精品解析：2025年江苏省无锡市惠山区数学中考二模试题

2024—2025学年春学期九年级期中考试 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A 5 B. ﹣5 C. D. 2. 一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：35，40，32，40，37，这组数据的中位数是（ ） A. 32 B. 35 C. 37 D. 40 6. 下列AI软件的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于命题“若，则”，下面，值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 《九章算术》中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重x两，燕重y两，根据题意列出方程组，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，已知，，点为中点，以为边向的内部作正方形，为直线上一点，连结，将绕点顺时针旋转得，连接，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 四个数，，，中，最小的数是________． 12. 因式分解：_________． 13. 截至4月12日17时38分，2025年度我国电影大盘票房（含预售）突破250亿元，位居全球第一，其中《哪吒之魔童闹海》以的票房占比领跑．数据250亿用科学记数法表示为___________． 14. 某兴趣小组对二维码开展数学实验．如图，二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动，由此可以估计黑色部分的面积约为__________． 15. 如图，是的半径，弦于点，已知，，则弦________． 16. 写出一个当自变量时，y随x的增大而增大的反比例函数表达式____________． 17. 如图，矩形中，，为上靠近点的三等分点，为上一点，，，则_________． 18. 一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是________；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解不等式组：，并写出该不等式组的正整数解． 20. 阅读：下面是小琳同学计算的解题过程． 解： 第1步 第2步 第3步 思考：上述过程从第________步开始出现错误？ 任务：请你帮小琳同学写出正确解题过程． 21. 如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 在物理学上有一个著名的随机实验叫做伽尔顿板实验，如图在一块垂直的木板上分三层钉了6个铁钉，小球从入口处投入，每层都会碰到铁钉后等可能的向左或向右偏转下落，最后落入底部、、、共4个竖直的管道中． （1）小球从入口处投入，碰到②号铁钉的概率是__________； （2）小球从入口处投入，求小球落入管道的概率．（请用“画材状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 在某校初三体育模拟测试中（满分为40分），抽取部分学生体育模拟测试成绩，绘制了如下不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）这次抽样一共抽取了_______名学生，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“37分”所对应的圆心角为______度； （3）已知该校初三年级共有1100名学生，根据抽样结果估计该校初三年级这次体育模拟测试中成绩满分的学生人数． 24. “花灯映月圆，万家共此时”．无锡元宵分会场每天吸引着大量市民前来观赏游玩．小新想用无人机测量花灯的高度（如图），将无人机垂直上升到距地面的点处，测得花灯底部端点的俯角为，再将无人机沿着与地面夹角方向飞行至点处，测得花灯顶部端点的仰角为，若点、、、、均在同一竖直平面内，求花灯的高度．（结果保留根号） 25. 如图，在中，． （1）尺规作图：请在图1的线段上找一点，使得到的距离等于，以为圆心，为半径作；（不写作法，保留作图痕迹） （2）设交于点，延长交于点，连接，是上的动点（端点除外），过点作交于点，若至的距离等于5，，，．在点运动过程中，关于的函数表达式为____________．（如需画草图，请使用备用图） 26. 宇树人形机器人亮相春晚后爆火，带动了整个机器人行业的畅销．某公司计划销售甲、乙两款机器人，甲款机器人进价比乙款机器人高万元/件．现计划用160万元购进甲款机器人，150万元购进乙款机器人，且甲款机器人数量与乙款机器人数量之比为． （1）该公司计划购进甲、乙两款机器人各多少件？ （2）通过市场调研，甲款机器人的利润率是，乙款机器人的利润率是，该公司决定在原计划的基础上更改购进策略；减少甲款机器人的购进数量，增加乙款机器人的购进数量，且乙款机器人增加的数量是甲款机器人减少的数量的3倍，用于购进这两款机器人的总资金不超过360万元．更改购进策略后，该公司怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润． 27. 已知二次函数：最小值为，其图象与轴交于和两点，与一次函数的图象交于、两点（在左侧），过点作轴的平行线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作的垂线，垂足为，求证：； （3）取中点，过点作的垂线，垂足为，与二次函数的图象交于点，连接，试探究和的数量关系． 28. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是_________； （2）如图2，中，，，，为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； （3）如图3，四边形中，，，，点在上，，当时，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年春学期九年级期中考试 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由多边形的外角和为360°结合每个外角的度数，即可求出n值，此题得解． 【详解】∵一个正n边形的每一个外角都是36°， ∴n=360°÷36°=10， 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的外角，熟记多边形的外角和为360°是解题的关键. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 5. 已知一组数据：35，40，32，40，37，这组数据的中位数是（ ） A. 32 B. 35 C. 37 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，熟记中位数的定义是解本题的关键． 根据中位数的定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数，据此解答即可． 【详解】解：∵将数据从小到达排列为：，，，，， 处在中间数为， 故中位数为， 故选：C． 6. 下列AI软件的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 7. 对于命题“若，则”，下面，的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，命题真假的判定，掌握不等式的性质是关键． 根据不等式的性质，代入计算判定即可． 【详解】解：A、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； B、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； C、当时， ，则，即，原命题为假，符合题意； D、当时， ，则，即，原命题为真，不符合题意； 故选：C． 8. 《九章算术》中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重x两，燕重y两，根据题意列出方程组，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题关键 根据题意可得等量关系：①5只雀的重量+6只燕的重量两，②4只雀的重量只燕的重量只雀的重量只燕的重量，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每只雀重两，每只燕重 两，由题意得： 故选D 9. 若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，点关于轴对称的特点，求不等式的解集，掌握分比例函数图象的性质是关键． 设反比例函数的图象上的点为，则关于轴的对称点为，代入一次函数，根据由两个不同的点到，由此即可求解． 【详解】解：设反比例函数的图象上的点为， ∴关于轴的对称点为， ∴， 整理得，， ∵有两个不同的点， ∴， ∴， 解得，或， 故选：C ． 10. 如图，已知，，点为中点，以为边向的内部作正方形，为直线上一点，连结，将绕点顺时针旋转得，连接，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，连接并延长，作关于的对称点，连接，过点作交的延长线于点， 先根据旋转的性质证明得出点的轨迹是在直线上运动，且，证明得出，进而根据轴对称的性质可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，连接并延长，作关于的对称点，连接，过点作交的延长线于点， 已知，，点为中点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得 ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵为直线上一点， ∴点在直线上运动， 又∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵，关于的对称点， ∴ ∴ ∴ ∴当在上时，取得最小值， ∵，关于的对称点， ∴，， 又∵，则 ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，， ∴， 即的最小值是 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 四个数，，，中，最小的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，掌握其比较方法是关键． 根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是， 故答案为： ． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键． 13. 截至4月12日17时38分，2025年度我国电影大盘票房（含预售）突破250亿元，位居全球第一，其中《哪吒之魔童闹海》以的票房占比领跑．数据250亿用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握其表示形式，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值；由此即可求解． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 14. 某兴趣小组对二维码开展数学实验．如图，二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动，由此可以估计黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估算概率，掌握概率的计算是关键． 根据题意得到正方形的面积为，由频率估算概率的计算方法即可求解． 【详解】解：二维码区域的大正方形边长为2， ∴正方形的面积为， ∵“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动， ∴黑色区域的面积为， 故答案为： ． 15. 如图，是的半径，弦于点，已知，，则弦________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．利用垂径定理得出，利用勾股定理得出长度，即可得到答案． 详解】解： 如图所示，根据垂径定理可得： ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：8． 16. 写出一个当自变量时，y随x的增大而增大的反比例函数表达式____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当时，在每个象限内，y随x的增大而增大，进行解答即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∴当自变量时，y随x的增大而增大的反比例函数表达式为． 故答案为：．（答案不唯一） 17. 如图，矩形中，，为上靠近点的三等分点，为上一点，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，设，则，则，有点四点共圆，点四点共圆，，则，，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵为上靠近点的三等分点， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形是矩形，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，则， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆，点四点共圆， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形，则， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆的基础知识，掌握矩形的性质，同弧所对圆周角相等是关键． 18. 一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是________；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为________． 【答案】 ①. 8 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据题意得到，由此即可可得满足条件的“智惠数”中最大的数，设，（是正整数），由此列举判定即可． 【详解】解：，叫做“智惠数”，若， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值， ∵， ∴当时，， ∴满足条件的“智惠数”中最大的数是； 已知， ∴，， ∴是完全平方数， 能被整除， 设，（是正整数）， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴符合条件的：或，对应的“智惠数”的值为或； 故答案为：①；②或 ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解不等式组：，并写出该不等式组的正整数解． 【答案】，正整数解有1、2、3、4、5 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解∶解不等式，得 解不等式，得 所以不等式组的解集为 正整数解有1、2、3、4、5． 20. 阅读：下面是小琳同学计算的解题过程． 解： 第1步 第2步 第3步 思考：上述过程从第________步开始出现错误？ 任务：请你帮小琳同学写出正确的解题过程． 【答案】思考：2；任务：见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法运算，根据分式的加法运算，先通分，再进行计算即可求解． 【详解】解：上述过程从第2步开始出现错误， 正确的解题过程： 21. 如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由得，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 22. 在物理学上有一个著名的随机实验叫做伽尔顿板实验，如图在一块垂直的木板上分三层钉了6个铁钉，小球从入口处投入，每层都会碰到铁钉后等可能的向左或向右偏转下落，最后落入底部、、、共4个竖直的管道中． （1）小球从入口处投入，碰到②号铁钉的概率是__________； （2）小球从入口处投入，求小球落入管道的概率．（请用“画材状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）因为共有两种等可能结果，其中小球碰到②号铁钉的结果有1种，再由概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中小球管道的结果数有3种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵小球从入口落下的时候只有碰到①②号铁钉和①③号铁钉两种情况，且两种情况的概率是相同的， ∴碰到②号铁钉的概率是， 故答案为；； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有种等可能性的结果数，其中小球管道的结果数有3种， ∴小球落入管道概率为。 23. 在某校初三体育模拟测试中（满分为40分），抽取部分学生的体育模拟测试成绩，绘制了如下不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）这次抽样一共抽取了_______名学生，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“37分”所对应的圆心角为______度； （3）已知该校初三年级共有1100名学生，根据抽样结果估计该校初三年级这次体育模拟测试中成绩满分的学生人数． 【答案】（1）40，补全条形统计图见解析 （2）45 （3）估计该校初三年级这次体育模拟测试中成绩满分的学生约有550名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据分的人数为占比为，结合扇形统计图，求得抽取的学生人数，进而求得“36分”的人数，补全统计图， （2）用“37分”的占比乘以，即可求解． （3）用，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为： “36分”的人数为： 【小问2详解】 解：“37分”所对应的圆心角为， 故答案为：． 【小问3详解】 答:估计该校初三年级这次体育模拟测试中成绩满分的学生约有 550 名 24. “花灯映月圆，万家共此时”．无锡元宵分会场每天吸引着大量市民前来观赏游玩．小新想用无人机测量花灯的高度（如图），将无人机垂直上升到距地面的点处，测得花灯底部端点的俯角为，再将无人机沿着与地面夹角方向飞行至点处，测得花灯顶部端点的仰角为，若点、、、、均在同一竖直平面内，求花灯的高度．（结果保留根号） 【答案】花灯的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算，数形结合分析是关键． 设过点与地面平行的线分别交、于点、，则是等腰直角三角形，则，，，继而求得，，，，由此即可求解． 【详解】解：设过点与地面平行的线分别交、于点、， ∵点处，测得花灯底部端点的俯角为， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵将无人机沿着与地面夹角方向飞行至点处，即，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点处，测得花灯顶部端点的仰角为，即，， ∴， ∴ 答：花灯的高度为． 25. 如图，在中，． （1）尺规作图：请在图1的线段上找一点，使得到的距离等于，以为圆心，为半径作；（不写作法，保留作图痕迹） （2）设交于点，延长交于点，连接，是上的动点（端点除外），过点作交于点，若至的距离等于5，，，．在点运动过程中，关于的函数表达式为____________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的判定可得，点在的平分线上，作的平分线与交点即为点，再以点O为圆心，为半径即可作； （2）记与交点为点，连接，过点作于点，由题意得的半径为5，则，由圆周角定理结合勾股定理先求出，有面积法求出，再由勾股定理得到，即可求解，由求出，再由，即可建立起函数关系式． 【小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 解：记与交点为点，连接，过点作于点， 由题意得的半径为5，则， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，尺规作图角平分线等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 26. 宇树人形机器人亮相春晚后爆火，带动了整个机器人行业的畅销．某公司计划销售甲、乙两款机器人，甲款机器人进价比乙款机器人高万元/件．现计划用160万元购进甲款机器人，150万元购进乙款机器人，且甲款机器人数量与乙款机器人数量之比为． （1）该公司计划购进甲、乙两款机器人各多少件？ （2）通过市场调研，甲款机器人的利润率是，乙款机器人的利润率是，该公司决定在原计划的基础上更改购进策略；减少甲款机器人的购进数量，增加乙款机器人的购进数量，且乙款机器人增加的数量是甲款机器人减少的数量的3倍，用于购进这两款机器人的总资金不超过360万元．更改购进策略后，该公司怎样进货，使全部销售后获得的总利润最大？并求出最大总利润． 【答案】（1）购进甲款机器人40件，乙款机器人60件． （2）应购进甲款机器人26件，乙款机器人102件，获得的总利润最大，最大总利润是万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）依据甲、乙两款机器人数量比，设购进甲款机器人件，乙款机器人件，由进价差为万元/件，结合“单价总价数量”，列出方程，求解方程，检验后，算出，，即可． ．（2）设甲减少件，乙增加件，根据原计划算出甲、乙进价，依据总资金不超360万元列不等式，求出的取值范围，根据利润率列出总利润函数，分析其单调性，结合的范围求最大利润及对应进货量． 【小问1详解】 解：设购进甲款机器人件，乙款机器人件，由题意，得 解得 经检验，是所列方程的解 ∴，， 答：购进甲款机器人40件，乙款机器人60件． 【小问2详解】 解：设甲款机器人减少件，则乙款机器人增加件． 原计划购进甲款机器人件，购进乙款机器人件 由题意，得， 解得， 设总利润为元， ∵， ∴随的增大而增大 ∴时，的值最大，最大值为 ∴， 答：应购进甲款机器人26件，乙款机器人102件，获得的总利润最大，最大总利润是万元． 27. 已知二次函数：的最小值为，其图象与轴交于和两点，与一次函数的图象交于、两点（在左侧），过点作轴的平行线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作的垂线，垂足为，求证：； （3）取中点，过点作的垂线，垂足为，与二次函数的图象交于点，连接，试探究和的数量关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，一元二次方程根与系数的关系，两点距离公式，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意设抛物线解析式为，根据最小值为，得出，即可求解； （2）设 ，则，根据勾股定理求得，即可得证； （3）联立抛物线与一次函数解析式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而分别表示出，勾股定理求得，即可得证． 【小问1详解】 解：抛物线图象与轴交于和两点，设抛物线解析式为 ∵最小值为， ∴ 解得： ∴抛物线表达式为： 【小问2详解】 解：如图 设 ，则 ， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 设，， 联立 ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴即，则即 ∵是和抛物线交点， ∴即 ∴ ∴ ∴ 28. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是_________； （2）如图2，中，，，，为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； （3）如图3，四边形中，，，，点在上，，当时，请直接写出的最大值． 【答案】（1）垂直平分 （2）四边形是筝形，此时，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； 【小问2详解】 解：四边形是筝形，此时，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$