6.6.2 柱、锥、台的体积+6.6.3 球的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

6.6.2 柱、锥、台的体积 6.6.3 球的表面积和体积 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，体现数学抽象能力（重点） 2.掌握球的表面积和体积公式并能解决与球有关的组合体的相关计算问题，体现数学计算能力（重点） 3.会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积，体现逻辑推理能力（重难点） 课程引入 复习：长方体和正方体的计算公式： V长方体=abc a b c V正方体=a3 a 根据长方体和正方体的计算公式，尝试推导一下棱柱和圆柱的计算公式？ 新课学习 柱体的体积计算公式 棱柱和圆柱的体积可以用下面的公式计算： V柱体=Sh 其中S为柱体的底面积，h为柱体的高. 新课学习 锥体的体积计算公式 棱锥和圆锥的体积可以用下面的公式计算： 其中S为锥体的底面积，h为锥体的高. 新课学习 例4：埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥.塔高约146.6m，底面边长约230.4m.求这座金字塔的侧面积和体积.(精确到0.1) 如图，AC为高，BC为底面的边心距，则AC=146.6m，BC= 115.2m，底面周长c=(4×230.4)m. S侧面积= = V＝ S底·AC= 因此，金字塔的侧面积约为85914.9m2，体积约为2594046.0m3. 新课学习 思考一下：如何计算台体的体积？ 因为棱台和圆台是由棱锥和圆锥截成的，所以可以利用两个锥体的体积差得到棱台和圆台的体积公式. 设四棱台ABCD-A'B'C'D'的高为h，四边形ABCD面积为S下，四边形A'B'C'D'面积为S上，四棱锥P-A'B'C'D'的高为h'， P A' B' C' D' A B D C 由P-A'B'C'D'与P-ABCD相似得 S上 S下 新课学习 思考一下：如何计算台体的体积？ 所以V台=VP-ABCD－VP-A'B'C'D' 新课学习 台体的体积计算公式 其中S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为台高 V台体= 新课学习 例5：已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm.求其体积. V＝ (S上＋S下＋ S上 · S下 )h = =112(cm3)， 因此正四棱台的体积为112cm3. 新课学习 思考一下：用一个平面截一个球，截面是什么形状的？ 用一个平面α去截半径为R的球O，若平面α经过球心O，则平面与球面的公共点显然都是共面的且到球心O的距离都为R，这说明过球心的平面截球面所得截线是以球心O为圆心的圆. 当平面α不经过球心O时(如图)，不妨设OO'⊥α于点O'，记OO'=d，对于平面与球面的任意一个公共点 P，都满足OO'⊥O'P， 所以O'P= 此时截线是以点O'为圆心，以r= 为半径的圆. 新课学习 球的其他概念 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；球面被不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. 与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点. 新课学习 思考交流：过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点P，可以作球的无数条切线.那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？ 设过点P的直线与球O相切于点A，则平面POA与球面的交线是球的大圆(如图)，由直线与圆相切的性质可得OA⊥AP，所以 设点A在OP上的垂足为O'，则AO'长度恒定不变. 这说明，过球外一点的所有切线的切线长都相等，这些切点的集合是以点O'为圆心、O'A为半径的圆，圆面O'及所有切线围成了一个圆锥. 新课学习 球的表面积和体积计算公式 球的表面积： S球面=4πR2 球的体积： V球面= πR3 其中R为球的半径. 新课学习 例6：如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？(假设冰激凌融化前后体积不变) 因为V半球= V圆锥= V半球＜V圆锥， 所以冰激凌融化了，不会溢出杯子. 新课学习 例7： 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm.求钢球的半径. 如图，设钢球半径为R cm， 根据题意，得 解得R=1.5， 所以钢球的半径为1.5cm. 课程练习 A 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 D 课程练习 课程练习 A 课程练习 课程练习 π 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.柱体、锥体、台体的体积 2.球的表面积和体积 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $