精品解析：2026年江苏省无锡市二泉中学数学二模试卷

2025 ~ 2026学年度初三第二次学情评估 初三年级 数学学科 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠2 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 18和20 B. 18和21 C. 20和18 D. 20和21 5. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 一个正n边形的每个内角都是，则该正多边形的边数为（ ） A. 11 B. 12 C. 9 D. 10 7. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 8. 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，盈三．问人数、羊价各几何厂题意是：若干人共同出资买羊，每人出5文钱，则差45文钱；每人出7文钱，则多3文钱，求人数和羊价各是多少？若设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B．双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D．连接EF，若OD：OB＝2：3．则△BEF的面积为（　　） A. B. 2 C. D. 3 10. 在平面直角坐标系中，若某函数图像上存在两点关于原点对称，则把该函数叫做“函数”，这一对对称点叫做该函数的“点”．下列结论： ①若一次函数是“函数”，则其图像经过第二、四象限； ②函数一定是“函数”； ③若二次函数是“函数”，则其图像上只存在一对“点”； ④若关于的二次函数是“函数”，点，两点为该函数“点”，则．其中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 11. 2025年无锡市参加中考的人数约为64000人，这个数据用科学记数法可表示为_________． 12. 分解因式：8－2x2＝_____． 13. 已知：和是同类项，则______． 14. 命题“内错角相等”的逆命题是__命题．（填“真”或“假”） 15. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 16. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 17. 如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则___________． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，，D是的中点，M是边上的动点，作，交于点N，延长到点P，使得，则________；当面积最大时，的长等于________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 先化简：的值，再从，0，3中选择一个合适的a的值代入求值． 21. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证： （2）若的面积为5，求的面积． 22. 在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 23. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 24. 如图，在中，，． （1）试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求线段的长． 25. 如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 26. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 27. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线上的一点，满足，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　． （2）类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 ~ 2026学年度初三第二次学情评估 初三年级 数学学科 （时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相反数的概念，理解概念即可解答. 【详解】解：的相反数是2. 故选：C. 2. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠2 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：2x−40， 解得：x2. 故选：B. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 4. 2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 18和20 B. 18和21 C. 20和18 D. 20和21 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，解题思路为：先将数据从小到大排序，再根据定义分别求出众数和中位数即可得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序得： ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中18出现3次，次数最多 ∴众数为18 ∵这组数据共10个，为偶数个，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为第5个和第6个数，即20和20 ∴中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是18和20． 5. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 6. 一个正n边形的每个内角都是，则该正多边形的边数为（ ） A. 11 B. 12 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， ∵边形的内角和为，正边形每个内角都为， ∴， 解得． 7. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 8. 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，盈三．问人数、羊价各几何厂题意是：若干人共同出资买羊，每人出5文钱，则差45文钱；每人出7文钱，则多3文钱，求人数和羊价各是多少？若设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设买羊人数为x人，根据羊的价格相同，列出方程即可． 【详解】解：设买羊人数为x人，由题意，得：； 故选B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 9. 如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B．双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D．连接EF，若OD：OB＝2：3．则△BEF的面积为（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m， n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE•BF＝mn＝． 【详解】解：设D（2m，2n）， ∵OD：OB＝2：3， ∴A（3m，0），C（0，3n）， ∴B（3m，3n）， ∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B， ∴9＝3m•3n， ∴mn＝1， ∵双曲线y＝（x＞0）经过点D， ∴k＝4mn， ∴双曲线y＝（x＞0）， ∴E（3m，n），F（m，3n）， ∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m， ∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查反比例函数的性质，熟悉掌握反比例函数的性质、数形结合是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，若某函数图像上存在两点关于原点对称，则把该函数叫做“函数”，这一对对称点叫做该函数的“点”．下列结论： ①若一次函数是“函数”，则其图像经过第二、四象限； ②函数一定是“函数”； ③若二次函数是“函数”，则其图像上只存在一对“点”； ④若关于的二次函数是“函数”，点，两点为该函数“点”，则．其中，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了“函数”与“点”的定义，点关于原点对称的点的特点，解决本题的关键是读懂题意理解“函数”与“点”的定义． 根据“函数”与“点”的定义，逐一验证四个结论，通过代入对称点坐标到函数解析式，求解参数或判断是否存在符合条件的点来确定结论正误． 【详解】解：①对于一次函数， 设其图像上存在关于原点对称的点与， ∵两点均在函数图像上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子，消去得：， 解得，即， 又∵一次函数一次项系数不能为0，即， ∴， 此时函数解析式为，其图像经过第二、四象限，故①正确． ②对于函数，假设存在关于原点对称的点与在其图像上， ∵两点均在函数图像上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子得：，化简得，矛盾， ∴不存在这样的点，该函数不是“函数”，故②错误． ③对于二次函数，设其图像上存在关于原点对称的点与， ∵两点均在函数图像上， ∴， 将第一个式子代入第二个式子得：， 化简得，即， 解得或，对应点为与，仅一对“点”，故③正确． ④∵与是“点”， ∴， ∵两点均在二次函数图像上， ∴， 两式相减得：，解得， 将代入，得，化简得，故④正确． 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 11. 2025年无锡市参加中考的人数约为64000人，这个数据用科学记数法可表示为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 分解因式：8－2x2＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式2后再利用平方差公式因式分解即可 【详解】 故答案为： 考点：分解因式. 13. 已知：和是同类项，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”可得，，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 解得：， ∴． 14. 命题“内错角相等”的逆命题是__命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】把“内错角相等”的题设与结论互换位置得到它的逆命题，通过举反例可以得到答案． 【详解】解：“内错角相等”的逆命题是：相等的两个角是内错角． 比如两个对顶角相等，但对顶角不是内错角，所以这个逆命题是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查的命题的真假，掌握举反例判断命题是假命题是解题关键． 15. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 16. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 17. 如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，由勾股定理求出，由翻折变换的性质得出，因此，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，三角形外角性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，余弦定义，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，，D是的中点，M是边上的动点，作，交于点N，延长到点P，使得，则________；当面积最大时，的长等于________． 【答案】 ①. ##0.75 ②. ## 【解析】 【分析】先通过等腰直角三角形的性质得出相关线段和角度关系，再构造全等三角形证明和，利用三角形的面积公式结合已知条件可得到，接着设未知数，利用勾股定理得到相关线段的表达式，再根据三角形面积公式表示出的面积，最后通过二次函数的性质求出面积最大时的长度． 【详解】解：如图，连接，过点N作于点H，过点B作交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F， ∵等腰直角三角形中，，，D是的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 即， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式应用及二次函数最值问题． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴． 20. 先化简：的值，再从，0，3中选择一个合适的a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件取合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件可知且， ∴， 此时原式． 21. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证： （2）若的面积为5，求的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【解析】 【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明； （2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可． 【详解】证明：（1）∵D是BC的中点， ∴BD=CD 在△ABD和△CED中， 所以； (2)∵在△ABC中，D 是BC的中点 ∴ ∵ ． 答：三角形ACE的面积为10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22. 在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握． （1）利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求概率． 【小问1详解】 解：∵①；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀， ∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图，如图： 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率． 23. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135；图见解析 （2）450人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，理清各部分数量与总数之间的关系． （1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图； （2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数； （3）根据统计图信息分析拥堵原因并提出合理建议． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段12：00-12：10骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示： 故答案为：36；135； 【小问2详解】 解：估计用私家车接送孩子的家长人数为人； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵； 由条形统计图可知，在时间段12：00-12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00-12：10． 24. 如图，在中，，． （1）试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为顶点，为一边，作，与延长线交于点； （2）过点作于，根据等腰三角形三线合一得到，在中，由，结合勾股定理列方程即可求得的长，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到的长，最后根据线段和差关系即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示，作，与延长线交于点，即为所求； ，， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于， ， ， 设， 在中，， ， 根据勾股定理得，， 即， 解得或（负值，舍去）， 即， ， ， ，即， 解得， ． 25. 如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，． （1）求的度数； （2）若，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据求解． 【小问1详解】 解： 如图，连接OD， 为的切线， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确做出辅助线是解题关键． 26. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【小问1详解】 解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 27. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）点Q是抛物线上的一点，满足，请求出点Q的坐标； （3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，过点作轴于点，利用求解；当点Q是抛物线在第一象限上的一点，利用，求出直线的表达式，联立抛物线，即可得出答案； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质可知对角线的交点的横坐标相等，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， 当点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； 当点Q是抛物线在第一象限上的一点， 如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 则可设直线的解析式为，代入， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 综上可知，或； 【小问3详解】 解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 28. 在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　． （2）类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 【答案】（1）1，（2），；45°（3）， 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题． （2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题． （3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题． ②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O． ， ， ，， ， ，， ， ， ，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是， 故答案为1，． （2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E． ， ， ， ， ，， ， ， 直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为． （3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A，D，C，B四点共圆， ，， ， ，设，则，， c． 如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $