辽宁省实验中学2025-2026学年高三年级下学期模拟预测数学试卷

数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67，73，76，81，85，88，89，92，则这组数据的中位数为（ ） A．81 B．83 C．84 D．85 2．设复数（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西且与O相距7海里的C处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心O正东方向8海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为（ ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 6．已知，，，，是抛物线上不同的点，点，若，则（ ） A．20 B．40 C．60 D．80 7．已知数列满足，，，其中表示不超过x的最大整数．若，则m=（ ） A．44 B．45 C．46 D．47 8．对定义在R上的非常值函数，若存在一个非零常数T，使得对任意，都有成立，那么称函数为T函数．现有以下两个命题：①若函数（）为T函数，则，，且；②既存在严格增的T函数，也存在严格减的T函数．则下列判断正确的是（ ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．等比数列是递增数列，则的公比 C．若数列的前n项和为，则数列是等差数列 D．若为等比数列，为其前n项和，则，，，仍为等比数列（） 10．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 11．已知二次曲线表示一个椭圆，则（ ） A．C的对称中心为 B．C上的点到原点距离的取值范围是 C．当点在C上时， D．C的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 13．若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是______． 14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔．如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成______个部分（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16．（15分） 已知函数． （1）求曲线的斜率等于的切线方程； （2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 17．（15分） 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学家卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线，其中为一给定的实数． （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值； （2）如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：． 18．（17分） 如图，正方体的棱长为2，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点，在正方形的内切圆上任取一点． （1）若，，分别是棱，，的中点，求棱和平面所成角的余弦值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 19．（17分） 2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． （1）当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望； （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为． （i）求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； （ii）随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三5月高考模拟考试参考答案 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B B B D AC BC 题号 11 答案 ACD 12. 13.[-3,0) 14.23 15.(1)4n=2- 2)S,=2”-1+3mn+1 2 【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q,则a4+a;=a,g3+a2g3=(a,+a2)g3, 又41+a2=3,a4+a=24,所以24=3g3,即g3=8,解得g=2. 因为a+a2=3,且a2=a,9=2a1,所以a,+2a1=3,即3a,=3,解得a=1. 故an=1×2-=2-. (2)由(1)知an=2，则bn=2”-+3n. 所以Sn=b+b2+…+bn=(a1+3×1+a2+3×2)+…+(an+3n 41+a2+…+an+3×(1+2+…+n. 1×1-2”) 设等比数列{an}的前n项和为An，则An= 1-2 -2-1 设等差数列{3m的前n项和为B,则B,=n3+3加_3nn+ 2 2 所以S,=A,+B,=2”-1+3nn+l 2 16.(1)2x+y-13=0,(2)32. 【详解】(1)因为f(x)=12-x2,所以f'(x)=-2x, 设切点为x,12-x6),则-2x。=-2，即x。=1,所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0. (2)显然t≠0，因为y=f(x在点(t,12-2)处的切线方程为：y-12-2)=-21(x-t), 令x=0,得y=t2+12,令y=0,得x= t2+12 2t s0--回 不妨设t>0(t<0时，结果一样)， 则s0-4241-4+2+14月 4t 所以5=r+24-)-r- 4t2 3(2-4)(t2+12)3t-2(t+2(r+12) 4t2 4t2 由S'(t)>0,得t>2,由S'(t)<0,得0<t<2, 所以S(t)在(0,2)上递减，在(2，+0)上递增， 所以1=2时，S)取得极小值，也是最小值为S(2)=16x16=32. 8 17.(1)k=2 (2)证明见解析 【详解】(1)将y=kx-2pk+2p代入x2=2py, 化简得x2+2pkx+4p2(k-1)=0(*), 方程(*)的判别式△=4p2k2-44p2k-4p2）=0, 化简得k2-4k+4=0,解得k=2: (2)A(x,y),B(x8,ya),C(xc,yc),D(xp,yp),E(xE,YE),F(xr,yF) 设抛物线x2=2py在A点处的切线方程为y-y4=k4（x-x4), y-=k,-,消去y并化简得2-2pkx+2pk-2p四，=0， 由 x2=2py A=4p2k:-4(2pkaxa-2pya)=4p2ki-8pkaxa+8py=0. p-2x,k+2y=0,p-2xk+2=p-2xk,+豆=0 2p D 解得无，=号，故切线方程为y-乃=(x-x小=立-三， D D Py-pyA=xX-x,py-p× =xx-,m号-xx-,即2p=2xN- 2p 同理可求得抛物线x2=2py上过点B,C的切线方程分别为： 2py=2xgx-xg,2py =2xcx-xc, 联立 2四=2x,-,解得x=十，即n=主， 2py=2xBx-x月 2 2 同理可得x=十产，X=十 2 2 AD 因为 XA-XD XA-XB DE XD-XE x+xB xn+xc xB-xc 2 2 x+xc xB+xc EF E-Xp 22 XA-XB XF-xc 西- Xa-xc 2 -XR xp-xa=2 BF 2 所以 AD EF DB DE FC BF 18.(1) 6 3 (2)最大值为18 (3)最小值为3√2-3 【详解】(1)以正方体的中心为原点，DA、DC、D豆的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间 直角坐标系 HP 由题意，A1,-1,-1),E(1,-1,1),P(1,0,-1，P2（-1,1,0)，P-1,0,1, 则AE=0,0,2),PP=-2,1,1,PP=（0,-1,1, 设平面PPP的一个法向量i=（x,y,z, -2x+y+z=0 则有 -y+z=0 令x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1, 所以cos元，A）= n.AE 25 AE2×33 所以棱AE和平面PPP所成角的余弦值为 3 (2)由条件，可设P(1,cosa1,sina,),P(sina2,l,cosa2)，P(cosa3,sina3,1, 记d,=RD引，d2=Pl,d4=l,则(i=1,2,3) d2 =(1-sina)+(1-cosa+(sina;cosa)(a=a) 注意到d2=4-2cosa,-2sina1-2sina,cos+1 所u2d=2-2公cosu+2sm&+sin,o -28ou+乞mu龙naaa =18-22(1+sina,j1+cosa)s18 故当C1=02=3=元时，g可取到最大值18. (3)记f=d,+d,+d,求f的最小值： 由(2)及均值不等式， d≥1-sina+l-cosa,°≥2-sina-cosa, 2-simccos) 所以d2汽 2 ing toca)sin33 所以当a1=02=03= 时，f可取到最小值32-3. 4 19.(1)分布列为： X 2 3 P 0.52 0.48 期望为2.48. (2)①0.648,0.68256，P(2)>P(1),k=2赛制对机器人更有利 ②随着k的增大，机器人获胜的可能性变大，证明见解析 【详解】(1)当k=1时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为2,3， P(X=2)=0.42+0.62=0.52, P(X=3=C2×0.6×0.4=0.48, 所以X的分布列为： X 3 P 0.52 0.48 E(X）=2×0.52+3×0.48=2.48 (2)(1)因为每局比赛中，机器人获胜的概率为p=0.6, 由题可知P1)为3局2胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：2①或2·， 所以P(1)=p2+C2p2(1-p)=p2(3-2p)=0.62×3-1.2)=0.648, P(2)为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：3①或3口或3①， P(2)=p3+Cp(1-p+Cp3(1-p)2=p(6p2-15p+10) =0.63+C×(0.6)2×0.4×0.6+C×0.6)×(0.4)×0.6=0.68256, 所以P(2)>P(1), 所以k=2时，5局3胜制对机器人更有利. (i)随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大。 证明如下： 由D可知，P叫=艺CGp1-p。 i=k+1 下面讨论2k+3局与前2k+1局的递推关系： 1)若前2k+1局中机器人恰好赢了k局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为Cp1-p+1·p2,即Cp+2(1-p+. 2)若前2k+1局中机器人恰好赢了k+1局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为Cp(1-p)[1-1-p)],即Cp“(1-p)(2-p. 3)若前2k+1局中机器人至少赢了k+2局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 式获E框率为芝C1-n i=k+2 Pt-cpIp+cpIpf2-p+三cpI-p. P(k+-P(k)=C1p+2(1-p)+Cp+2(1-p)(2-p)-Cp(1-p) =C21p+(1-p)"(2p-1, :p=0.6,Ck1p+(1-p(2p-1>0,即P(k+1)>P(k).