精品解析：2026年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第二十九中学学情自测数学试题

乌鲁木齐市第二十九中学2025-2026学年第二学期九年级第三次模拟测试 数学 (问卷) (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 一、单项选择题(共9题，每题4分，共计36分) 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是指无限不循环小数，据此判断即可． 【详解】根据无理数的定义，为无理数， ，1，2均为有理数， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的辨别，理解无理数的定义以及常见形式是解题关键． 2. 如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： 故选：B． 3. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到 ，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵，， ∴， 故选：B． 4. 新疆天山胜利隧道于2025年12月26日正式通车，成为全球最长的高速公路隧道．隧道全长22.13公里，总投资约467亿元．数据“467亿元”用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：467亿， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x-k=0有两个实数根，得出Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0，从而求出k的取值范围． 【详解】解：∵x2+x-k=0有两个实数根， ∴Δ=b2-4ac≥0，即1+4k≥0， 解得：k≥-， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键． 7. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出 ，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 9. 如图，已知直线与轴、轴相交于 ， 两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接 ，．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点． 根据一次函数和反比例函数的性质得到，即可判断①；把、代入中得到，即可判断②；把、代入得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到，即可判断③；根据图象得到不等式的解集是或，即可判断④． 【详解】解：①由图象知，，， ∴，故①正确； ②把，代入中，得， ∴，故②正确； ③把，代入，得， 解得：， ∵， ∴． ∵直线与轴、轴相交于 ， 两点， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确． 故选：D． 二、填空题(共6题，每题4分，共计24分) 10. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解： 两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ， 两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 13. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则×4π×R＝10π， 解得，R＝5（cm） 故答案为:5 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 14. 如图，在中， ，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据 ，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则 的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时， 最大，根据当 与相切于点D，且点D在 内部时， 最小， 最大，画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在 中，， ∵为定值， ∴当最大时， 最大， ∴当 与相切于点D，且点D在 内部时， 最小， 最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， ∴， 即 的最大值为． 三、解答题(本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 17. 解答下列各题： （1）解不等式组：； （2）今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元．求肉粽和蛋黄粽每个的单价． 【答案】（1） （2）肉粽单价2元，蛋黄粽单价3元 【解析】 【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． （2）设肉粽单价为元，蛋黄粽单价为元，根据“购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元”列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：， 解①得 ， 解②得 ， ∴不等式组的解集为： ． 【小问2详解】 解：设肉粽单价为元，蛋黄粽单价为元． 根据题意得：， 解得：， 答：肉粽单价2元，蛋黄粽单价3元． 18. 在国产大模型持续引领全球科技热潮下，某校七年级的课外社团选修课也正如火如荼地展开，开设有定向越野、啦啦操、武术、飞盘四门选修课．小明为掌握七年级同学的选修课情况，在每个班随机抽取部分学生进行调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的七年级学生共有___________人；在扇形统计图中，“定向越野”对应的扇形圆心角度数为___________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从选“武术”这门选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名学生参加表演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加表演的概率． 【答案】（1）50， （2）估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数为180人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据啦啦操的人数是10人，占总调查人数的，求出总人数；用总人数减去其余三组人数求出定向越野的人数，即可求出所对圆心角度数； （2）利用样本估计总体的方法求解即可； （3）根据列表法解答即可． 【小问1详解】 解：因此本次调查总人数为： 人， 定向越野的人数为：人， 对应扇形圆心角为：； 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，选择“啦啦操”的人数占比为20%， （人）， 估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数为180人； 【小问3详解】 解：将这4名学生分别记作：男1，男2，男3，女，根据题意，列表如下： 男1 男2 男3 女 男1 （男2，男1） （男3，男1） （女，男1） 男2 （男1，男2） （男3，男2） （女，男2） 男3 （男1，男3） （男2，男3） （女，男3） 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到2名男生的结果有6种， （恰好抽到2名男生参加表演）． 19. 如图，在四边形 中，是的中点，，交于点 ，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴ ， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到 ，而，即可求证； （2）解 求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到 ，最后对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在 中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 20. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36．87°，米， 米．（参考数据：，，） （1）求的长． （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 【答案】（1）的长约为8米； （2）模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，， 米， ， 米， 即的长约为8米； 【小问2详解】 解：米， 米， 米， 在中，， 米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 21. 某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）． （1）分别求出y与x，W与x的函数解析式； （2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； （3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）20元/件或30元/件 （3）商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数，以及一元二次方程的应用． （1）设出一次函数解析式，将分别代入解析式，求出k、b的值即可确定y与x之间的解析式；求出每件利润，乘以总数量即可得到利润的函数关系式； （2）令可得一元二次方程，求解即可； （3）将问题转化为二次函数最大值的问题解答． 【小问1详解】 解：由题意可设， 则 解得， 所以． 所以，， 即． 【小问2详解】 解：由题意可得，． 解得． 答：该商品的定价是20元/件或30元/件． 【小问3详解】 解：因为，由二次函数图象性质可知，W有最大值． 当时， （元）． 答：商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元． 22. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接 ，， ，取 的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证： ； （2）延长 交 的延长线于点E．若 ，，求的长． 【答案】（1） 证明： ，分别切于A点，B点， 平分 ， ， 又 ， ， ． （2）长为44． 【解析】 【分析】（1）利用切线长定理得 平分 ，利用圆周角定理得 ，等量代换即可证明； （2）延长 交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长 交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为 的中点， ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 23. 【问题提出】 （1）如图1，点P为菱形 的对角线上一点，连接，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形 中，，，，，点E、F分别在线段上，且 ，试判断 与 之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形 的边的中点H处有一个凉亭，在 上取一点E（不与端点重合），下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即 的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积． 【答案】（1）3； （2），理由如下： 过点F作 交BC的延长线于点G，如图2． ∵， ， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴，． ∵ ， ∴， ∴，即． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3） 的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米． 【解析】 【分析】（1）只需要证明，即可得到； （2）过点F作 交BC的延长线于点G，如图2．由平行线的性质得到，证明 是等腰直角三角形，得到，．则，再证明，即可证明． （3）连接，过点F作 于点P，如图3．由矩形的性质得到 ，米，则为等腰直角三角形，得到，（米）．证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，得到，即可证明A、H、F三点共线．由菱形的性质得到垂直平分，则．进而可得米，则米，求出米，可得米．再求出米，则（平方米）． 【详解】解：（1）∵四边形 是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （2）略 （3）连接，过点F作 于点P，如图3． ∵在矩形 中，米，米，H为的中点， ∴ ，米， ∴为等腰直角三角形， ∴，（米）． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 又∵， ∴，即A、H、F三点共线． ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米． 记与的交点为点O，如图3． ∵（米），米， ∴米， ∴（平方米）． 即 的长度为40米，“民宿”区域（菱形）的面积为12800平方米． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质等等，解题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第二十九中学2025-2026学年第二学期九年级第三次模拟测试 数学 (问卷) (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 一、单项选择题(共9题，每题4分，共计36分) 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这个几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 新疆天山胜利隧道于2025年12月26日正式通车，成为全球最长的高速公路隧道．隧道全长22.13公里，总投资约467亿元．数据“467亿元”用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是 的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马 天可以追上慢马，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线与 轴、轴相交于 ， 两点，与反比例函数的图象相交于，两点，连接 ， ．给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(共6题，每题4分，共计24分) 10. 若有意义，则 的取值范围是_____． 11. 分解因式：_______． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是______________（填“甲”或“乙”）． 13. 已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm． 14. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 15. 如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 三、解答题(本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 计算： （1） （2） 17. 解答下列各题： （1）解不等式组：； （2）今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元．求肉粽和蛋黄粽每个的单价． 18. 在国产大模型持续引领全球科技热潮下，某校七年级的课外社团选修课也正如火如荼地展开，开设有定向越野、啦啦操、武术、飞盘四门选修课．小明为掌握七年级同学的选修课情况，在每个班随机抽取部分学生进行调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的七年级学生共有___________人；在扇形统计图中，“定向越野”对应的扇形圆心角度数为___________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从选“武术”这门选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名学生参加表演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加表演的概率． 19. 如图，在四边形 中， 是的中点，， 交于点 ，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求 的长. 20. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36．87°，米， 米．（参考数据：，，） （1）求的长． （2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 21. 某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）． （1）分别求出y与x，W与x的函数解析式； （2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； （3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 22. 如图，过点P作 的两条切线，切点分别为A，B，连接 ， ， ，取 的中点C，连接并延长，交 于点D，连接． （1）求证： ； （2）延长 交的延长线于点E．若 ，，求的长． 23. 【问题提出】 （1）如图1，点P为菱形 的对角线上一点，连接，若，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形 中，，，，，点E、F分别在线段上，且 ，试判断与 之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大爷拟将一块矩形土地及周边重新进行规划利用，如图3，在矩形 的边 的中点H处有一个凉亭，在 上取一点E（不与端点重合）， 下方取一点F，使得，，以为一组邻边构造菱形，将区域规划为休闲垂钓区，菱形区域规划为“民宿”以供游客住宿及餐饮，其他区域为荔枝林和放养鸡地，经测量米，米，王大爷计划沿修建两条休闲通道，根据王大爷的规划要求，，请你帮助王大爷确定点E的位置（即 的长度），并计算“民宿”区域（菱形）的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $