期末复习专项-- 二元一次方程组（核心知识点） 2025-2026学年 人教版数学七年级下册

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，系统整合定义辨析、消元技巧、实际建模等模块，通过分层训练培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3、填空11|二元一次方程定义、解的概念|从定义到解的验证，构建概念认知基础| |解法应用|单选4-8、填空12-14、解答17-19|代入/加减消元、整体思想、换元法|解法技巧与方程变形的逻辑关联| |综合拓展|单选9-10、填空15-16、解答20-26|实际问题建模、参数分析、跨学科应用|从数学内部到现实情境的模型迁移|

期末复习专项-- 二元一次方程组（核心知识点） 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册 一、单选题 1．下列等式中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．若x、y满足二元一次方程组，则代数式的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 6．已知，与，都是方程的解，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．把方程组中的方程①或方程②改写成用含x的式子表示y的形式，下列改写正确的是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 8．已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2025 D．1 9．北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数，两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”设有x个客人，y个盘子．则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．是关于x，y的方程的一组解，则a的值为______． 12．将方程改写成用含的式子表示的形式是_________． 13．已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 14．已知关于的方程组的解满足等式，则的值是___________． 15．某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件3个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在28天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件天，乙种零件天，则根据题意列二元一次方程组是______． 16．已知，则_____． 三、解答题 17．解二元一次方程组： (1) (2) 18．解下列方程组． (1) (2) 19．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 20．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 21．若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 22．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 23．已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 24．如图一张规格为的大纸板有两种剪裁方式分别可得到型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成横式和竖式两种无盖长方体纸盒（盖在上方）．已知一张大纸板可以恰好裁成8张型长方形纸板或者恰好裁成12张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板 张． (2)若用7张大纸板裁成型长方形纸板，用2张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． 25．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 26．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D A A B D B B 1．A 根据二元一次方程的定义判断即可． 本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数的项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意； B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．C 本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． 3．C 本题考查了已知二元一次方程的解，求参数．将代入方程，直接计算a的值，即可作答． 解：∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．D 本题主要考查了解二元一次方程组、代数式求值，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．由消去y，求出x，再把x的值代入①求出y，然后求出即可． 解：， 得：③， 得：④， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， 故选：D． 5．A 利用加减消元法解方程组即可． 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 解：， 要消去x，可以将或，故选项A正确，选项B错误； 要消去y，可以将，故选项C，D错误． 故选：A 6．A 本题考查构造二元一次方程组求解，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．将，与，代入方程，构造关于和的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 解：将，与，代入方程得： ， 由方程②得， 将③代入方程①得， 解得； 将代入③得； 因此，，， 故选：A． 7．B 此题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把x看作已知数求出y即可． 解：方程①：， ∴，故A错误，B正确； 方程②：， ，故C，D错误． 故选：B． 8．D 先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值．本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， ①+②得：， 得：， 将代入①得：， 将，，代入可得： ， 解得：， ∴ ， 故选： 9．B 本题考查二元一次方程的应用，根据题意列二元一次方程组即可，找到正确的等量关系是解题的关键． 根据题意，2个人共用1个盘子，则少2个盘子，得方程；3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，得方程，联立这两个方程即可求解． 解：依题意，得 故选B． 10．B 本题主要考查了解三元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义，将矩阵转化为三元一次方程组，通过消元法解出x和y关于z的表达式，代入并令其系数为0，得到t与m的关系． 解：由题意得：， 得，， ∴， 将③代入①得，， ∴ ， ∵为定值， ∴， ∴． 故选：B． 11． 本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将已知解代入方程中解得的值即可． 解：是关于，的方程的一组解， ， 解得：， 故答案为：1． 12． 本题主要考查了二元一次方程的变形，准确分析计算是解题的关键． 把x看做已知数求出y即可． 解： ， ， 故答案为：． 13． 本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式． 通过设，，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n的方程组得到答案． 解：令，， 则关于m、n 的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴可得，解得． 故答案为：． 14．1 根据加减消元法，用含的式子表示出和，将其代入即可求得的值． 解：， ，得， 解得：， 把代入②得：， 将和代入得：， 解得：． 15． 此题考查了二元一次方程组的实际应用-配套问题，根据等量关系为：生产甲种零件的天数生产乙种零件的天数；生产甲种零件的天数生产甲种零件的效率生产乙种零件的天数生产乙种零件的效率，列方程组即可． 解：根据题意，两种零件总共需要28天，甲乙两种零件的配比为， 可列方程组为：， 故答案为：． 16．3 本题考查解三元一次方程组，代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程相加可得，再将第一个方程变形得，从而求得的值，然后代入原式计算即可． 解：， 得：， 则， 由得：， 则， 原式， 故答案为：． 17．(1) (2) （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． （1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 18．(1) (2) 本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用加减消元法求解即可； （2）消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可． （1） ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立②和④，得 ， 解得 把代入①，得 ∴ 19． 本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组解的定义，把代入方程得关于的方程，解方程求出，再把，代入得到关于的方程，解方程求出即可． 解：把代入方程得：， 解得， 把，代入得：， 解得． 20．(1) (2) 本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． （1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可； （2）由题意得，得到，求出． （1）解：将代入得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， 均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 将代入得， ， ， 方程的正整数解是， 当时，方程有正整数解． 21．(1) (2)2， 本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． （1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 22．(1) (2) (3) 本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 23．(1)； (2)丙需要花费元． 本题考查了三元一次方程组的应用，掌握解三元一次方程组是解题的关键． （）利用，可求出的值； （）设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，根据题意，得，按照题例解题即可． （1）解：， ，得：； （2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元， 根据题意，得， ，得， 原方程组可化为， 把代入，得， ∴． 答：丙需要花费元． 24．(1)3，4 (2)可制作横式纸盒8个，竖式纸盒8个 (3)m的最大值为16 本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， 对于（1），观察几何体可得答案； 对于（2），设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据题意列出方程组，求出解； 对于（3）, 设制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，表示出A形纸板需要张，B形纸板需要张，再根据题意列出不等式，求出解集． （1）解：制作一个横式纸盒需要A型长方形纸板3张，制作一个竖式纸盒需要A型长方形纸板4张. 故答案为：3，4； （2）解：设可制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个，根据题意，得 ， 解得， ∴可制作横式纸盒8个，竖式纸盒8个； （3）解：∵制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个， ∴A形纸板需要张，B形纸板需要张， ∴， 解得， ∴m的最大值为16． 25．(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． （1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 26．(1)大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元； (2)小无人机实行九折优惠； (3)①；②这两天总营收的最小值为18840元． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解． （1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价； （2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣； （3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值． （1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元． 根据题意，得： 得：，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解是 答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元． （2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）． 大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）． 因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）． 小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元． ； 答：小无人机的优惠折扣为九折． （3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元． 在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为． ∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元， ∴，则， 化简得：，即 ， ∴． ②  由①知，这两天总营收为． 打折前小无人机单次运输价格为120元， ∵总营收是120的整数倍，即为整数，，， ∴ 为整数， 又∵ 157 是质数， ∴a是40的倍数，a的最小值为40． 则总营收的最小值为元． 答：这两天总营收的最小值为18840元． 学科网（北京）股份有限公司 $