精品解析：河北黄骅中学2026届高三下学期二模数学试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 3. 一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，，，E，F，G分别为，，上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥的四个面均相切，且小球同时还与平面相切，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若有两个零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左右顶点分别为 ，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（ ） A. 点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 设 ，则 的最小值为 C. 为定值 D. 当 取最小值时， 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最大值为______. 13. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 14. 已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 16. 已知，且的解集为． （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点． （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点． （1）当时，求四边形的面积； （2）四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由； （3）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值． 19. 已知函数，． （1）若函数与在处的切线平行，，求的极值； （2）当时，讨论函数零点的个数； （3）设m为正整数，若，，求m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集是小于12的素数，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出全集中的元素（素数（质数）），再利用概念以及补集的运算求解即可. 【详解】由题知全集是小于12的素数， 因为，所以. 故选：B. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、虚部的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，所以的虚部为3. 故选：C 3. 一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数定义以及百分位数定义计算可得结果. 【详解】数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列，数据共个， 中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得， 解得， 故选：A． 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 5. 若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质和与的关系，推得，再由互为交错数列的定义，对各个选项分析，可得结论． 【详解】由1，，成等差数列，可得，， 当时，，解得， 当时，由，可得， 上面两式相减可得， 化为， 由，即有， 是3为首项，2为公差的等差数列，可得， 对A，， ， 与数列不互为交错数列，故A选项错误； 对B，由，可得， 与数列不互为交错数列，故B选项错误； 对C，由， ， 与数列不互为交错数列，故C选项错误； 对D，由可得 ， 与数列互为交错数列，故D正确． 故选：D． 6. 如图，在三棱锥中，，，E，F，G分别为，，上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥的四个面均相切，且小球同时还与平面相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，利用等腰三角形性质证明平面，作，，利用相似比得，结合求解可得. 【详解】如图，取中点，连接，. 因为，所以，. ∵，平面，平面，∴平面. 作，垂足为H. ∵平面，∴. 又，平面，平面，∴平面. 过点H作，垂足为，连接， 因为平面，所以， 又是平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以. 易知平面平面，设小球半径为，∴，∴. 根据题意，， ∵，，∴，∴. 由，得，∴，∴. ∴. 故选：B 【点睛】方法点睛：关于几何体的内切球问题，通常根据体积公式列方程进行求解. 7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去）， 在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 8. 已知函数，，若有两个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数零点的定义，结合余弦函数的性质求出，再逐项计算判断即得. 【详解】由，得，而，则，， ，因此，解得， 由，得或，于是， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用余弦函数的性质，结合零点的意义求出两个零点是解题之关键. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令、可得答案. 【详解】因为 所以令可得： 令可得 故选：AC 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式及柯西不等式直接可得. 【详解】对于A：正实数满足，得， 即，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：由，得，因， 所以，且.同理可得，且. 所以，所以B错误； 对于C：， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D：，由C可知， 所以，所以存在，使得，所以D错误. 故选：AC. 11. 已知双曲线的左右顶点分别为 ，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（ ） A. 点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 设 ，则 的最小值为 C. 为定值 D. 当 取最小值时， 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】 由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 为定值，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 13. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可. 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 故答案为： 14. 已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据题意函数的零点即方程的根，作出函数的图象，数形结合求解；方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，求出曲线过原点的切线斜率，数形结合求解. 【详解】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是， 当时，，则，得，故，即， 同理，可得， 所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点， 当时，，则，设切点为， 所以曲线过原点的切线斜率，解得， 所以曲线过原点的切线斜率， 要使得与的图象有三个不同的交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：1，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【小问1详解】 由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． 【小问2详解】 由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 16. 已知，且的解集为． （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】（1）由的解集为可知且. 则 . （2） 的解集为R. 当时，由题干不等式的解集可得不符合题意； 当时，由. 综上，. 17. 如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且是正三角形，E为母线PB上的一动点． （1）若平面CDE，求PE的长； （2）若直线DE与平面所成角的正弦值为．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用线面平行的性质，结合平行线分线段成比例定理求解. （2），利用线面角的向量法求出，进而求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 取直径的中点，连接，在底面圆所在平面内作，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建空间直角坐标系， 由都是正三角形，，得， ，令，则， 由平面，平面平面，平面，得， 因此，，所以PE的长为. 【小问2详解】 由（1）知，设，则， ，而平面的法向量， 由直线DE与平面所成角的正弦值为，得 ，整理得，又，解得， 于是，而，设平面的法向量， 则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点． （1）当时，求四边形的面积； （2）四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由； （3）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值． 【答案】（1） （2）不可能，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）联立抛物线与圆的方程可得坐标，再根据梯形面积公式求解即可； （2）联立抛物线与圆的方程，可得．再设出与的四个交点的坐标，可列出直线的方程，再由对称性，对角线交点肯定在轴上，令即可检验； （3）由于四边形为等腰梯形，则其面积，用换元法可得得函数，对其求导即可得出结论. 【小问1详解】 将代入，并化简得，解得或， 代入抛物线方程可得 ，，， ； 【小问2详解】 联立抛物线与圆的方程有，可得． 不妨设与的四个交点的坐标为，，，． 直线的方程为， 由对称性，对角线交点肯定在轴上，令， 解得交点坐标为．若交点为点，则，则，不可能． 【小问3详解】 联立抛物线与圆的方程有，可得． 由于四边形为等腰梯形，因而其面积 则， 设，则， 将，代入上式，并令， 得 求导数， 令，解得：，（舍去）． 当时，；此时单调递增， 当时，；当时，．此时单调递减， 故当且仅当时，取得最大值，即此时四边形的面积最大， 此时． 【点睛】关键点睛：在第三小问表达出四边形的面积的表达式，对其进行换元法得出新函数从而对新函数进行求导是关键，也是本题难点. 19. 已知函数，． （1）若函数与在处的切线平行，，求的极值； （2）当时，讨论函数零点的个数； （3）设m为正整数，若，，求m的最小值． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）答案见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求解可得a的值，再根据极值与函数导数的关系，即可求解极值； （2）利用函数的导数判断函数的单调性，确定极值点，继而分类讨论a的取值范围，结合零点存在定理，即可判断函数的零点个数； （3）利用，可令，得，进而可推出，结合不等式恒成立，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，故，则， 由，得，则， 由函数与在处的切线平行，得， 此时，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，无极大值； 【小问2详解】 由（1）知， 因为，故时，，时，， 则在上均单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，知在上有一个零点； 当时，在上无零点， 故在上仅有一个零点； 当时，在上有一个零点， ，故在上有一个零点， 此时在上有3个零点； 当时，在上有一个零点， 此时在上有2个零点； 综上，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有2个零点； 当时，在上有3个零点； 【小问3详解】 由（1）知，对于任意，得，当且仅当时取等号， 令，则， 时，. 当时， 则， 故， 故， 又， 结合，且为正整数， 可得正整数m的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $