精品解析：河北衡水中学2026届高三下学期二模数学试题

数学学科 本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标. 【详解】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为. 故选：D. 3. 已知向量，若，则． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再根据即可解出m，可得答案. 【详解】∵， ∴1-2(m+1)＝0，解得m． 所以， 故选：B． 4. 若偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知的一个周期为2，根据周期性结合偶函数性质以及对数运算求解. 【详解】因为，用代替得， 即，又因为函数为偶函数，则， 则，所以的一个周期为2， 因为，且， 当时，，则. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得，最后利用余弦定理即可得到答案. 【详解】由正弦定理得， 即， 即， 即，又因为，所以，显然， 所以，又因为为三角形内角，所以， 由余弦定理得， 即，解得（负舍）. 6. 已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ ） A. 2：3 B. 3：4 C. 7：8 D. 6：13 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，利用切线长定理可得母线与半径的关系；结合60°可得圆台的上下半径以及球的半径的关系，即可利用面积公式求解. 【详解】设圆台上下底面圆的半径为，母线为球的半径为 取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 圆台的外接球球心为，则球心在截面内， 在截面内，设圆切梯形的边、、、分别于点、、、， 由切线长定理可得，，故，即； 由于,所以，解得 ； 故选：B． 7. 有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法可得答案. 【详解】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口， ⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口， ⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， ⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口， 共有8种， 故选：B． 8. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点，从而可知轴；接着通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是；最后通过渐近线与相交弦斜率关系，得到离心率范围. 【详解】设，的内切圆圆心分别为, 如图，设的内切圆与轴的切点为，由双曲线定义，根据圆的切线长性质得，进而得点的横坐标为，即点是双曲线右顶点； 同理可得点也是的内切圆与轴的切点，连接，，，从而可知轴， 设直线的倾斜角为，∴，，又，∴，， ∴，解得， ∴，∴，则离心率. 故选项为：B. 【点睛】根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点是第一个突破口；通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是第二个突破口；通过渐近线与相交弦斜率关系得到离心率范围是第三步.本题对相关知识的基本功要求较高，运算能力、数形结合能力要求高，具有典型模型特点. 二、多项选择题（每题6分，少选得部分分，错选不得分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由曲线向右平移个单位得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简函数解析式，求解值域，判断选项A，利用整体法求解函数的对称中心和单调递增区间，判断选项BC，再由图象变换法则判断选项D. 【详解】对A，因为，所以函数的值域为，A正确； 对B，令，得， 所以函数图象关于点不对称，B错误； 对C，由， 得， 所以函数在上单调递增，而， 得在上单调递增， C正确； 对D，函数的图象向右平移个单位得，D正确. 故选：ACD 10. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 11. 如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在棱上时，的最小值为 D. 若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，当点P与A重合时，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于B选项，由P到上底面的距离是定值即可判断；对于C选项，将平面沿旋转至平面共面，即可得到的最小值，从而得以判断；对于D选项，先得到点P的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点到直线的最小距离，从而得解. 【详解】对于A选项，如图，连接，， 因为在正方体中，平面，平面， 所以，因为为正方形，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，，平面，所以平面， 所以当点P与A重合时，平面，故A正确； 对于B选项，三棱锥的体积就是三棱锥的体积，而P到上底面的距离是定值， 所以三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C选项，当点P在棱上时，把平面沿旋转， 使得旋转面与平面共面，连接，如图， 此时取得最小值，在中，，， 则，故C错误； 对于D，由点P到直线与到直线的距离相等， 可知P在以为准线，B为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，P的轨迹是抛物线，其方程为， 因为CD的中点为E，、， 所以AE的方程:，与AE平行的抛物线的切线方程设为， 联立，可得， 则由，解得，可得切线方程为， 则点P到直线AE的最短距离为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】本题D选项的结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹方程，从而将问题转化为抛物线上的点到直线AE的距离的最值，从而得解. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知等差数列满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由是等差数列可得，再求三角函数值即可 【详解】由是等差数列，可得，又， 所以， 所以 故答案为： 13. 的展开式中的系数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式通项，即可求得的系数. 【详解】因为的展开式的通项， 令，则所求项的系数为. 故答案为：6. 14. 已知函数有零点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最小值，再结合几何意义，即可求解. 【详解】设的零点为，则，即， 可看作直线上的一点， 因坐标原点到直线的距离为，显然到原点的距离， 故可先求的最小值，令，设，则， 当时,当时，, 故在上为减函数，在上为增函数，则， 此时，所以的斜率为， 此时的最小值为. 四、解答题（共5题，满分77分） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角B及的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，利用余弦定理即可得角，再利用同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助正弦定理可求出，再利用面积公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 即有， 由正弦定理可得， 则， 又，故； 由，则，故， 则 ； 【小问2详解】 由正弦定理，可得， 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接交于，连接， 因为为的中点，四边形为矩形，可得为的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由题意，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 则， 可得， 设平面的法向量， 则，即，令，可得， 设平面的法向量， 则，即，令，可得， 可得， 所以， 设平面与平面所成角为， 所以． 即平面与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线； （2）若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，可得切点处的斜率，即可由点斜式求解直线方程， （2）将不等式变形为，构造函数，利用单调性与导数之间的关系，分离参数即可求解，或者利用分类讨论，求解导函数的正负求解. 【小问1详解】 ，当，时，，， 故切线方程为：,即； 【小问2详解】 法一：不妨设，则，同除以得， 所以在单调递增，所以. ①若，恒成立，符合题意. ②若，则恒成立. 令，则，令，则， 所以在单调递增，在单调递减，所以，所以. ③若，同理，恒成立，由②可知，当时，，所以不存在满足条件的.综上所述，. 法二：， 令，则只需在单调递增，即恒成立； ， 令，则恒成立；又， ①当时，，在单调递增成立； ②当时，，在单调递增， 又当时，，故不恒成立，不满足题意； ③当时，由得， 则在单调递减，在单调递增， 因为恒成立，所以， 解得，故； 综上，实数的取值范围是. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足． （1）求椭圆的方程； （2）证明直线过定点； （3）椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：由题意可设，设，， 由，整理得， ． 由韦达定理得，， 由得， 即， 整理得， 因为，得，解得或， 时，直线过定点，不合题意，舍去； 时，满足， 所以直线过定点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可； （2）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用，建立方程，解出后验证即可； （3）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用进行计算，换元法求值域即可. 【小问1详解】 由题设得，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ）由（2）得直线，所以， 由， 整理得，， 由题意得， 因为点与连线的斜率为，所以，所以， 令，， 所以，在上单调递减， 所以的范围是． 【点睛】 19. 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，定义. （1）若，写出的值； （2）若，求； （3）设证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件确定的值，再求出对应，最后由计算. （2）先求出数列的前项和，再分为奇数和偶数讨论的正负，确定. （3）根据集合及数列正数项情况分类讨论，确定为常数列，为有限集时，，为无限集时，正数项有限时，，正数项无限时，. 【小问1详解】 由题意可得，， ， 【小问2详解】 由题意，在数列中， 若为奇数，则.所以. 若为偶数，则当时， .所以. 所以. 【小问3详解】 在 若为有限集，设其最大元素为（若为空集，取）， 则当时，存在满足. 令， 则.所以； 若为无限集，设，其中，记，则. ①若数列中只有有限项为正数，记（若中没有正数项，取，则， 令，则 所以， ②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中， 令，则. 所以. 综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科 本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则． A. B. C. D. 4. 若偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为，则球表面积与圆台侧面积之比为（ ） A. 2：3 B. 3：4 C. 7：8 D. 6：13 7. 有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，少选得部分分，错选不得分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由曲线向右平移个单位得到 10. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在棱上时，的最小值为 D. 若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知等差数列满足，则__________． 13. 的展开式中的系数为________． 14. 已知函数有零点，则的最小值为________． 四、解答题（共5题，满分77分） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角B及的值； （2）若，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线； （2）若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足． （1）求椭圆的方程； （2）证明直线过定点； （3）椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围． 19. 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，定义. （1）若，写出的值； （2）若，求； （3）设证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $