精品解析：湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一下学期3月阶段检测数学试题 一、单选题 1. 下列各物理量表示向量的是（ ） A. 质量 B. 距离 C. 力 D. 体重 2. 已知是虚数单位，复数，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 若函数在区间中恰好有一个零点，则的值可能是（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 3 5. 已知在中，点D满足，设，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 如图，已知的内接四边形中，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，，若三棱柱有内切球，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在边长为1的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点.，则（ ） A. B. C. 若为内部一点（包括边界），则最大值为 D. 的最大值为 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 将函数的图象向左平移单位得到函数的图象 D. 若函数在上有且仅有4个最值，则的范围是 11. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上既不是奇函数也不是偶函数 D. 若，则 三、填空题 12. 在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 13. 计算______． 14. 在平面四边形中，，，，则的最大值为______. 四、解答题 15. 已知向量，，，，.若与垂直. （1）求的值及与之间的夹角； （2）设，求的取值范围. 16. 已知函数，其中．若函数的图象关于直线对称且的最小正周期为，求： （1）的单调递增区间； （2）在区间上的最大值和最小值． 17. 设的内角，，所对的边分别为，，，，. （1）求角； （2）点为边的中点，若，求的面积； （3）如图所示，点是外一点，若，，记的周长为，求的解析式和的取值范围. 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）若，求的取值范围. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求C； （2）若D为AB的中点，且，，求的面积； （3）若O为的内心，，求周长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年 高一下学期3月阶段检测数学试题 一、单选题 1. 下列各物理量表示向量的是（ ） A. 质量 B. 距离 C. 力 D. 体重 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义判断可得出结论. 【详解】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量. 故选：C. 2. 已知是虚数单位，复数，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模长公式可求得，再利用复数的模长公式可求得的最小值. 【详解】因为，则，， 由可得，解得，则， 所以，， 因此，，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示，和垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以 解得：， 故选：D 4. 若函数在区间中恰好有一个零点，则的值可能是（ ） A. -2 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案. 【详解】解：当时，函数在上单调递增， 又，故在区间上恰有一个零点，满足题意，故A正确； 当时，函数在上单调递增， 又，故在区间上没有零点，故B不正确； 当时，函数在上单调递增， 又，故在区间上没有零点，故C不正确； 当时，函数，所以在上单调递减，在上单调递增，又，故在区间上没有零点，不满足题意，故D正确； 故选：A. 5. 已知在中，点D满足，设，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量基本定理结合，可得，再由，即可求出的值. 【详解】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. 6. 如图，已知的内接四边形中，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的内接四边形有，再利用余弦定理可得，进而利用平面向量的数量积公式与运算法则即可得解. 【详解】连接，如图， 因为，设， 由圆的性质可知，故， 所以， 即，解得，即， 所以 . 故选：D. 7. 已知是直三棱柱，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足，，若三棱柱有内切球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合等面积法求得的内切圆半径，即可求得三棱柱内切球的半径，进而求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则， 因为，所以，则，即， 则，又， 所以，所以，即， 设的内切圆半径为， 则，即， 要使三棱柱有内切球，说明内切球半径刚好为， 所以三棱柱的高为内切球的直径，即. 故选：B. 8. 已知函数若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，整理的方程，可得的值；根据三角函数的对称性，可得的值，可得答案. 【详解】当时，，则，当时，，则； 由题意，可得，则. 由，则，即此时函数的图象关于直线对称， 根据题意可得，则， 故. 故选：D. 二、多选题 9. 如图，在边长为1的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点.，则（ ） A. B. C. 若为内部一点（包括边界），则最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合向量的加法运算，利用正三角形中心性质求得判断A，根据三点共线的结论求得判断B，根据数量积的运算律及几何关系判断C，结合数量积的运算律及二次函数的性质求解最值判断D. 【详解】延长交于，因为为等边三角形的中心，所以为的中点， 则有，由，得， 又，所以， 因为，，三点共线，所以，所以，A正确，B错误. ， 因为为内部一点（包括边界）， 所以，即最大值为，C正确. .又， 因为，所以， 当或即或时，，所以，D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的有（ ） A. B. C. 将函数的图象向左平移单位得到函数的图象 D. 若函数在上有且仅有4个最值，则的范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解判断A；根据同角三角函数的基本关系、辅助角公式、二倍角公式、诱导公式求解判断B；根据函数的平移求解判断C；根据余弦函数的性质求解判断D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，将函数的图象向左平移单位得到 ，故C正确； 对于D，当时，， 因为函数在上有且仅有4个最值， 所以，解得， 则的范围是，故D错误. 故选：ABC 11. 定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”.例如，.以下描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上既不是奇函数也不是偶函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数新定义计算判断A，B，D，结合函数奇偶性定义判断C. 【详解】对于A，由表示不小于的最小整数，，显然A正确； 对于B，令，则，解得，又为整数，由定义知，故B错误； 对于C，，则，则既不是奇函数，也不是偶函数，故C正确； 对于D，，若，则， 即，则， 又，由不等式的性质可得，，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【解析】 【分析】设出的坐标，解法一：根据复数的几何意义，结合平行四边形性质求解；解法二：根据复数的几何意义，结合向量相等求解. 【详解】由题意可得, 设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 13. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】结合根式、幂及对数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 14. 在平面四边形中，，，，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用三角函数函数得，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值. 【详解】设，，则，代入数据得， ，， 在中运用余弦定理得， 即 ，， 所以当，即时，的最大值为3，则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于引角，设，再利用三角函数和余弦定理得到，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值. 四、解答题 15. 已知向量，，，，.若与垂直. （1）求的值及与之间的夹角； （2）设，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由与垂直，可得，即可求出的值；设与之间的夹角为，先求出的坐标，再代入，即可得出答案； （2）将坐标代入，可表示出，再代入化简结合三角函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 由化简得：， 因为，，所以，， 则，则 因为，解得， 因为，则； 设与之间的夹角为则， 因为，故. 【小问2详解】 由得：，即， ，. 则，所以. 16. 已知函数，其中．若函数的图象关于直线对称且的最小正周期为，求： （1）的单调递增区间； （2）在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值1，最小值 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期得到，根据对称轴得到，得到函数解析式，整体法得到函数单调递增区间； （2）整体法得到，数形结合得到函数的最值. 【小问1详解】 由函数最小正周期，得， 又函数的图象关于直线对称，所以有， 所以，即， 又已知，故． 因此． 由，解得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以． 当，即时，取得最大值1； 当，即时，取得最小值 17. 设的内角，，所对的边分别为，，，，. （1）求角； （2）点为边的中点，若，求的面积； （3）如图所示，点是外一点，若，，记的周长为，求的解析式和的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先对已知等式变形，利用正弦定理将角化为边，得到边的关系，再用余弦定理求出的值，结合角的范围确定的大小. （2）根据中线性质得到，两边平方得出，再结合余弦定理得到，联立求出的值，最后用三角形面积公式求出. （3）先在和中用正弦定理，得出和.接着根据四边形内角和与已知条件，推出.然后在里用余弦定理求出，化简后得到.最后把相加，得到的表达式，同时确定的取值范围. 【小问1详解】 已知， 由内角和定理有，得， 由正弦定理可知，， 所以，即. 由余弦定理，又因为，因此； 【小问2详解】 中线，有； 两边同时平方得，即， 在中，，由余弦定理可得， 可得，所以； 【小问3详解】 在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即. 因为四边形的内角和为，且， 所以， 在中， 所以， 则， 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组求解即可； （2）根据题意可知，结合二次函数性质利用指数函数单调性求解，分类讨论求解函数的最大值，列不等式求解即可. 【小问1详解】 要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域为； 【小问2详解】 因为，所以， ，因为，所以， 所以当时，， 对于函数，， 若，则函数在定义域上单调递减，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，则， 因为，所以，无解； 若，则函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以， 则，又，所解得； 综上，的取值范围为. 【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求C； （2）若D为AB的中点，且，，求的面积； （3）若O为的内心，，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理边角转化得出角C； （2）由向量的运算得出，结合（1）得出，即可得出面积； （3）根据内心的性质可得的内角关系，结合正弦定理边角转化，再结合三角知识求取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 即，即， 且，所以. 【小问2详解】 因为D为AB的中点，则， 可得，即， 由（1）可得：，即， 可得，可得， 所以的面积. 【小问3详解】 由题意可知：分别为的角平分线，且， 设，则， 在中，由正弦定理可得， 即， 则， 可得周长为 ， 因为，则，可得， 则， 所以周长的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于（3）：，根据内心的性质可得，利用正弦定理边化角，结合三角知识求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $