12×3.15×1012 =3.78×1013 (km). 因而，地球与这颗恒星的距离约为3.78×1013 km. 1. 上面的运算应用了哪些性质？ 2. 如果把上面算式中的数字换成字母. 例如 bc5×abc7，该如何计算呢？ 乘法交换律，乘法结合律以及同底数幂的乘法 bc5 • abc7是单项式bc5与abc7相乘，我们可以利用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质来计算： bc5 • abc7 = a • (b • b) • (c5• c7) =ab1+1c5+7 =ab2c12. aziomv@126.com (a) - 由本页以及下页的两个实例引导学生概括处单项式乘法的法则，不要求学生对 法则死记硬背，理解最重要. 3.如何计算： ? 解： = = 相同字母的指数的和作为积里这个字母的指数 只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式 各因式系数的积作为积的系数 单项式乘以单项式的结果仍是单项式. 注意点 思考：从以上的计算过程中，你能归纳出单项式乘法的法则吗？ aziomv@126.com (a) - 讲解的过程中要引导学生明白每一步运算的道理 单项式乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 单项式×单项式 有理数的乘法与同底数幂的乘法 转化 乘法交换律 结合律 归纳总结 全品文教初中 要点精析： (1) 单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律、结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用． (2) 单项式的乘法步骤： ①积的系数的确定，包括符号的计算； ②同底数幂相乘； ③单独出现的字母． 例题讲解 例1 计算：（1） ； （2） . 解：（1） （2） 解：1.18×10⁴×2πr ≈1.18×10⁴ ×2×3.14×6.4×10³ ≈4.74×10⁸(km). 答：它的这一飞行里程约为4.74×10⁸ km. 例2 2021年5月15日7时18分,天问一号探测器着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，也使我国成为第二个成功登陆火星的国家.天问一号从地球飞行进入环火轨道的里程相当于绕地球赤道1.18×10⁴圈，它的这一飞行里程约为多少千米?(地球半径约6.4×10³ km,π取3.14) 全品初中 例3 已知(2x3y2)(－3xmy3)(5x2yn)＝－30x6y8，求m＋n的值． 解：因为(2x3y2)(－3xmy3)(5x2yn)＝－30xm＋5yn＋5＝－30x6y8， 所以m＋5＝6，n＋5＝8， 即m＝1，n＝3. 所以m＋n＝4. 本节的练习较简单，可以适时补充适当难度的例题 随堂演练 1. 下列计算正确的有(　　) ①3x3·(－2x2)＝－6x5；②3a2·4a2＝12a2； ③3b3·8b3＝24b9；④－3x·2xy＝6x2y. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 2. 如图，已知四边形ABCG和四边形CDEF都是长方形，则它们的面积之和为(　　) A．5x＋10y　 B．5.5xy　 C．6.5xy　 D．3.25xy C 3.计算: （1）3x2 ·5x3； (2)4y ·(-2xy2)； (3)(-x)3·(x2y)2. （3）原式=(-x3)·(x4y2)=-x7y2. 解：（1）原式=（3×5）(x2·x3)=15x5； （2）原式=[4×(-2)]· x ·（y·y2) =-8xy3； 全品文教初中 解：（3×108）× （5×102） =（3×5）× （108×102） =15×1010 = 1.5×1011(m). 答：地球距离太阳大约有1.5×1011m. 4.光在真空中的速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要 5×102s．地球距离太阳大约有多远？ 全品初中 5. 已知6an＋1bn＋2与－3a2m－1b的积与2a5b6是同类项，求m、n的值． 解：(6an＋1bn＋2)(－3a2m－1b)＝－18a2m＋nbn＋3， 因为－18a2m＋nbn＋3与2a5b6是同类项， 所以 解得 课堂小结 单项式与单项式相乘 法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 注意 （1）不要出现漏乘现象； （2）有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘 实质 转化为乘法交换律、结合律和同底数幂的运算综合 第8章 整式乘法与因式分解 8.2.2 单项式与多项式相乘 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 知识回顾 1.用字母表示幂的运算性质： 2.单项式乘单项式的运算法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . 问题 一个施工队修筑一条路面宽为n m的公路，第一天修筑a m长，第二天修筑b m长，第三天修筑c m长，3天共修筑路面的面积是多少？ 获取新知 n a 先按题意画图，结合图形考虑有几种计算方法？ b c 第一天 na 第二天 nb 第三天 nc a+b+c 方法一：3天共修筑路面的总长为(a＋b＋c)m，因为路面的宽为n m，所以3天共修筑路面___________m2. n(a＋b＋c) 方法二：先分别计算每天修筑路面的面积，然后相加，则3天共修筑路面___________m2. na＋nb＋nc 因此，有__________＝___________. n(a＋b＋c) na＋nb＋nc p b n a c 第一天 na 第二天 nb 第三天 nc a+b+c aziomv@126.com (a) - 让学生运用不同的方式表示路面的面积，渗透了数形结合思想，利用图形可直观地得到单项式与多项式相乘的法则，便于学生掌握 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. n（a+b+c） =na+nb+nc 单项式× 多项式 单项式× 单项式 转化 乘法分配律 归纳总结 例题讲解 例1 计算： (1)(－2x)(x2－x＋1)；(2)a(a2＋a)－a2(a－2). 解：(1) (－2x)(x2－x＋1) ＝(－2x)·x2＋(－2x)·(－x)＋ (－2x)·1 ＝－2x3＋2x2－2x. (2) a(a2＋a)－a2(a－2). ＝a·a2 ＋a·a－a2·a＋2a2 ＝a3＋a2－a3＋2a2 ＝3a2. 易错提醒： 1.乘多项式的每一项，包括常数项； 2.注意积的项数与多项式的项数相同 计算：－2x2·(xy+y2)-5x· (x2y-xy2). （1）将2x2与5x前面的“-”号看成性质符号； （2）单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并. 注意 解：原式=( -2x2) ·xy+(-2x2) ·y2+(-5x) ·x2y+(-5x) ·(-xy2) =-2x3y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2 =-7x3y+3x2y2. 做一做 aziomv@126.com (a) - 提醒学生注意运算顺序， 要先算单项式乘多项式，再算正式加减. 例2 先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2. 解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 当a＝2时，原式＝－28×22+15×2=-112+30=－82. aziomv@126.com (a) - 提醒学生在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项． 随堂演练 1. 计算6x·(3－2x)的结果是(　　) A．－12x2＋18x B．－12x2＋3 C．16x D．6x A 2. 下列计算错误的是(　　) A．－3x(2－x)＝－6x＋3x2 B．(2m2n－3mn2)(－mn)＝－2m3n2＋3m2n3 C．xy(x2y－xy2－1)＝x3y2－x2y3 D. C 3. 计算： (1) 4(a-b+1); (2) 3x(2x-y2)； (3) -3x(2x-5y+6z); (4) (-2a2)(-a-2b+c). 解：(1) 4(a-b+1)=4a-4b+4; (2)3x(2x-y2)=3x·2x+3x·(-y2)=6x2-3xy2; (3)-3x(2x-5y+6z) =-3x·2x+(-3x)·(-5y)+(-3x)·6z =-6x2+15xy-18xz; (4)(-2a2)(-a-2b+c) =(-2a2)·(-a)+(-2a2)·(-2b)+(-2a2)·c =2a3+4a2b-2a2c. 4.先化简，再求值： 3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中a＝－2. 解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a. 当a＝－2时，－20a2＋9a＝－20×4－9×2＝－98. 全品文教初中 5.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积. 解：4a[(3a+2b)+(2a－b)] ＝4a(5a+b) ＝4a·5a+4a·b =20a2+4ab. 住宅用地 人民广场 商业用地 3a 3a+2b 2a-b 4a 答：这块地的面积为20a2+4ab. 课堂小结 单项式与多项式相乘 法则 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 注意 （1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都 包括它前面的符号； （2）积的项数与多项式的项数相同； （3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减； （4）对于混合运算，注意最后应合并同类项 第8章 整式乘法与因式分解 8.2.3 多项式与多项式相乘 课堂小结 例题讲解 获取新知 随堂演练 知识回顾 知识回顾 单项式×多项式 转化 乘法分配律 有理数的乘法 幂的乘法运算 单项式×单项式 获取新知 问题 一块长方形的菜地，长为a，宽为m. 现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后的菜地面积. 先按题意画图，结合图形考虑有几种计算方法？ m a n b m a ① ② ③ ④ 方案一：S=am+bm+an+bn 方案二：S=m(a+b)+n(a+b) 方案三：S=a(m+n)+b(m+n) 方案四：S=(a+b)(m+n) 因为四种方案算出的面积相等，所以 (a+b)(m+n) =m(a+b)+n(a+b) =am+bm+an+bn (a+b)(m+n) =a(m+n)+b(m+n) =am+bm+an+bn 或 m a n b 因此，有(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn. ① ② ③ ④ 上面的运算还可以把(a＋b)看作一个整体运用分配律，再根据单项式与多项式的乘法法则，得 (a＋b)(m＋n) ＝(a＋b)m＋(a＋b)n ＝am＋bm＋an＋bn. (a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn. 单项式（整体）×多项式 单项式×多项式 多项式与多项式相乘是前面各种性质、法则的一个综合运用，引导学生多项式与多项式相乘的法则与多项式乘单项式相乘法则的导出思路一样 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 。 单项式× 多项式 单项式× 单项式 多项式× 多项式 归纳总结 2 3 4 (a+b)(m+n)= am 1 2 3 4 +bm +an +bn 1 多乘多顺口溜： 多乘多，来计算，多项式各项都见面， 乘后结果要相加，化简、排列才算完. 全品初中 例题讲解 例1 计算： (1)(－2x－1)(3x－2)； (2)(x＋a)(x＋b). 解：(1) (－2x－1)(3x－2) ＝(－2x)·3x＋(－2x)·(－2)＋(－1)·3x＋(－1)×(－2) ＝－6x2＋4x－3x＋2 ＝－6x2＋x＋2. (2)(x＋a)(x＋b) ＝x2＋bx＋ax＋ab ＝x2＋(a＋b)x＋ab. 多项式乘以多项式时，应注意以下几点： (1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； (2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积； (3)相乘后，若有同类项应该合并． 42 shiliang (s) - 通过两道例题学生做题过程中出现的问题及时作总结，这样可以避免学生继续出错 例2 计算： (1)(a+b)(a2-ab+b2)； (2)(y2+y+1)(y+2). 解：(1)(a+b)(a2-ab+b2) ＝a·a2－a·ab＋a·b2＋b·a2－b·ab＋b·b2 ＝a3+b3. (2)(y2+y+1)(y+2) ＝y3＋2y2＋y2＋2y+y+2 ＝y3＋3y2＋3y+2. 例3 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1. 解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21. 化简求值的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算． 1.计算：(2x+y)(x-y) =2x·　　　+y·　　　　——乘法对加法的分配律 =2x·　　+2x·　　+y·　　+y·　　——单项式乘多项式法则  =2x2-xy-　　. ——合并同类项  (x-y) (x-y) x (-y) x (-y) y2 随堂演练 2. 计算(x＋1)(x＋2)的结果为(　　) A．x2＋2 B．x2＋3x＋2 C．x2＋3x＋3 D．x2＋2x＋2 B 3.计算：(1) (m+2n) (m－2n) ； (2) (2n+5) (n－3) . 解：(1)(m＋2n)(m－2n) ＝m·m－m·2n＋2n·m－2n·2n ＝m2－2mn＋2mn－4n2 ＝m2－4n2. (2)(2n＋5)(n－3) ＝2n·n－2n·3＋5·n-5×3 ＝2n2－6n＋5n－15 ＝2n2－n－15. 全品文教初中 胡123 (胡123) - 提前让学生用多项式的乘法计算平方差公式类型的式子， 为接下来学习乘法公式做好铺垫。教学时还可补充完全平方公式类型的式子进行计算. 4.先化简，再求值： (4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中x=1,y=-2. 当x=1,y=-2时， 原式=22×12-7×1×（-2）-14×(-2)2 =22+14 -56 =-20. 解：原式= 观察上面四个等式，你能发现什么规律？并应用这个规律解决下面的问题. 5 6 (-3) (-4) 2 (-8) (-5) 6 口答： 5.计算： 课堂小结 多项式 × 多项式 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 注意 不要漏乘；正确确定各项符号 实质上是转化为单项式×多项式的运算 结果要合并同类项 $