23.4.2《一次函数—选择方案》 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数解决实际选择方案问题，通过回顾一次函数比较（如y1与y2的大小关系求解）搭建学习支架，引导学生从函数关系过渡到实际问题的数学建模。 其亮点是以游泳馆套餐、租车等真实情境案例驱动，通过问题链引导学生抽象变量关系、构建分段函数模型，发展抽象能力与模型意识。小结明确“实际问题→函数模型→解→答案”流程，帮助学生形成解决问题的思维框架，提升数学思维和应用意识，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第二十三章 一次函数 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 23.4 实际问题与一次函数 23.4.2 选择方案 1 学习目标 1. 通过分析实际问题，运用一次函数知识建立数学模型，能准确写出不同方案的函数解析式，提升数学建模能力和运用数学解决实际问题的意识. 2. 对比不同方案所对应的函数关系，结合函数图像或通过计算函数值，探究选择最优方案的方法，发展运用数学思维分析和解决问题的能力，体会函数在决策中的作用. 3. 在解决选择方案问题的过程中，培养严谨的思维习惯和合作探究精神，感受数学的实用价值. 2 回顾旧知 1.已知y1=-x+2，y2=3x-4，当x=____时，y1=y2，当x____时， y1＞y2；当x____时，y1＜y2.   2.如图， 当x_____时，y1＞y2； 当x_____时，y1≤y2. O 7 y x -3 y1 y2 P ＜ ＞ ＞-3 ≤-3 3 4 新知探究 如表给出了某游泳馆A，B，C种年卡套餐的收费标准. 探究1 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 5 新知探究 分析：(1) 三种收费标准有什么区别? A，B会变化，C不变. (2)在变化的收费标准中，游泳费用由哪些部分组成? 游泳费用=年卡费用+超出套餐费用. (3)影响超出套餐费用的因素是什么? 年游泳次数. (4)这三种方式中有固定最优惠的方式吗? 没有，与年游泳次数有关. 6 新知探究 (5) 设年游泳x次，则套餐A，B的游泳费用y1，y2都是x的函数. 要比较它们，需在x ≥ 0的条件下，考虑何时 ① y1 = y2，② y1< y2 ，③ y1 > y2. 利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题. 在此基础上，再用其中省钱的套餐与套餐C进行比较，则容易对年卡套餐作出选择. 7 新知探究 思考：在套餐A中，超出套餐费用一定会产生吗?什么情况下才会有超出套餐费用? 不一定，只有在年游泳次数超过20次时才会产生. 所以考虑游泳费用时，要把年游泳次数分为20次内和超过20次两种情况. 得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式如下： y 化简得y 8 新知探究 问题：你能写出套餐B，C的游泳费用y2，y3关于年游泳次数x的函数解析式吗? 分别写出函数解析式如下: y 当x≥0时，y3=1800. 9 新知探究 在同一坐标系画出它们的图象： 当年游泳次数 时， 选择套餐A最省钱. 当y1= y2时，x=35. 当年游泳次数 时， 选择套餐B最省钱. 当y2=y3时，x=65. 当年游泳次数 时， 选择套餐C最省钱. 0 ≤ x ≤ 35 35 ≤ x ≤ 65 x > 65 O 10 x/次 20 30 40 50 60 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 y/元 y2 y1 y3 10 新知探究 某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师. 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示. 探究2 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 （1）共需租多少辆客车？ （2）给出最节省费用的租车方案． 11 新知探究 问题1：租车有哪些考虑的条件? ① 要保证240名师生乘车都有座位； ② 要使每辆客车上至少有1名教师. 问题2：共有多少种租车方案? 共3种：(1)单独租甲种车； (2)单独租乙种车； (3)同时租甲种车和乙种车. 12 新知探究 问题3：如果单独租甲种车需要多少辆?乙种车呢? 租用甲种车：240÷5=5(辆)， 租用乙种车：240÷30=8(辆). 单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆. 问题4：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗? 汽车总数不少于6辆，不超过8辆. 因为每辆汽车上至少要有1名教师， 所以汽车总数不能大于6辆，综合起来可知汽车总数为6. 13 新知探究 问题5：合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢? 租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当客车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用. 14 新知探究 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数， 即 y=400x+280(a-x). 将已经确定的a = 6代入，化简这个函数，得y=120x+1680. 15 新知探究 问题6：为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗? 45x+30(6-x)≥240 x≥4 问题7：为使租车费用不超过2300元，可以确定x的范围吗? 120x+1680≤2300 x≤5 综上可以得到x的取值范围：4≤x≤5 因为x要取整数，所以4≤x≤5. 16 新知探究 问题8：结合前面所求出的x的取值范围，你能得出几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中哪个方案?请说明理由. ∵ 4≤x≤5且x取整数. ∴ x=4或5. 有两种不同的租车方案： 甲客车4辆，乙客车2辆； 甲客车5辆，乙客车1辆. 又租车费用y=400x+280(6-x)=120x+1 680， 17 新知探究 问题8：结合前面所求出的x的取值范围，你能得出几种不同的租车方案?为节省费用应选择其中哪个方案?请说明理由. ∵ 120>0. ∴ y随x的增大而增大. ∴当x=4时，租车费用最少，为120×4+1680=2160(元) 答：租甲种车4辆，乙种车2辆最节省费用. 18 新知探究 归纳：解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量. 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 19 随堂演练 1.某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订合同.设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，付给出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象是如下图的两条直线.观察图象,回答下列问题: (1)每月行驶的路程等于_____km时，租两家出 租车的费用相同; (2)每月行驶的路程x_______时，y1租个体车主 的出租车合算; (3)如果这个单位估计每月行驶的路程为1300km， 那么这个单位租______________的出租车合算. 1500 ＞1500 国有出租车公司 20 随堂演练 2. 某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂的收费方案是：收1500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费. (1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x(单位：份)的函数解析式； 解：y甲=x+1500(x≥ 0，且x为整数). y乙=2.5x(x≥ 0，且x为整数). 21 随堂演练 (2)选择哪家印刷厂比校合算? 解：当y甲>y乙时，1 500+x>2.5x，解得x<1 000； 当y甲=y乙时，1 500+x=2.5x，解得x=1 000； 当y甲＜y乙时，1 500+x<2.5x，解得x>1 000. 故当0<x<1000时，选择乙印刷厂合算； 当x=1000时，选择甲乙印刷厂一样合算； 当x>1000时，选择甲印刷厂合算. 22 随堂演练 3. 某文具店购进A，B两种型号的计算器进行销售，其进价与售价如下表所示. 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过2000元的资金采购这两种计算器共100台，若所采购的计算器能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少. 型号 载客量/人 租金/元 A 22 32 B 19 25 23 随堂演练 型号 载客量/人 租金/元 A 22 32 B 19 25 解：设总利润为y元，购进A型计算器x台，则购进B型计算器(100-x)台，依题意得 22x+19(100-x)≤2000，解得x≤. ∵ x是计算器台数， ∴ x取整数，即x≤33. 24 随堂演练 总利润(元)与购进A型计算器x(台)的函数关系为： y=(32-22)x+(25-19)(100-x). 化简得y=4x+600 ∵ x=4>0， ∴ y随着x的增大而增大. ∴当x=33时，利润y最大. 此时，A型号：33台，B型号：100-33=67台. 最大利润为y=4×33+600=732元. 25 随堂演练 4.某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一:先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二:不购买会员证，每次游泳付费18元.设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数). (1)根据题意，填表: 游泳次数 10 15 20 ... x 方式一的总费用(元) 300 350 400 ... 200+10x 方式二的总费用(元) 180 270 360 ... 18x 26 随堂演练 (2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为540元，则选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多? 解：方式一：令200+10x=540，解得x=34 方式二：令18x=540，解得x=30 ∵34>30， ∴选择方式一付费，他游泳的次数比较多. 游泳次数 10 15 20 ... x 方式一的总费用(元) 300 350 400 ... 200+10x 方式二的总费用(元) 180 270 360 ... 18x 27 随堂演练 游泳次数 10 15 20 ... x 方式一的总费用(元) 300 350 400 ... 200+10x 方式二的总费用(元) 180 270 360 ... 18x (3)当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算?请说明理由. 解： 令200+10x<18x，得x>25 令200+10x=18x，得x=25 令200+10x>18x，得x<25 ∴当20<x<25时，小明选择方式二付费合算； 当x=25时，小明选择两种付费方式一样； 当x>25时，小明选择方式一付费合算. 28 课程小结 实际问题 函数模型 实际问题答案 函数的解 抽象概括 还原验证 29 第二十三章 一次函数 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 23.4 实际问题与一次函数 23.4.2 选择方案 30 $