精品解析：2026年江苏省无锡市惠山区九年级五月检测数学试题

九年级数学试题 2026.5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故A不符合要求； B、是整数，属于有理数，故B不符合要求； C、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C符合要求； D、是分数，属于有理数，故D不符合要求． 2. 下列各组代数式中，属于同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 3. 有一组数据有63个，最大值为93，最小值为21，若组距定为7，则组数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求组数，可根据数据的最大最小值求得二者的差值，再除以组距，若结果不是整数，那么得到的结果要进一，据此求解即可． 【详解】解：， ， ∴组数为， 故选：C． 4. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是a；乙射击成绩的平均数是8环，方差是b，若甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a与b的大小关系正确的是（ ） A. a小于b B. a等于b C. a大于b D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，根据该性质即可比较和的大小． 【详解】解：∵甲射击成绩比乙射击成绩更稳定， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴小于． 5. 若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的应用，利用圆锥侧面积公式，代入已知条件即可求解母线长． 【详解】解：设圆锥母线长为，圆锥侧面积公式为， ∵圆锥底面半径，侧面积， ∴代入得 ，约去解得， 即圆锥母线长为． 6. 下列说法正确的是（    ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理，根据确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵不在同一直线上的三点确定一个圆，选项A未排除共线情况，故A错误； ∵三角形的外心是外接圆圆心，到顶点的距离相等，但到三边的距离不一定相等，故B错误； ∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但选项未限定弦非直径，故C错误； ∵ 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦（垂径定理），故D正确． 故选D 7. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到，而，再利用三角形一个外角等于不相邻两内角之和，即可求解． 【详解】解：如图， ∵直尺的两条边平行，即， ∴， ∵和是对顶角， ∴， ∵是等腰直角三角尺的一个锐角， ∴， 又∵是的一个外角， 所以． 8. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得：． 故选：D． 10. 在双减背景下，某校研究学习效率模型，将产出设为，投入设为，定义了增效函数：对于函数，若其图象上任意两点，（）都满足，则称该函数为增效函数．给出下列关于增效函数的命题： ①一次函数是增效函数； ②若正比例函数是增效函数，则； ③反比例函数（）是增效函数； ④若，则二次函数是增效函数． 其中真命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据增效函数的定义，对每个命题逐一验证，将变形后，结合函数性质判断是否恒成立即可。 【详解】解：增效函数定义为：对任意，恒有，即恒成立。 ①对于， ， ，恒成立，故①正确； 命题②：若是增效函数，则， ， ∴， 取，， 则，不满足条件， ∴即使也不是增效函数，②错误； ③对于，取，，， ，即，不满足定义，故③错误； ④∵， ∴ 整理得：， 令，开口向上，最小值为，若对任意，恒成立，则需，即，解得，符合命题条件，故④正确． 综上，①④正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 年，无锡天春假期间，鼋头渚、惠山古镇、梅园、动物园、蠡园家重点景区共接待游客约人次．其中数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，原数绝对值大于时，为正整数，的绝对值等于原数变成时小数点移动的位数． 【详解】解：的小数点向左移动位得到， ∴， ∴． 12. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13. 分解因式：=__________ 【答案】 【解析】 【详解】解： 故答案为： 14. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进10米所上升的高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设上升的高度为米， 上山直道的坡度为， 水平距离为米， 由勾股定理得：， 整理得， 解得（负值已舍去）． 15. 如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值． 【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为 平移后的抛物线经过原点， ， 解得，． 16. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A、B、D均在格点上，连接与网格线交于点C，连接与网格线交于点E，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，连接，由图可知：，，则有，然后可得，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 由图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，则，，结合点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O，求出，则，，待定系数法求出反比例函数为，设直线的解析式为，联立，计算即可得出结果． 【详解】解：设点的坐标为， ∵的两条边分别与坐标轴平行，，， ∴，， ∵点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O， ∴， 解得：， ∴，， 将代入反比例函数可得，即， ∴反比例函数为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，可得， 解得：或， 设，，且，则， ∴， ∴． 18. 如图，在矩形中，，点O是边的中点，连接．将绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，线段与矩形的某一边相交于点M． （1）若，逆时针旋转时，线段________；（2）在旋转过程中，当点F落在的垂直平分线上时，线段________．（用含有x的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】(1)首先，按照要求作出图形，由，，得，再由绕着点O逆时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，得，，再证得四边形是矩形，得，可得； (2)根据题意作的垂直平分线分别交于，交于，交于，由，得，然后，由是的垂直平分线，得，再证得，得，即点P是的中点，可证得是的中位线，得，进而证得四边形是矩形，得，再证得四边形为矩形， 得， ，然后，再分两种情况进行分类讨论：①如图2，连接并延长交于Q，过M作于K，先证得四边形是矩形，得，再证得，得，即， 得， 进而得， 最后，得；②如图3，连接，解题思路同理①可得的长． 【详解】(1)解：如图1， ∵，， ∴， ∵绕着点O逆时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G， ∴，， ∴， ∵点O是边的中点， ∴点O是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； (2)解：作的垂直平分线分别交于，交于，交于， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点P是的中点， 又∵点O是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ①如图2，连接并延长交于Q，过M作于K， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵绕着点O逆时针旋转一定的角度得到， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接， ∵， ∴， ∵绕着点O逆时针旋转一定的角度得到， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】(1)根据题意作出对应图形，再根据旋转的性质证得四边形是矩形，得；(2)根据题意做出符合要求的两种图形，进行分类讨论，再根据旋转的性质分别证得，是本题解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴ ∴或， 解得：， 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 21. 如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，过点作，由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示． 请你根据如图信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是 ； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？ 【答案】（1）100； （2）见解析 （3）估计选择“围棋”社团课的学生约有名． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据参加“健身操”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数，用选择“羽毛球”社团课的学生人数除以总人数乘即可得到结果； （2）用总人数减去参加其他各项的人数即可得到参加“插花”的人数，从而可补全条形统计图； （3）先求出样本中参加“围棋”社团课的百分比，再用七年级人数乘以这个百分比即可得到结论． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为（名）， “羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：参加“插花”的人数有（名）， 补全条形统计图如下， ； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计选择“围棋”社团课的学生约有名． 23. 当下人工智能技术飞速发展，某兴趣小组为探究不同大模型的应用特性，采用抽签方式选定研究方向，将4张卡片背面朝上洗匀后摆放，卡片除编号与内容外其余完全相同，卡片信息如下： （1）若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《2026十大技术趋势》的概率为________； （2）若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画树状图，找出所有等可能的结果数，和满足要求的结果数，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：从4张卡片中随机抽取一张，共有4种等可能情况，其中抽到《2026十大技术趋势》的情况只有1种，故概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，抽到A《人工智能：现代方法》和D《算力基础设施白皮书》的结果有2种， 所以抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率为． 24. 如图，已知梯形，，． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的垂线l交于点E，在l上确定点F，使得点F到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则________．（如需画草图，请使用图②） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图过点B作的垂线l，再利用尺规作图作出的角平分线，与直线l交于点F； （2）证明四边形是矩形，求得，，在中，解直角三角形求得，证明是等腰直角三角形，求得，在中，由勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示： 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，解得， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 25. 如图，是的内接三角形，弦于点E，连接并延长与相交于点G． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角、同弧圆周角相等，利用等角余角相等，即可解答； （2）根据相等圆周角对应等弧，推出弦，由半径得直径，结合余弦值求出，再用勾股定理算出，即可得到长度． 【小问1详解】 解：连接． 是 的直径， ， ． ， ∴， ． 又 ， ∴， ． 【小问2详解】 解：连接， ， 是直径， ． 由（1）知：， ， ． 在 中，， ， ． 在 中，由勾股定理： ， ， ， ． ． 26. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． 【小问2详解】 根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数与轴交于点，与轴交于点（点在点的左边），点在二次函数第三象限的图象上，横坐标为， 为二次函数图象上异于的两点，横坐标分别为、，连接、、． （1）求二次函数的表达式； （2）证明：为直角三角形； （3）连接，与直线、直线分别交线段于点，若，求的值． 【答案】（1） （2）证明：根据题意，得 ， ， ∴ 可得：， ∴ 是直角三角形，且； （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可； （3）分别求出直线、直线的解析式，判断出，则，过点M作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点P，求出，，再由，得到，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：将代入，得： ， 解得：， 展开得， 即二次函数表达式为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 过点M作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点P， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴, ∴， ∴， 解得或或或， ∵M点在第三象限， ∴， ∴或． 28. 如图，边长为1的正方形中，点E为边上一动点（不与A、D重合），连接，将沿翻折到，连接并延长，交射线于点G． （1）若点G与点B重合，求的长； （2）若，，求y与x的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，，从而得出为等腰直角三角形，即可得出结果； （2）分两种情况：当点在边上，即时，当点在的延长线上，即时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图： ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当点在边上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点， 同理可得：,，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 2026.5 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列各组代数式中，属于同类项的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 有一组数据有63个，最大值为93，最小值为21，若组距定为7，则组数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是a；乙射击成绩的平均数是8环，方差是b，若甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a与b的大小关系正确的是（ ） A. a小于b B. a等于b C. a大于b D. 无法确定 5. 若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（    ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 7. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 在双减背景下，某校研究学习效率模型，将产出设为，投入设为，定义了增效函数：对于函数，若其图象上任意两点，（）都满足，则称该函数为增效函数．给出下列关于增效函数的命题： ①一次函数是增效函数； ②若正比例函数是增效函数，则； ③反比例函数（）是增效函数； ④若，则二次函数是增效函数． 其中真命题是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 年，无锡天春假期间，鼋头渚、惠山古镇、梅园、动物园、蠡园家重点景区共接待游客约人次．其中数据用科学记数法表示为________． 12. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______ 13. 分解因式：=__________ 14. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进10米所上升的高度为________米． 15. 如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________． 16. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A、B、D均在格点上，连接与网格线交于点C，连接与网格线交于点E，则______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若，，则的长为______． 18. 如图，在矩形中，，点O是边的中点，连接．将绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，线段与矩形的某一边相交于点M． （1）若，逆时针旋转时，线段________；（2）在旋转过程中，当点F落在的垂直平分线上时，线段________．（用含有x的代数式表示） 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． （1）求证：； （2）若，求的面积． 22. 为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示． 请你根据如图信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是 ； （2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （3）若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？ 23. 当下人工智能技术飞速发展，某兴趣小组为探究不同大模型的应用特性，采用抽签方式选定研究方向，将4张卡片背面朝上洗匀后摆放，卡片除编号与内容外其余完全相同，卡片信息如下： （1）若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《2026十大技术趋势》的概率为________； （2）若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率． 24. 如图，已知梯形，，． （1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的垂线l交于点E，在l上确定点F，使得点F到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则________．（如需画草图，请使用图②） 25. 如图，是的内接三角形，弦于点E，连接并延长与相交于点G． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 26. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数与轴交于点，与轴交于点（点在点的左边），点在二次函数第三象限的图象上，横坐标为， 为二次函数图象上异于的两点，横坐标分别为、，连接、、． （1）求二次函数的表达式； （2）证明：为直角三角形； （3）连接，与直线、直线分别交线段于点，若，求的值． 28. 如图，边长为1的正方形中，点E为边上一动点（不与A、D重合），连接，将沿翻折到，连接并延长，交射线于点G． （1）若点G与点B重合，求的长； （2）若，，求y与x的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $