精品解析：江苏泰州市姜堰区第一教研站第一教研站2025-2026学年下学期八年级数学第二次学情检测（5月）

第一教研站2026年春学期八年级数学第二次学情检测 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国中学生的体重情况 B. 调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C. 调查某市居民的防诈意识 D. 调查某班学生的节水意识 【答案】D 【解析】 【分析】全面调查适合调查对象数量少，无破坏性，易操作的调查． 【详解】解：A、调查全国中学生体重，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查，故不符合题意； B、调查汽车电池使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，故不符合题意； C、调查某市居民防诈意识，范围大，对象多，不适合全面调查，故不符合题意； D、调查某班学生节水意识，班级学生数量少，范围小，易操作，适合全面调查． 2. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 水中捞月 D. 冬去春来 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间， 其中水中捞月是不可能事件，可能性为0， 大海捞针、守株待兔是发生可能性极低的随机事件，可能性远小于1， 冬去春来是必然事件，发生可能性为1， ∴ 四个选项中，冬去春来发生的可能性最大． 3. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是三次根式，不是二次根式，故A不符合题意； B．是二次根式，被开方数3不含分母，也不含能开得尽方的因数，故B符合题意； C．的被开方数含有分母，故C不符合题意； D．，被开方数含有分母，故D不符合题意． 4. 顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 四个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线定理得到中点四边形边与原四边形对角线的关系，结合矩形性质推导即可． 【详解】解：点分别是四边形四边的中点，顺次连接得四边形为矩形，根据三角形中位线定理，可得：，， 四边形是矩形， ， ， 即四边形的两条对角线互相垂直， 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的化简，加减，乘法法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：与不是同类二次根式，不能直接合并得到B错误； 选项C：根据二次根式乘法法则，，故C正确. 选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并得到，故D错误． 6. 如图，矩形中，，，点P为中点，点E为线段上一点，连接，将线段绕E旋转得线段，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作于点M，过点Q作于点H，连接并延长，过点D作于点N，证明，得出，，求出，说明点Q总是在直线上，根据垂线段最短，得出点Q在点N处时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：过点P作于点M，过点Q作于点H，连接并延长，过点D作于点N，如图所示： 则， ∵P为的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点Q总是在直线上， ∵垂线段最短， ∴点Q在点N处时，最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 8. 填空：________（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先将两个数分别平方，再比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大. 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴. 9. 分解因式： ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. “a是实数，”这一事件是______事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 【答案】必然事件 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．根据实际情况即可解答． 【详解】解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值， 因为a是实数， 所以|a|≥0． 故答案为：必然事件． 【点睛】此题主要考查了必然事件概念以及绝对值的性质，用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 11. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组分别有10个、5个、7个、6个，第5组所占的百分比为，则第6组数据有___________个． 【答案】8 【解析】 【分析】根据第5组的百分比和数据总数可求出第5组的频数，再利用总频数减去第1、2、3、4、5组的频数之和即可求出答案． 【详解】解：∵这组数据共个，第5组所占的百分比为， ∴第5组的频数为：（个） 则第6组数据有：（个）． 12. 如图．从一个大正方形中裁去面积为cm2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________ cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，则可求最大的正方形的边长为5cm，再用大正方形面积减去两个小正方形面积求解即可． 【详解】解：∵小正方形的面积8cm2， ∴小正方形的边长为=2(cm)， ∵大正方形的面积18cm2， ∴大正方形的边长为=3(cm)， ∵最外边的大正方形的边长为2+3=5(cm)， ∴S=（5）2=50(cm2)， ∴S阴影=50-8-18=24(cm2)， 故答案为：24． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简运算，结合图形求面积是解题的关键． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可求解，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行计算． 【详解】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为，  由题意得 ，， 解得，，  ． 15. 阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 16. 如图，在矩形中，，，点，分别在和上，且，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点是的中点，则最大时的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点H，证明，得到，连接 ，求出，且，得到，则当三点在同一直线上，设交于点Q，证明，得到，则，解得，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 如图，连接 ， ∵点H是的中点，点P是的中点， ∴，，且， ∴， ∵将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是 ∴， ∵，且， ∴， ∴当三点在同一直线上，设交于点Q， 由折叠可得，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴ 三、解答题（10小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）先化简二次根式，再计算乘除法，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 【小问2详解】 解：原方程为变形得， 方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的增根，原方程无解． 19. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 20. 为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 请根据图表信息回答下列问题： （1）求出频数分布表中的________，________； （2）该频数分布直方图的组距是_________；并将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 【答案】（1）25， （2）2，见解析 （3）1080人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表，先求出抽取总人数，计算即可； （2）根据组数和组距的定义，即可求组距；根据a的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体，用1800乘以每周课外阅读时间在6小时以上的学生所占百分比，再计算即可． 【小问1详解】 解：抽取总人数为：（人）， （人）， ； 【小问2详解】 解：由频数分布表和频数分布直方图可知，组数是5，组距是， 频数分布直方图补充如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有1080人． 21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”．某物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从米的高空落到地面的时间为_____秒； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米），一个质量为千克的鸡蛋经过秒落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要焦的能量）． 【答案】（1） （2）会对无防护人体造成伤害 【解析】 【分析】（）把代入关系式解答即可求解； （）求出鸡蛋下落的高度，进而根据题意求出鸡蛋在下落过程中产生的能量，再比较即可判断求解． 【小问1详解】 解：把代入，得 （秒）， 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得， ∴鸡蛋在下落过程中产生的能量为（焦）， ∵， ∴会对无防护人体造成伤害． 22. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：______，______． （2）已知：，求的值． （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解： ． 23. 如图，点E、F分别在的边、上，连接、、、，请你从以下四个选项：①；②；③；④中选择两个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． （1）你选择的补充条件是_________（填序号），根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． （2）在（1）的条件下，若，， ，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定定理选择条件，先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理分别求出，，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：①②或①③或②③， 选择①②，证明如下： 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 选择①③，证明如下： 四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ∵， ， ∴四边形是矩形； 选择②③，证明如下： 四边形是平行四边形， ． ∵， ∴， ∴． ∵； ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， ，， ∴． 24. 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：100000元 花费：96000元 单价：x元/个 单价：元/个 （1）项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【解析】 【分析】（1）根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出现在单枪和双枪新能源充电桩的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，列分式方程可得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为2000元/个，双枪新能源充电桩的价格为3200元/个； 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个） 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 根据题意，得 解得 ∵a为整数， ∴a的最小值为4， 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 25. 【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材1 如图1，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 素材2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 素材3 如图3，当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 （1）任务1：在抬起状态下，四边形的形状为___________； （2）任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； （3）任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）平行四边形 （2） （3）汽车能安全通过，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，，，，进而可得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接，过点作于点N，证明四边形是矩形，由勾股定理求出，则； （3）在上取，，作于点F，交于点H，交于点G，在中求出，则，比较与的大小，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意可知，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点N， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 即，两点间的距离为； 【小问3详解】 解：汽车能安全通过．理由如下： 在上取，，作于点F，交于点H，交于点G， 即汽车与保持安全距离，汽车的宽， ∴， 依题意得：，，四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵汽车高度为，， ∴汽车能安全通过． 26. 【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论． 【问题发现】 （1）①图中线段、之间的数量关系是______； ②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程． （3）如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【结论应用】 （4）如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【答案】（1）①；② （2），理由见解析； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）①通过正方形对角线性质，证明与全等，得出和的数量关系； ②利用正方形边长相等转化线段，结合勾股定理推导、、的数量关系； （2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用矩形性质和勾股定理证明数量关系； （3）连接辅助线，利用菱形对角线性质、中点性质，结合勾股定理分情况列方程求解； （4）利用直角梯形、中点性质，结合矩形的直角条件，分情况用勾股定理计算的长度． 【小问1详解】 解：①∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵正方形的边长相等，即，， 由（）①得， ∴，即 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：结论：，理由如下： 延长交于点，连接，连接，则过中心， ∵是矩形的中心， ∴是的中点，即， ∵矩形中，， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴， ∵矩形中，，即， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴−， ∵，为直角， ∴由（2）得， ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：分两种情况讨论： 情况，当点在线段上时，连接， ∵，， ∴， 在直角梯形中，，， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ， ∴由（2）得， ∴ 解得； 情况，当点在线段的延长线上时，过作交的延长线于，连接，，则． ， ，， 点是的中点． ． ， ， 在矩形中，，即． ． 在中，，在中， ，即， ，，， ， 即得． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握特殊四边形的性质、全等三角形的判定方法及勾股定理的灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一教研站2026年春学期八年级数学第二次学情检测 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国中学生的体重情况 B. 调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C. 调查某市居民的防诈意识 D. 调查某班学生的节水意识 2. 下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（ ） A. 守株待兔 B. 大海捞针 C. 水中捞月 D. 冬去春来 3. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 四个角相等 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形中，，，点P为中点，点E为线段上一点，连接，将线段绕E旋转得线段，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 8. 填空：________（填“”或“”） 9. 分解因式： ________． 10. “a是实数，”这一事件是______事件（选填以下内容：不可能事件、必然事件、随机事件）． 11. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组分别有10个、5个、7个、6个，第5组所占的百分比为，则第6组数据有___________个． 12. 如图．从一个大正方形中裁去面积为cm2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________ cm2． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 14. 如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 15. 阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 16. 如图，在矩形中，，，点，分别在和上，且，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点是的中点，则最大时的值为________． 三、解答题（10小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值． 20. 为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 请根据图表信息回答下列问题： （1）求出频数分布表中的________，________； （2）该频数分布直方图的组距是_________；并将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”．某物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从米的高空落到地面的时间为_____秒； （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米），一个质量为千克的鸡蛋经过秒落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要焦的能量）． 22. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：______，______． （2）已知：，求的值． （3）计算：． 23. 如图，点E、F分别在的边、上，连接、、、，请你从以下四个选项：①；②；③；④中选择两个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． （1）你选择的补充条件是_________（填序号），根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． （2）在（1）的条件下，若，， ，求的长度． 24. 项目式学习：小区新能源充电设施优化方案 项目背景 随着小区内新能源汽车的普及，物业计划在小区公共停车场购置单枪、双枪两款新能源充电桩，以满足业主的充电需求．本次采购需要考虑预算、设备数量和单价的限制，同时为后续小区绿色出行规划提供数据支持． 核心素材 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：100000元 花费：96000元 单价：x元/个 单价：元/个 （1）项目任务1：本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）项目任务2：过一段时间后，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过26880元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 25. 【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材1 如图1，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 素材2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 素材3 如图3，当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 （1）任务1：在抬起状态下，四边形的形状为___________； （2）任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； （3）任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 26. 【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论． 【问题发现】 （1）①图中线段、之间的数量关系是______； ②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程． （3）如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 【结论应用】 （4）如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $