辽宁省实验中学2025-2026学年高三年级下学期模拟预测数学试卷

数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.某班8名学生一次物理测试的成绩如下：67,73,76,81,85,88,89,92，则 这组数据的中位数为( ) A.81 B.83 C.84 D.85 2 2.设复数z= 1+i (i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( A.1-i B.-1+i C.-1-i D.1+i 3.已知集合A={x少=Vx-可，B={x0<x<2},则AnB=( ) A.（1,2) B.[1,2) C.(0,+o) D.(0, 4.已知a>0,b>0,则“ab≤1”是“a+b=2”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°且与O相距7海里的C处，现甲船 以13海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向8海里的B处的乙船， 则甲船到达B处需要的时间为( 北 B 西十东 南 A.2小时 B.1小时 3 c.乏小时 D.2小时 6.已知P、、P,Po是抛物线y2=8x上不同的点，点F(2,0),若 数学试卷第1页（共6页） FP+F++FR。=0,则F+FP++FR=( A.20 B.40 C.60 D.80 7已藏到满是4=1，+引卧[告[P告。e议，其中时表 示不超过x的最大整数.若am+14m=506,则m=（ A.44 B.45 C.46 D.47 8.对定义在R上的非常值函数y=f(x),若存在一个非零常数T,使得对任意x∈R, 都有f(x+T)=T·f(x)成立，那么称函数y=∫(x)为T函数.现有以下两个命题：① 若函数y=sin(ox+p)(w≠0)为T函数，则o=2k,k∈Z,且k≠0：②既存在严格增 的T函数，也存在严格减的T函数.则下列判断正确的是( ) A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是( A.非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B.等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比g>1 C.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n,则数列{an}是等差数列 D.若{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则S,S-S,Sw-S,…仍为等比 数列(keN) 10.已知函数y=∫(x)的导函数y='(x)的图像如图所示，则下列结论正确的是 数学试卷第2页（共6页） y=f(x)/ c d A.x=b时，f(x)取得最大值 B.x=c时，f(x)取得极大值 C.f(a)<f(b)<f(c) D.f(b)>f(c)>f(d) 11.已知二次曲线C:5(x2+y2)+6xy=8表示一个椭圆，则( A.C的对称中心为(0,0) B.C上的点到原点距离的取值范围是 2 √1010 C.当点P(xo,)在C上时，%∈ 2 D.C的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知ā=(2,3)，b=(-1,2),则向量ā在向量6上的投影向量的坐标为 18.若函数f)-+-号在区间aa+4利上有最小值，则实数a的取值范国是 14.金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔 遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如图，胡夫金字塔可以近似看做一个 正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 个部分（用数 字作答). 数学试卷第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等比数列{an}满足a+a2=3,a4+a5=24 (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=a,+3n,求数列{bn}的前n项和Sn. 16.（15分) 己知函数f(x)=12-x2. (1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程； (2)设曲线y=f(x)在点(t,f()处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(),求 S()的最小值 17.(15分) 贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学家卡斯特利奥对 贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Castel jau算法：己知三个定点， 根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线.反之，己知抛物线上三点的切线， 也有相应成比例的结论.如图所示，抛物线Γ：x2=2p少，其中p>0为一给定的实数， 数学试卷第4页（共6页） EX (1)若直线：y=x-2pk+2p与抛物线只有一个公共点，求实数k的值： (2)如图，A,B,C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D,E,F, 证明： ADIEFDB DEFCIBF 18.(17分) 如图，正方体ABCD-EFGH的棱长为2，在正方形ABFE的内切圆上任取一点P, 在正方形BCGF的内切圆上任取一点P,在正方形EFGH的内切圆上任取一点乃. B (1)若B,P,P分别是棱AB,GC,HG的中点，求棱AE和平面PPP所成角的余 弦值： (2)求PE+EP+E的最大值： (3)求PP+P+的最小值 19.(17分) 2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者 进行了一场人机武术对抗赛.假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者 数学试卷第5页（共6页） 获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立.比赛采用2k+1局k+1胜制（即先赢得k+1 局者获胜). (1)当k=1时，记结束比赛时的局数为水，求X的分布列和数学期望E(X); (2)设在该赛制下机器人获胜的概率为P(k). ()求P()和P(2)的值，并比较它们的大小，据此说明k=1和k=2哪种赛制对机 器人更有利； ()随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论. 数学试卷第6页（共6页） 2026届高三5月高考模拟考试参考答案 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B D B B B B 0 AC BC 题号 11 答案ACD 2别 13.[-3,0) 14.23 15.(1)a=2-1 (2)=2”-1+3nn+1) 2 【详解】(1)设等比数列{a}的公比为9，则44+4=4q3+4q3=(4+a)q, 又4+4=3,44+4=24，所以24=3g,即G=8,解得q=2 因为4+4=3，且4=49=24，所以4+2a=3,即3a=3,解得4=1. 故4.=1×21=2-1 （2)由（1)知a=2-1，则b=2”-1+3 所以S=b+b,+…+b=(4+3×1)+(a+3×2)+…+(a+3n) 4++…+a+3×(1+2+…+n). 设等比数列{a}的前n项和为A,则A 1×1-2）-2-1 1-2 设等差数列3%的前项和为B,则B,=n(3+3抛_30+)】 2 2 所以8=A+R=2”-1+3加1+) 2 16.(1)2x+y-13=0,(2)32 【详解】(1)因为f(x)=12-x2,所以f'(x)=-2x, 设切点为(x12-2),则-2x=-2,即x=1,所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0. 答案第1页，共6页 (2)显然t≠0，因为y=f(x)在点(t,12-t2)处的切线方程为：y-（12-t)=-2t(x-t), 令x=0,得y=+12,令y=0,得x=+12 2t 极50宁01回出 不妨设t>0(t<0时，结果一样)， 则50=+24+14-e+24r+14, 4t 4 所以500-45-0+g- 4t2 -3-4)t+12)_3t-2t+2)0+12) 4t2 42 由S(t)>0,得t>2,由S"(t)<0,得0<t<2, 所以S(t)在(0,2)上递减，在(2，+∞)上递增， 所以t=2时，S()取得极小值，也是最小值为S(2)=16×16=32 8 17.(1)k=2 (2)证明见解析 【详解】(1)将y=r-2pk+2p代入x2=2w, 化简得x2+2px+4p(k-1)=0(*), 方程(*)的判别式△=4p2k2-44pk-4p2)=0, 化简得2-4k+4=0,解得k=2: (2)A(xA:VA),B(xB,yg),C(xc,yc),D(xp:yp),E(xE,vg),F(xF,vr), 设抛物线x2=2y在A点处的切线方程为y-ya=k4(x-x4）, y-”a=a(x-a）,消去y并化简得x2-2pkx+2pk4-2pya=0, 由 x2=2pv A=4p'kA-4(2pkaxA-2PVA)=4p'k-8pkaxa+8pya=0, p店-2xk4+24=0,p成-2xka+2度=p成-2x4+度=0， 2D 解得k=,故切线方程为y一4=(x-x)=4x-豆 答案第2页，共6页 m-m4X-好，m-px三--m-多=-龙，即2n=2x-成， 2p 2 同理可求得抛物线x2=2y上过点B,C的切线方程分别为： 2py =2xgx-xg,2py=2xcx-xa, 联立 2py=2x4x-x ,解得x=4十五，即，=4十卫 2py 2xgx-x 2 2 同理可得x=+ 2 ,p=+e 2 XA+XR ADIX-XD XA- 2 因为 XA-XB XD-XE xA十XB_XA+xc XB-Xc 2 2 Xa+Xc_B十c EF XE-x 2 2 XA-XB FC -xc xB+xc.-xc xB-xc 2 xA+XB DBD-x 2 XA-XB BF XB-xE XB-Xc 2 IADI EFI DBI 所以DEFCIBF 18.(1)6 (2)最大值为18 (3)最小值为3√2-3 【详解】(1)以正方体的中心为原点，DA、DC、D豆的方向分别为x轴、y轴、二轴的 正方向建立空间直角坐标系 由题意，A(1,-1,-1),E(1,-1,1),R(1,0,-1),乃(-1,1,0)，(-1,0,1)， 答案第3页，共6页 则AE=(0,0,2),RB=(-2,1,1),乃g=(0-1,1), 设平面B的一个法向量1=(x,y,), 则有 -2x+y+z=0 -y+z=0’ 令x=1,则y=1,z=1,所以=(1,1,1)， 所以co(A证） irAE 25 E 2×V53 所以棱AE和平面？乃所成角的余弦值为 V3 √6 3 (2)由条件，可设R(1,cos%,sin4),乃(sin%,l,cos),(coso%,sin%,1), 记d4=R引，4=B引，4=引，则(i=1,23) d.=(1-sin)+(1-cosa,)+(sina-cosa)(=a) 注意到d=4-2cosc4-2sinc4H-2sin%cos4+H 所以24=12-2号cosa%+2sina+2sin4cos4n i=1 3 i=1 i-1 i-1 -12-2cosssin cos =18-22(1+sina)(1+cosa%+H)≤18 故当%=必=必=兀时，8可取到最大值18. (3)记f=d,+d+d,求f的最小值： 由(2)及均值不等式， t≥l-ma.+-oa2-m4。-owa 所以d≥22-sinco4 所以122 2≥(2-sin-cos)=3√2-2学(sina++cosc5) =322 226na+cose）)=3万-ng+f235-3 所以当4=“，=2=时，了可取到最小值32-3. 4 答案第4页，共6页 19.（1)分布列为： X 2 3 0.52 0.48 期望为2.48 (2)①0.648,0.68256，P(2)>P(1),k=2赛制对机器人更有利 ②随着k的增大，机器人获胜的可能性变大，证明见解析 【详解】(1)当k=1时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为2,3， P(X=2)=0.42+0.6=0.52, P(X=3)=C×0.6×0.4=0.48 所以X的分布列为： X 2 3 0.52 0.48 E(X)=2×0.52+3×0.48=2.48 (2)()因为每局比赛中，机器人获胜的概率为p=0.6, 由题可知P()为3局2胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：2：0或2：1， 所以P(1)=p2+Cp2(1-p)=p2(3-2p)=0.62×(3-1.2)=0.648, P(2)为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：3：0或3：1或3：2， P(2)=p2+Cp(1-p)+Cp3(1-p)}=p(6p2-15p+10) =0.63+C×(0.6)×0.4×0.6+C×(0.6)×(0.4)×0.6=0.68256, 所以P(2)>P(1), 所以k=2时，5局3胜制对机器人更有利. (ⅱ)随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大 证明如下： 2+州 由)可知，P例-三cp0-p 答案第5页，共6页 下面讨论2k+3局与前2k+1局的递推关系： 1)若前2k+1局中机器人恰好赢了k局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其概率为Cp*1-p)p2,即C吃D+2(1-p) 2)若前2k+1局中机器人恰好赢了k+1局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜概率为Cp1-p)[1-1-p),即Cp+21-p)(2-p) 3)若前2k+1局中机器人至少赢了k+2局，则后两场机器人无论输赢都获胜， 其获胜概率为三CB0-p 2 c-py(-p)c- P(k+1)-P()=Cp+2(1-p)*+Cp+2(1-p)(2-p)-Ctp+(1-p) =C吃Hp+（1-p)+(2p-1), p=0.6,.Cp(1-p)(2p-1)>0,即Pk+1)>P. 答案第6页，共6页