精品解析：2026年内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校模拟预测数学试题

内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（十） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断：轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后能与原图形重合，逐一分析选项，找出是轴对称图形但不是中心对称图形的选项． 【详解】解：A选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B选项：是轴对称图形，绕中心旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合题意； C选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2. 根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 4. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案． 【详解】解：“车”所在位置的坐标为， 确定点即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1， “炮”所在位置的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点． 5. 3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，根据树状图可知所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：令“风”为A，“云”为B，“雨”为C，“雪”为D， 画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，抽到“雨”和“雪”书签的可能有2种， 所以抽到“雨”和“雪”书签的概率是． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7. 下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A. 当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B. 当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C. 当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D. 当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 8. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出的范围，根据二次函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线对称轴左边的交点为，设抛物线顶点坐标为 联立 解得：或 ∴， 由，则，对称轴为直线， 设，则点在上， ∵且， ∴点在点的左侧，即，， 当时， 对于，当，，此时， ∴， ∴ ∵对称轴为直线，则， ∴的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质得出，根据平行线的性质结合对顶角相等得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为_________A． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式；再令，求出对应的I的值即可． 【详解】解：设反比例函数式， 把代入反比例函数式， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 11. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 12. 如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕交于点F，若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点G，连接，设，，由矩形的性质和折叠的性质可知，，，，，由勾股定理可得，，则有，，在中，由勾股定理可得，即，同理在中可得，即，则有，最后求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G，连接， 在矩形纸片中，，，， 设，， 由折叠可知：，， 在中，， 在中，，有， 即 ， ， ， ， ， 在中，， 即， ， 在中，， 即， ， ， 解得：， 即． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用零指数幂、负整数指数幂、完全平方公式、平方差公式、多项式的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 14. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 15. 为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元． （1）求A型网箱和B型机器人的单价； （2）若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元 （2）采购A网箱15个投资总额最少，最少投资总额为1400万元 【解析】 【分析】（1）先设A型网箱单价，结合价格差表示出B型机器人单价，依据花费金额÷单价=数量，利用两种器材购买数量相等列出分式方程，解方程并检验，求出两种器材单价即可． （2）先设购进A型网箱数量，表示出B型数量，根据数量之间不等关系列出一元一次不等式，求出自变量取值范围；再根据总价公式列出总投资的一次函数关系式，利用一次函数增减性，确定自变量取值，求出最少投资金额． 【小问1详解】 解：设型网箱的单价是万元，则型机器人的单价是万元 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， ， 答：型网箱的单价是60万元，型机器人的单价是100万元． 【小问2详解】 设购买型网箱个，则购买型机器人个， ∵两种单元均需采购， ∴且， 故m的取值范围为的整数， ∵采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的， ∴， 解得：， 综上m的取值范围为的整数， 设投资总额为万元， 由题意得： ， ， 随的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当，有最小值， 此时（万元）， 答：采购网箱15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元． 16. 如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为8.5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，再证明，易得，进而证明，结合可知，即可证明结论； （2）首先证明，再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 证明：连接，如下图， ， ， ， ， ， ， ， ，又为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ∵为的直径，， ， ∵四边形内接于， ， ， ，即， ． 17. 如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇D到索塔的距离，缆索的最低点P到桥面的距离为． （1）求缆索所在抛物线的表达式； （2）同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键；难点是得到用n表示的两根吊杆的长度之和的函数解析式． （1）易得缆索所在抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）①把点A、D的坐标代入所给的抛物线解析式即可求得b和c的值； ②两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，用n表示出w，进而根据二次函数的性质可得n为何值时w最小． 【小问1详解】 解：根据题意可知，缆索所在抛物线的顶点坐标为， 设缆索所在抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得：， 缆索所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①缆索所在抛物线经过点和， ∴， 解得：； ②设两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，则在索塔右侧需安装的吊杆与之间的距离为， ， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，w最小． 答：索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为． 18. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： （3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【小问1详解】 延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ． ． ， ． ． 【小问3详解】 解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ． ，由（2）知，． ． ， ， ， 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ． 【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（十） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（ ） A. 当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B. 当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C. 当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D. 当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 8. 已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 10. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为_________A． 11. 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 12. 如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕交于点F，若，，则____________． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 14. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 15. 为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元． （1）求A型网箱和B型机器人的单价； （2）若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 16. 如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为8.5，，求的长． 17. 如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇D到索塔的距离，缆索的最低点P到桥面的距离为． （1）求缆索所在抛物线的表达式； （2）同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 18. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展： （3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $