2026年内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校模拟预测数学试题

**基本信息** 以中国古典花窗、芯片生产等文化与科技情境为载体，融合抽象能力与模型意识，通过概率计算、抛物线建模等题实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称与中心对称、科学记数法|结合甲骨文气象文字考概率，体现数学眼光| |填空题|4/12|反比例函数、一元二次方程根与系数关系|直尺三角板放置考几何直观，落实空间观念| |解答题|6/64|统计分析、圆切线证明、抛物线应用|南京长江四桥建模题发展模型意识，菱形探究题提升推理能力|

内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（十） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1、 选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断：轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后能与原图形重合，逐一分析选项，找出是轴对称图形但不是中心对称图形的选项． 【详解】解：选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 选项：是轴对称图形，绕中心旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合题意； 选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2.根据国家统计局的数据，年月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为(     ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：． 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：．，故不正确； B.，故不正确； C.，故不正确； D.，正确； 4.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为     ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：． 故选：． 直接利用“車”位于点，得出原点的位置，进而得出答案． 此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 5.年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】先根据题意画出树状图，根据树状图可知所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：令“风”为，“云”为，“雨”为，“雪”为， 画树状图如下： 等可能出现的情况共种，抽到“雨”和“雪”书签的可能有种， 所以抽到“雨”和“雪”书签的概率是． 6.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ， 故选： 7.下列变量之间的关系不能用如图第一象限内的反比例函数曲线近似表示的是(     ) A. 当压力一定时，压强与受力面积之间的函数关系 B. 当物体的质量一定时，物体的密度与体积之间的函数关系 C. 当行驶的路程一定时，时间与速度的函数关系 D. 当三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的函数关系 【答案】D  【解析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：由，则当压力一定时，压强与受力面积之间成反函数关系，即选项不符合题意； B.由，则当物体的质量一定时，物体的密度与体积之间成反函数关系，即选项不符合题意； C.由，则当行驶的路程一定时，时间与速度成反函数关系，即选项不符合题意； D.由，则当三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间成正比例函数，即选项D符合题意． 8.已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得，是解题的关键．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围． 【解答】 解：令，整理得， 解得，， 直线与抛物线的交点的横坐标为，， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 把代入，解得， 若，，则，，即， ． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是          ． 【答案】 度  【解析】根据直角三角形两锐角互余的性质得出，根据平行线的性质结合对顶角相等得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图所示， 将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置， ，， ， ， ， ， ． 10.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为          A. 【答案】  【解析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流是电阻的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式；再令，求出对应的的值即可． 【详解】解：设反比例函数式， 把代入反比例函数式， ， ， 当时，， 故答案为：． 11.若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为           ． 【答案】  【解析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ． 12.如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点的直线翻折，使点落在点处，点恰好落在延长线上的点处，折痕交于点若，，则           ． 【答案】  【解析】解：过点作于点，连接，， 四边形是矩形， ，，，， 四边形是矩形，，， 在中，， ，即， 设，， 则，，， 由折叠性质得，， 在延长线上， ，， 在中，， 在中，， ，，化简得， 在中，， ， ， 化简得，即， 将代入得，解得． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简： (1)解：原式...........................................................................3分 ；...........................................................................5分 (2)解：原式 ，...........................................................................3分 ∵且且，...........................................................................4分 ∴当时，原式或 当时，原式．...........................................................................5分 【解析】  首先根据二次根式的性质、零指数幂运算法则以及负整数指数幂运算法则进行计算，然后相加即可；  首先将的分子、分母进行因式分解，并计算括号内的运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可． 14.本小题分 百度推出了“文心一言”聊天机器人以下简称款，抖音推出了“豆包”聊天机器人以下简称款有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息： 抽取对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：，，，，，； 抽取对款聊天机器人的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比   根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中           ，           ，           ； 根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由写出一条理由即可； 在此次测验中，有人对款聊天机器人进行评分、人对款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】(1)15;88.5;98 ...........................................................................3分 (2)解：A款聊天机器人更受用户喜爱，..........................................................................4分 理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱．...........................................................................4分 (3)解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，...........................................................................6分 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有 （人）．...........................................................................7分 【解析】  本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； 用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值；  通过比较，款的评分统计表的数据解答即可；  由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 15.本小题分 为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：型深海网箱与型水下机器人．已知用万元购买型网箱的数量与用万元购买型机器人的数量相等，且型机器人的单价比型网箱的单价多万元． 求型网箱和型机器人的单价； 若该海域计划共采购，两种单元共个两种单元均需采购，且采购型机器人的数量不少于型网箱数量的，则采购单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)解：设型网箱的单价是万元，则型机器人的单价是万元 由题意得：，...........................................................................2分 解得：，...........................................................................3分 经检验是原方程的根，且符合题意， ，...........................................................................4分 答：型网箱的单价是60万元，型机器人的单价是100万元．..........................................................5分 (2)设购买型网箱个，则购买型机器人个， ∵两种单元均需采购， ∴且，...........................................................................6分 故m的取值范围为的整数， ∵采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的， ∴，...........................................................................7分 解得：， 综上m的取值范围为的整数， 设投资总额为万元， 由题意得：，...........................................................................8分 ， 随的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当，有最小值，...........................................................................9分 此时（万元）， 答：采购网箱15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元．...................................10分 【解析】  先设型网箱单价，结合价格差表示出型机器人单价，依据花费金额单价数量，利用两种器材购买数量相等列出分式方程，解方程并检验，求出两种器材单价即可．  先设购进型网箱数量，表示出型数量，根据数量之间不等关系列出一元一次不等式，求出自变量取值范围；再根据总价公式列出总投资的一次函数关系式，利用一次函数增减性，确定自变量取值，求出最少投资金额． 16.本小题分 如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点． 求证：为的切线； 若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如下图， ， ，...........................................................................2分 ， ， ， ，...........................................................................4分 ， ，又为的半径， ∴为的切线；...........................................................................6分 (2)解：，， ， ∵为的直径，， ，...........................................................................8分 ∵四边形内接于， ， ，...........................................................................10分 ，即， ．...........................................................................12分 【解析】  连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，再证明，易得，进而证明，结合可知，即可证明结论；  首先证明，再证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并求解，即可获得答案． 17.本小题分 如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以为原点，桥面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇到索塔的距离，缆索的最低点到桥面的距离为． 求缆索所在抛物线的表达式； 同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． 求，的值； 为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 【答案】(1)解：根据题意可知，缆索所在抛物线的顶点坐标为， 设缆索所在抛物线的解析式为， 把代入解析式得：，........................................................................2分 解得：， 缆索所在抛物线的表达式为；.....................................................................4分 (2)解：①缆索所在抛物线经过点和， ∴，...........................................................................6分 解得：；...........................................................................8分 ②设两根吊杆的长度之和为w，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，则在索塔右侧需安装的吊杆与之间的距离为， ，...........................................................................10分 抛物线的开口向上，对称轴为直线n=-=，........................................................................11分 当时，w最小． 答：索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为．.......................................................................12分 【解析】  本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键；难点是得到用表示的两根吊杆的长度之和的函数解析式． 易得缆索所在抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点的坐标代入可得的值，即可求得抛物线的解析式；  把点、的坐标代入所给的抛物线解析式即可求得和的值； 两根吊杆的长度之和为，在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离为，用表示出，进而根据二次函数的性质可得为何值时最小． 18.本小题分 问题提出：如图，是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究： 先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小； 再探究一般情形，如图，求与的数量关系． 问题拓展：将图特殊化，如图，当时，若，求的值． 【答案】(1)延长过点F作， ∵， ， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴．      故答案为：．...................................................................2分 (2)解：在上截取，使，连接． ， ， ． ， ．...........................................................................4分 ． ， ． ．...........................................................................8分      (3)解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ． 在中， ， ．...........................................................................10分 ，由（2）知，． ． ， ， ，...........................................................................11分 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，．...........................................................................12分 ∵， ∴， ∵， ∴． ．..........................................................................13分      【解析】  延长过点作，证明即可得出结论．  在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．  过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由知，，通过相似求出，即可解出． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（十） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1、 选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是． A. B. C. D. 2.根据国家统计局的数据，年月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为(     ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 4.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为     ． A. B. C. D. 5.年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报．以下是同学们用收集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相同．将这张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是(     ) A. B. C. D. 6.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程． A. B. C. D. 7.下列变量之间的关系不能用如图第一象限内的反比例函数曲线近似表示的是(     ) A. 当压力一定时，压强与受力面积之间的函数关系 B. 当物体的质量一定时，物体的密度与体积之间的函数关系 C. 当行驶的路程一定时，时间与速度的函数关系 D. 当三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的函数关系 8.已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是          ． 10.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为           A. 11.若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为           ． 12.如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点的直线翻折，使点落在点处，点恰好落在延长线上的点处，折痕交于点若，，则           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 14.本小题分 百度推出了“文心一言”聊天机器人以下简称款，抖音推出了“豆包”聊天机器人以下简称款有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，下面给出了部分信息： 抽取对款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：，，，，，； 抽取对款聊天机器人的评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 抽取的对，款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比   根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中           ，           ，           ； 根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由写出一条理由即可； 在此次测验中，有人对款聊天机器人进行评分、人对款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 15.本小题分 为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：型深海网箱与型水下机器人．已知用万元购买型网箱的数量与用万元购买型机器人的数量相等，且型机器人的单价比型网箱的单价多万元． 求型网箱和型机器人的单价； 若该海域计划共采购，两种单元共个两种单元均需采购，且采购型机器人的数量不少于型网箱数量的，则采购单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 16.本小题分 如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点． 求证：为的切线； 若的半径为，，求的长． 17.本小题分 如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔，三条缆索，，，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索，，的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以为原点，桥面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔，桥面，锚碇到索塔的距离，缆索的最低点到桥面的距离为． 求缆索所在抛物线的表达式； 同一直角坐标系中，缆索所在抛物线的表达式为． 求，的值； 为了加固桥梁，计划在索塔左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔左侧需安装的吊杆与之间的距离． 18.本小题分 问题提出：如图，是菱形边上一点，是等腰三角形，， 交于点，探究与的数量关系．      问题探究： 先将问题特殊化，如图，当时，直接写出的大小； 再探究一般情形，如图，求与的数量关系． 问题拓展：将图特殊化，如图，当时，若，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（十) 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式.花窗的图案多种多样，以下花窗的图样 中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( 2.根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强 大实力.数据431840000000用科学记数法可以表示为( A.4.3184×1010 B.43.184×1010 C.4.3184×1011 D.0.43184×1012 3.下列计算正确的是( ) A.a4.a3=a2 B.2a2+3a2=5a4 C.（-a+2b)(a+2b)=a2-4b2 D.(-2a2b3)3=-8ab9 4.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为 (-2,2),则“炮”所在位置的坐标为( A.(3,1) B.(1,3) 楚河 汉界 C.(4,1) D.(3,2) 炮 第1页，共7页 5.3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报.以下是同学们用收 集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相 同.将这4张书签背面向上，洗匀放好.从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是 ( ) 风云儿雨 雪 A品 B日 c. D. 6俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知 识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘假设每天“遗忘”的百分比为 x,根据“两天不练丢一半”，可列方程( ) A.(1-x)2=50% B.(1+x)2=50% C.1-2x=50% D.(1-x)(1+x)=50% 7.下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是( 0 A.当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B.当物体的质量m一定时，物体的密度p与体积V之间的函数关系 C.当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D.当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 8.已知点A(&1,y1)在直线y=3x+19上，点B(&,y2),C(&3,y3)在抛物线y=x2+4x-1上，若y1= y2=y3且x1<X2<x3,则x1+X3+X3的取值范围是( A.-12<X1+X2+x3<-9 B.-8<X1+X2+X3<-6 C.-9<X1+x3+X3<0 D.-6<X1+X3+X3<1 第2页，共7页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9将一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置.若∠1=27°，那么∠2的度数是 10.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：？)是反比例函数关 系，它的图象如图所示，则当电阻为4Ω时，电流为 A. I/A个 0 8 R/O 11.若x1,x2是关于x的一元二次方程x2+18x-1=0的两个实数根，则代数式x+20x1+2x2的值 为 12.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落 在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕EF交BC于点F若EF=2√13，DN=3,则 BC= M A D B 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (计算：V五--3.14④°+Θ： ②化简：÷(1-) 第3页，共7页 14.(本小题7分) 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简 称B款).有关人员开展了A,B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20 份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x<70,比较满意 70≤x<80,满意80≤x<90,非常满意x≥90)，下面给出了部分信息： 抽取对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84,86,86,87,88,89： 抽取对B款AI聊天机器人的评分数据：66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95， 97,98,98,98,98,99,100 抽取的对A,B款AI聊天机器人的评分统计表 设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比 A88 96 45% B88 87 40% 抽取的对A款设备的评分扇形统计图 比较满意 a% 满意 10% 不满意 非常满意 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a=一，b=-,c= (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）： (3)在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分， 通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 第4页，共7页 15.(本小题10分) 为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱 与B型水下机器人.己知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相 等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元. (1)求A型网箱和B型机器人的单价： (2)若该海域计划共采购A,B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于 A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 16.(本小题12分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD为⊙O的直径，BC=CD,CE 1 AB交AB的延长线于点E. D (1)求证：CE为⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为8.5，BC=8,求BE的长. 第5页，共7页 17.(本小题12分) 如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔AO,BC, 三条缆索L1,L2,L3,以及连接缆索与桥面的吊杆组成.缆索L1,L2,L3的形状均近似是抛物线，索 塔、吊杆均与桥面垂直.以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标 系.测得索塔AO=BC=200m,桥面OC=1200m,锚碇D到索塔OA的距离OD=400m,缆索L,的 最低点P到桥面OC的距离为20m. 3 L D (1)求缆索L1所在抛物线的表达式： 2)同一直角坐标系中，缆索L,所在抛物线的表达式为y:一×+bx+c, ①求b,c的值： ②为了加固桥梁，计划在索塔OA左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为150.要使 两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔OA左侧需安装的吊杆 与OA之间的距离. 第6页，共7页 18.(本小题13分) 问题提出：如图(I),E是菱形ABCD边BC上一点，·AEF是等腰三角形，AE=EF, ∠AEF=LABC=(a≥90)，AF交CD于点G,探究LGCF与的数量关系， E (1) (2) (3) 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图(2)，当=90时，直接写出∠GCF的大小： (2)再探究一般情形，如图(1)，求LGCF与的数量关系 (③)问题拓展：将图0特殊化，如图6)，当a=120时，若器-求的值， CE 第7页，共7页内蒙古2025-2026学年第二学期初三学业水平考试质量监测（十) 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式.花窗的图案多种多样，以下花窗的图样 中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( A 分 【答案】B 【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断：轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够完全重合：中心对称图形：绕某一点旋转180°后能与原图形重合，逐一分析选项，找出是轴 对称图形但不是中心对称图形的选项， 【详解】解：A选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意： B选项：是轴对称图形，绕中心旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合题意： C选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意： D选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意. 2.根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约431840000000颗，彰显了中国芯片产业的强 大实力.数据431840000000用科学记数法可以表示为( A.4.3184×1010 B.43.184×1010C.4.3184×101D.0.43184×1012 【答案】C【解析】解：431840000000=4.3184×1011. 第1页，共17页 3.下列计算正确的是() A.a4.a3=a12 B.2a2+3a2=5a4 C.(-a+2b)(a+2b)=a2-462 D.(-2a2b3)3=-8ab 【答案】D 【解析】解：A.a4·a3=a7,故不正确： B.2a2+3a2=5a,故不正确： C.(-a+2b)(a+2b)=4b2-a2,故不正确： D.(-2ab)3=-8a69,正确： 4.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“车”所在位置的坐标为 (-2,2),则“炮”所在位置的坐标为( 楚河 汉界 軍 炮 A.(3,1) B.(1,3) C.(4,1) D.(3,2) 【答案】A 【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：(3,1) 故选：A。 直接利用“車”位于点(-2,2)，得出原点的位置，进而得出答案. 此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键， 5.3600年前，中华大地的古人们就已经用甲骨文传递信息并制作最早的天气预报.以下是同学们用收 集的甲骨文里的气象文字制作成的书签，书签正面印有甲骨文里的气象文字，除正面外其他完全相 同.将这4张书签背面向上，洗匀放好.从中随机抽取2张书签恰好是“雨”和“雪”的概率是 ( 风云 雨 雪到 A B吉 c.8 D 第2页，共17页 【答案】c 【解析】先根据题意画出树状图，根据树状图可知所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运 用概率公式求解即可： 【详解】解：令“风”为A,“云”为B,“雨”为C,“雪”为D, 画树状图如下： 开始 B C D 等可能出现的情况共12种，抽到“雨”和“雪”书签的可能有2种， 所以抽到“雨”和“雪”书签的概率是号= 6俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”其意思是知 识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘假设每天“遗忘”的百分比为 x,根据“两天不练丢一半”，可列方程(). A.(1-x)2=50% B.(1+x)2=50% C.1-2x=50% D.(1-x)(1+x)=50% 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：(1-x,两天后记得的 知识为：(1-x),即可求解： 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：(1-x),两天后记得的知识为：(1一x), (1-x)2=50%, 故选：A 7.下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是() A.当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B.当物体的质量m一定时，物体的密度p与体积V之间的函数关系 C.当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D.当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 第3页，共17页 【答案】D 【解析】根据反比例函数的定义进行判断即可. 【详解】解：A由P=5则当压力F一定时，压强P与受力面积8之间成反函数关系，即A选项不 符合题意： B.由p=罗，则当物体的质量m一定时，物体的密度p与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题 意； C.由t=g,则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D由s=ah,则当三角形的一条边长a一定时，它的面积s与这条边上的高h之间成正比例函数，即 选项D符合题意， 8.己知点A&1,y1)在直线y=3x+19上，点B(&2,y2),C(&3,y3)在抛物线y=x2+4x-1上，若y1= y2=y3且x1<2<X3,则&1+x3+X3的取值范围是() A.-12<81+x2+X3<-9 B.-8<X1+82+X3<-6 C.-9<81+2+3<0 D.-6<X1+2+X<1 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据题 意求得-8<1<-5，x1+x3=一4是解题的关键.求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶 点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+ X3=-4,从而求得x1+X2+x3的取值范围. 【解答】 解：令3x+19=x2+4x-1,整理得x2+x-20=0, 解得x1=-5,2=4, ∴直线y=3x+19与抛物线的交点的横坐标为-5,4， y=x2+4x-1=(x+2)2-5, 抛物线开口向上，对称轴为直线x=一2，顶点为(-2，一5)， 把y=-5代入y=3x+19,解得x=-8, 若y1=y2=y3,×1<X3<X3,则-8<X1<-5,=-2,即x2+x3=-4, -12<X1+x2+X3<-9. 第4页，共17页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9将一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置.若∠1=27°，那么∠2的度数是 【答案】63°163度 【解析】根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠1+∠3=90°，根据平行线的性质结合对顶角相等 得出∠1+∠2=90°，进而可得出答案. 【详解】解：如图所示， B 将一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置， ∴AB/CD,∠1+∠3=90°， ·∠2=∠4， ∠3=∠4， ·∠1+∠2=90°， ∠1=27°， ÷∠2=90°-27°=63°. 10.己知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关 系，它的图象如图所示，则当电阻为42时，电流为A I/A个 8R/ 【答案】6 第5页，共17页 【解析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知 识解决实际问题.先由电流1是电阻R的反比例函数，可设1=发，结合点(8,3)在函数图象上，利用待 定系数法求出这个反比例函数的解析式：再令R=4,求出对应的I的值即可. 【详解】解：设反比例函数式=卡 把8,3)代入反比例函数式1=常 k=8×3=24, 1=是 当R=40时，I=24÷4=6, 故答案为：6. 11.若x1,x2是关于x的一元二次方程x2+18x-1=0的两个实数根，则代数式x+20x1+2x2的值 为 【答案】-35 【解析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出x12+18x1-1=0,x1+x3=-18,代 入所求代数式计算即可. 【详解】解：x1,3是关于x的一元二次方程x2+18x-1=0的两个实数根， x12+18x1-1=0,81+82=-18, ∴x12=-18x1+1, x7+20x1+2x2=-18x1+1+20x1+2x2=1+2&1+x2)=1+2×(-18)=-35. 12.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落 在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕EF交BC于点F若EF=2√13，DN=3,则 BC= M N E A- 【答案】号 第6页，共17页 【解析】解：过点F作FG 1 AD于点G,连接EB,EN, M 一G D B ~四边形ABCD是矩形， ·∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD=6,AD=BC,AD/BC, 四边形ABFG是矩形，FG=AB=6,AG=BF, 在Rt△EFG中，EF=2W13, ·EG=√EF2-FG= (213)2-62=4,即BF=AE+4, 设BC=AD=X,AE=a, DE=x-a,BF=a+4,FC=x-a-4, 由折叠性质得EB=EN,FB=FN, ~N在CD延长线上， ∴∠EDN=90°，CN=CD+DN=9, 在Rt△AEB中，EB2=a2+36, 在Rt△EDN中，EN2=(x-a2+9, EB=EN,.a2+36=--a2+9,化简得2ax=x2-27①， 在Rt△FCN中，FN2=a-a-42+81, .FB=FN, 六(a+4)2=a-a-42+81, 化简得x(2a+8-x)=81,即2ax+8x-x2=81②， 将①代入②得x-7+8x-0=81,解得x=头 第7页，共17页 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) )计算：V五-(-3.1④+)： ②化简：产÷(-) (1)解：原式=2√3-1+4. 3分 =2W3+3: 5分 回解：原式品+白 =a-1a-2 a+1a+1 =a-1a+1 a+1a-2 >a1 a-2 .3分 ,a卡-1且a≠1且a≠2,4分 ∴当a=0时，原式=或 当a=3时，原式=2.… 5分 【解析】 1.首先根据二次根式的性质、零指数幂运算法则以及负整数指数幂运算法则进行计算，然后相加即 可： 2首先将的分子、分母进行因式分解。并计算括号内的运算，再计算分式的除法运算，再结合 分式有意义的条件代入计算即可. 14.(本小题7分) 百度推出了“文心一言”A虹聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简 称B款).有关人员开展了A,B两款A1聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20 份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x<70,比较满意 70≤x<80,满意80≤x<90,非常满意x≥90)，下面给出了部分信息： 抽取对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84,86,86,87,88,89： 抽取对B款AI聊天机器人的评分数据：66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95， 97,98,98,98,98,99,100. 第8页，共17页 抽取的对A,B款AI聊天机器人的评分统计表 设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比 A88 9645% B88 87 40% 抽取的对A款设备的评分扇形统计图 比较满意 a% 满意 10% 不满意 非常满意 根据以上信息，解答下列问题： (I)上述图表中a=,b=,c=: (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）： (3)在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分， 通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】(1)15；88.5,98 3分 (2)解：A款AI聊天机器人更受用户喜爱， 4分 理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款AI聊天机器人 更受用户喜爱. 4分 (3)解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比 为号×10p%=1596, 6分 估计此次测验中对A虹聊天机器人不满意的共有 240×10%+300×15%=69(人).… 7分 【解析】 1.本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义， 熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键： 用1分别减去其他三个等级所占百分比可得ā的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义 可得c的值： 2.通过比较A,B款的评分统计表的数据解答即可： 第9页，共17页 3.由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案. 15.(本小题10分) 为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱 与B型水下机器人.已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相 等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元. (1)求A型网箱和B型机器人的单价： (2)若该海域计划共采购A,B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于 A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)解：设A型网箱的单价是x万元，则B型机器人的单价是(x+40)万元 由题意得：180=30如 xx+401 2分 解得：x=60, 3分 经检验x=60是原方程的根，且符合题意， .x+40=60+40=100, .4分 答：A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元.…5分 (2)设购买A型网箱m个，则购买B型机器人(20-)个， ,两种单元均需采购， m≥1且20-m21,… 6分 故m的取值范围为1≤m≤19的整数， :采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的 20-m≥m, 7分 解得：m≤15， 综上m的取值范围为1≤m≤15的整数， 设投资总额为w万元， 由题意得：w=60m+100(20-m)=-40m+2000, .8分 -40<0, ∴w随m的增大而减小， ,m为正整数， .当m=15,w有最小值，… .9分 第10页，共17页 此时w=-40×15+2000=1400(万元)， 答：采购A网箱15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元.…10分 【解析】 1.先设A型网箱单价，结合价格差表示出B型机器人单价，依据花费金额÷单价=数量，利用两种器 材购买数量相等列出分式方程，解方程并检验，求出两种器材单价即可， 2.先设购进A型网箱数量，表示出B型数量，根据数量之间不等关系列出一元一次不等式，求出自 变量取值范围：再根据总价公式列出总投资的一次函数关系式，利用一次函数增减性，确定自变量取 值，求出最少投资金额. 16.(本小题12分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD为⊙O的直径，BC=CD,CE 1 AB交AB的延长线于点E. D (1)求证：CE为⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为8.5，BC=8,求BE的长. 【答案】(1)证明：连接OC,AC,如下图， B .BC=CD' .∠DAC=∠EAC, .2分 OC=0A, ∴.∠DAC=∠OCA, ∴.∠EAC=∠OCA, 4分 CE⊥AB, 第11页，共17页 ·OC1CE,又OC为⊙0的半径， .CE为⊙O的切线： 6分 (2)解：BC=CD,BC=8, ..BC=CD=8, ,AD为⊙O的直径，CE1AB, LCEB=∠ACD=90°， 8分 ,四边形ABCD内接于⊙O, LCBE=∠D, △EBC∽△CDA, 10分 览器唱品 “BE=4 7 12分 【解析】 1.连接OC,AC,首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得∠DAC=∠EAC,再证明∠DAC= ∠OCA,易得∠EAC=∠OCA,进而证明OCAE,结合CE 1 AB可知OC 1 CE,即可证明结论： 2首先证明BC=CD=8,再证明△BC~△CDA,由相似三角形的性质可得恶一器代入数值并求 解，即可获得答案。 17.(本小题12分) 如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔AO,BC, 三条缆索L1,L2,L3,以及连接缆索与桥面的吊杆组成.缆索L1,L2,L3的形状均近似是抛物线，索 塔、吊杆均与桥面垂直.以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标 系.测得索塔A0=BC=200m,桥面OC=1200m,锚碇D到索塔OA的距离OD=400n,缆索L,的 最低点P到桥面Oc的距离为20m. B D (1)求缆索L1所在抛物线的表达式： 第12页，共17页 (2)同一直角坐标系中，缆索L所在抛物线的表达式为y,=6×2+bx+c ①求b,c的值： ②为了加固桥梁，计划在索塔OA左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为150.要使 两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔OA左侧需安装的吊杆 与OA之间的距离. 【答案】(1)解：根据题意可知，缆索L1所在抛物线的顶点坐标为(600,20)， ∴设缆索L1所在抛物线的解析式为y=a(K-600)2+20, 把A(0,200)代入解析式得：360000a+20=200, 2分 解得：a=200 1 缆索L1所在抛物线的表达式为y=区-600+20： …4分 (2)解：①缆索L2所在抛物线经过点A(0,200)和D(-400,0), {X6400240b士c三06分 3 解得： (b= 4 8分 (c=200 ②设两根吊杆的长度之和为w,在索塔OA左侧需安装的吊杆与OA之间的距离为，则在索塔OA 右侧需安装的吊杆与0A之间的距离为(150-)， 3 1 1600×(-m+×(-0+200+200150-n-6002+20 W =品-+ 10分 抛物线的开口向上，对称轴为直线n=0 2a31 11分 当n=四时，w最小. 答：索塔OA左侧需安装的吊杆与OA之间的距离为智m. 12分 【解析】 1.本题考查二次函数的应用.用待定系数法求得相应的函数解析式是解决本题的关键；难点是得到用 n表示的两根吊杆的长度之和的函数解析式. 易得缆索L1所在抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得 的值，即可求得抛物线的解析式： 2.①把点A、D的坐标代入所给的抛物线解析式即可求得b和c的值： 第13页，共17页 ②两根吊杆的长度之和为w,在索塔OA左侧需安装的吊杆与OA之间的距离为m,用n表示出w, 进而根据二次函数的性质可得n为何值时w最小. 18.(本小题13分) 问题提出：如图(I),E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF,∠AEF= LABC=a(a≥90)，AF交CD于点G,探究∠GCF与a的数量关系. (1) (2) (3) 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图(2)，当a=90时，直接写出∠GCF的大小： (2)再探究一般情形，如图(1)，求LGCF与的数量关系. ()问思拓展：将图（特殊化，如图3）当a=120时，若器=片求器的值. 【答案】(1)延长BC过点F作HIBC, .∠BAE+∠AEB=90°， ∠FEIH+∠AEB=90°， ∴.∠BAE=∠FEH, 在△EBA和△FE中 (LABE=∠EHF ∠BAE=∠FEH (AE=EF ,4ABE≌△EF, .'.AB=EH, BE=FH, .'.BC=EH, ∴BE=CH=FH, ∴.∠GCF=FCH=45°. 第14页，共17页 B E 故答案为：45°， …2分 (2)解：在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE. ∠ABC+∠BAE+∠AEB=∠AEF+∠FEC+∠AEB=180°， ∠ABC=∠AEF, ·∠EAN=∠FEC. .AE=EF, aANE兰△ECF. 4分 ∴∠ANE=∠ECF, .AB=BC, ..BN=BE :∠EBN=Ot, ÷∠BNE=90°-a. ∴LGCF=∠ECF-∠BCD=∠ANE-∠BCD =(90°+5c）-(180°-)=a-90°. .8分 D G B (3)解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P,设菱形的边长为3m, DG 1 CG2 ..DG=m,CG=2m. 在Rt*ADP中， ∠ADC=∠ABC=120, 第15页，共17页 ∴.∠ADP=60°， PD=m.AP=3V3m. .10分 3 a=120°，由(2)知，∠GCP=号a-90°=90°. .'∠AGP=∠FGC, ∴.APGAFCG. 岩器 0m-坐 CF 2m C℉=E, 5m, 11分 在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE,作BO I NE于点O. 由(2)知，△ANE兰△ECF, .'.NE CF, .'AB=BC, '.BN =BE.OE=EF =EN-m. .12分 ,∠ABC=120°， ∴，∠BNE=∠BEN=30°， co30器 ..BE=m. 9 .CE=5 13分 B E 第16页，共17页 【解析】 1.延长BC过点F作FH 1 BC,证明△ABE兰△BHF即可得出结论. 2.在AB上截取AN,使AN=EC,连接NE,证明△ANE≌△ECF,通过边和角的关系即可证明. 3.过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P,设菱形的边长为3m,由(2)知，∠GCF=a-90°= 90°，通过相似求出CF=m,即可解出. 5 第17页，共17页