精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试卷

数学科试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 162 B. 243 C. 384 D. 512 5. 已知，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，、、两两垂直，，在侧面上，在棱上，，为中点．则点的轨迹把三棱锥分成两部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，），若满足条件：，，且在上单调，则的最大值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 9. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为偶函数 B. 的导函数满足 C. 函数存在两个极小值点 D. 方程存在个不同的实根且 11. 如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，，则在下列命题中，正确的为（ ） A. 若记直线，的斜率分别为，，则的大小是定值为 B. 的面积是定值 C. 线段，长度的平方和是定值5 D. 设，则 第Ⅱ卷（非选择题满分92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________. 13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______． 14. 已知数列中，，正项数列的前n项和为，且，若，则的最大整数值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， （1）若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； （2）假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 16. 记中的内角所对的边分别为，且 （1）求; （2）设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 17. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数的取值范围； 18. 四面体满足两两垂直. （1）点在面内的正投影是的什么心？请给出证明； （2）设点为的外心，为的外接圆半径，设. ①请写出与的关系（用表示）． ②求证：为定值． 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：在纸上画一个圆，并在圆外取一定点； 步骤2：把纸片折叠，使得点折叠后与圆上某一点重合； 步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕. 你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓. 若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆，并在圆外取一定点，按照上述方法折纸，点折叠后与圆上的点重合，折痕与直线交于点的轨迹为曲线. （1）以所在直线为轴建立适当的坐标系，求的方程； （2）设的中点为，若存在一个定圆，使得当的弦与圆相切时，上存在异于的点使得，且直线均与圆相切. （i）求证：； （ii）求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学科试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助交集定义即可得. 【详解】由，，则. 2. 为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：先利用复数的除法法则化简计算即可；法二：设，化简计算即可. 【详解】解法一：，由题意得，则； 解法二：因为为纯虚数，设，则， 所以，则. 3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件定义，结合直线与平面的位置关系判断即可得. 【详解】由，，若，则与可能平行也可能相交； 由，，若，则与可能平行、可能异面也可能相交； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 4. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 162 B. 243 C. 384 D. 512 【答案】C 【解析】 【分析】利用，可求得，再利用求解即可. 【详解】因为，即，所以， 可得数列为等比数列，首项为，公比， 所以， 所以. 5. 已知，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题得或，解得，故选项D正确． 6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 7. 在三棱锥中，、、两两垂直，，在侧面上，在棱上，，为中点．则点的轨迹把三棱锥分成两部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知三棱锥中，，，两两互相垂直，根据已知数据可以计算出三棱锥的体积，又由点，分别在侧面和棱上运动，，为线段中点，我们可以判断点的轨迹为球面，分别计算两个几何体的体积即可得到答案. 【详解】，，两两互相垂直，所以平面， 所以. 平面， 若重合，,点的轨迹是以为圆心半径为的在平面上的圆弧， 若不重合，则，， 当在或上移动时，点的轨迹是以为圆心半径为1分别在平面上或平面上的圆弧， 当在平面内移动时，点的轨迹是夹在上面三个圆弧之间的球面上的点， 所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面被三棱锥三个侧面所截的球面的 球面的上部分体积为， 所以上下两部分体积比为. 【点睛】本题考查棱锥的体积以及球的体积，其中判断出点的轨迹是在以为球心1为半径的球面上是解题的关键，属于较难题. 8. 已知函数（，），若满足条件：，，且在上单调，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦函数图象的性质即可求解. 【详解】已知函数（，）， 因为，所以的图象关于点中心对称， 则有， 又因为，所以的图象关于直线对称， 则有， 因此，化简得， 则是一个奇数， 又因为在上单调，所以，解得， 根据选项，的可能取值为， ①当时，则有，解得，由于，所以， 此时，则，解得， 当时，，函数在不单调，因此不符合题意， ②当时，则有，解得，由于，所以， 此时，则，解得， 当时，，函数在单调递增，因此符合题意， 因此，则的最大值为，故D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 9. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式、和差化积、积化和差公式依次判断即可. 【详解】对于A，由三角函数的诱导公式得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，显然不恒成立，故D错误. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在实数使得为偶函数 B. 的导函数满足 C. 函数存在两个极小值点 D. 方程存在个不同的实根且 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数解析式可得定义域，根据偶函数的判定，可得A的正误；由抽象函数求导，可得B的正误；由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系，结合极值的定义，可得C的正误；由零点的定义，结合函数的解析式，可得D的正误. 【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，A正确； 由选项知，所以，B错误； ，， 由且，得，由，得， 由，得，所以有两个极小值点，C正确； 令，则，于是或，当时， 由得存在两个不同实根，，此时； 当时，由，知存在异于，的两个实根，且， 所以方程存在个不同的实根且，D错误． 故选：AC． 11. 如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，，则在下列命题中，正确的为（ ） A. 若记直线，的斜率分别为，，则的大小是定值为 B. 的面积是定值 C. 线段，长度的平方和是定值5 D. 设，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，利用斜率公式分别表示出，，求出的值，即可判断A；将直线的方程与椭圆方程联立，可求出，再利用A中，的关系，求出，根据夹角公式，求出直夹角的正切值，进而可得的值，最后利用面积公式求出，即可判断B；根据B的计算，即可判断C；结合B及三角形的面积公式，可得,即可判断D. 【详解】由题意可知，且直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由，得， ， 设，则， 对于A，， 所以 ，故A正确； 对于B，因为直线的方程为， 由，得， 所以， 又因为，所以， 所以， 设直线的夹角为， 则， 所以， 所以， 所以是定值，故B错误； 对于C，由B可知，， 所以，故C正确； 对于D，由B可知， 又, 又因为， 所以， 当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题满分92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为. 故答案：. 13. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过分的人数大约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求出，再估计人数即可. 【详解】因为总体密度函数为：， 所以，即， 由，所以, 所以数学成绩超过分的人数大约为人， 故答案为：. 14. 已知数列中，，正项数列的前n项和为，且，若，则的最大整数值为_____. 【答案】88 【解析】 【分析】对递推公式化简变形可构造等比数列，求得 ，结合条件可得，从而得，利用放缩法可求得，从而得出结论. 【详解】已知 ，递推关系 ，即， 移项可得：， 设 ，即 ， 所以 是首项为 ，公比为 2 的等比数列， . 因此，. 又因为 ，则， 又因为是正项数列，故 . 数列的前 项和 ， 由于放缩法：且， 证明如下：因为 ，所以 ，则 ， 由于 ，所以 ， 则 ，即 . 综上，不等式 成立； 同理可证得. 所以当时，， 因此 ； 当 时， ，故 . 当时：， 当 时， . 所以 ， 因此，满足的最大整数 为 88. 故答案为：88 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， （1）若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； （2）假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 【答案】（1）， （2）10 【解析】 【分析】（1）隐藏款数量服从二项分布，直接由期望和方差公式计算； （2）设平均购买次数为 ，根据第一次是否成功分类讨论，建立方程求解即可. 【小问1详解】 依题意可知，， ，. 【小问2详解】 设平均需要购买次才能第一次买到隐藏款， 考虑第一次购买的结果： 情况一：第一次就买到隐藏款，概率为，此时购买次数为； 情况二：第一次没买到隐藏款，概率为，此时已经购买了次，但问题回到初始状态，后面还需要平均次才能成功，所以总次数为； 所以，解得，即. 16. 记中的内角所对的边分别为，且 （1）求; （2）设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角差公式和三角形内角和，将等式左边进行化简，再利用正弦定理，即可得角； （2）利用中线向量公式表示，两边平方进行化简，再结合面积公式和余弦定理，即可求得，从而计算面积. 【小问1详解】 依题意，， 所以， 又因为， 由正弦定理可得，所以， 因为，，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 依题意，，所以， 又由的面积，依题意，，所以， 由余弦定理可得，，所以， 所以，即，所以， 解得或（舍）． 所以的面积． 17. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数导数与单调性分析求解即可； （2）将问题转化为等式成立问题，构造新函数结合函数导数与单调性、函数导数与最值分析求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 18. 四面体满足两两垂直. （1）点在面内的正投影是的什么心？请给出证明； （2）设点为的外心，为的外接圆半径，设. ①请写出与的关系（用表示）． ②求证：为定值． 【答案】（1）垂心；证明如下： 连接 平面， 平面，又平面， ， 由题意平面又平面 ， 平面， 平面又平面 ， 同理：，点为三角形ABC的垂心； （2）① ； ②如图：以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ， 设，因为点O在平面ABC上， ， 而点， 由题意， 即， ， ， 三个式子相加得：， ， ， . 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得出，，，即可得证； （2）①利用正余弦定理即可求解；②建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由正弦定理，， ， ， . ②略 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：在纸上画一个圆，并在圆外取一定点； 步骤2：把纸片折叠，使得点折叠后与圆上某一点重合； 步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕. 你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓. 若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆，并在圆外取一定点，按照上述方法折纸，点折叠后与圆上的点重合，折痕与直线交于点的轨迹为曲线. （1）以所在直线为轴建立适当的坐标系，求的方程； （2）设的中点为，若存在一个定圆，使得当的弦与圆相切时，上存在异于的点使得，且直线均与圆相切. （i）求证：； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）假设存在符合条件的圆O，如图所示： 由可得，根据切线的性质可知，, 所以，即. （ii）. 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程； （2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形为菱形，设直线的斜率分别为，将直线分别与双曲线方程联立求得，通过计算O到直线PQ的距离可得定圆的方程. 【小问1详解】 以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系. 则.由折纸方法可知：，所以. 根据双曲线的定义，C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线， 设其方程为则，所以. 故C的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）分别作关于原点的对称点，则均在C上，且四边形为菱形，所以均与O相切，所以与M重合，与N重合，所以四边形为菱形. 显然，直线的斜率均存在且不为0.设直线的斜率分别为，则直线的方程为，直线的方程为. 设，则由，得， 所以，且，所以，且. 同理可得：，且. 所以四边形PQNM的面积. 设，故. 设，则，所以. 因为在单调递增，在单调递减，所以. 所以. 所以四边形的面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $