6.5.1.2直线与平面垂直的判定定理课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的判定定理，以工人师傅安装旗杆的生活问题导入，衔接线线垂直知识，通过“找、证、结论”步骤构建学习支架，帮助学生理解线线垂直到线面垂直的转化逻辑。 其亮点在于以生活化实例培养数学眼光，例题从基础（如平行线垂直平面）到综合（正方体线面垂直证明），通过逻辑推理与符号语言表达提升数学思维与语言能力，小结步骤清晰，助力学生掌握判定方法，教师使用可高效教学，提升学生推理与应用能力。

第六章　立体几何初步 §5.1.2 直线与平面垂直的判定定理 1 学习目标 掌握线面垂直的判定定理，初步学会用定理证明线面垂直关系.（数学抽象） 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.（逻辑推理） 2 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 工人师傅安装旗杆时，只需要用直角三角板比划两次，就能确定旗杆是垂直地面的，这是什么原理呢？ 今天学习的直线与平面垂直的判定定理 3 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 1，直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。(简称：线线垂直，线面垂直) 符号语言：. 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：要证明，只需证明与平面内两条相交直线垂直， 如图，在平面内作两条相交直线， 因为，所以，. 又因为，所以，. 又因为，是两条相交直线， 所以. 例3 证明：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 已知：如图，，，求证：. 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例4 如图，长杆与地面相交于点，在杆子上距地面的点处挂一根长 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点或点(三点不在同一条直线上)，如果两点和点的距离都是，那么长杆和地面是否垂直?为什么? 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：在和中， 因为 所以 ， 根据勾股定理的逆定理得. 又三点不共线，因此平面，即长杆与地面垂直. 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例2 如图，四棱锥 <m></m> 的底面是矩形， <m></m> 底面 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 分别是 <m></m> ， <m></m> 的中点.求证： （1） <m></m> 平面 <m></m> ； （2） <m></m> . 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] （1）∵四棱锥 <m></m> 的底面是矩形， <m></m> . <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> . （2）由（1）知 <m></m> 平面 <m></m> .同理， <m></m> 平面 <m></m> . <m></m> ， <m></m> 分别是 <m></m> ， <m></m> 的中点， <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> . 又 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> . 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 应用判定定理证明线面垂直的步骤 找 在平面内找到或作出两条与已知直线垂直的直线 证明已知直线垂直于找到(作出)的直线 由判定定理得出结论 证 结论 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 4.在正方体 <m></m> 中，求证： <m></m> 平面 <m></m> . 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] 如图，连接 <m></m> ， 显然 <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> . <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> . 同理可得 <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> . 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 思考二：在正方体中，是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值． 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：如图，取AA1的中点M，连接EM，BM. 因为是的中点，四边形为正方形，所以. 又在正方体中，平面， 所以平面，从而为直线在平面上的投影，即为直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为2， 则，， 于是在中，， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 16 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 思考三：如图，平面，四边形是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点． (1)当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点位置并证明，若不存在说明理由； (2)证明：. 17 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 解：(1)存在，为的中点，使得平面平面，理由如下： 因为为的中点，连接，又是的中点，是的中点，所以， 而平面，平面，则平面， 同理可证平面， 又，所以平面平面， 综上，当为的中点时，平面平面. 18 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 证：(2)由，是的中点，故在等腰三角形中，， 由平面，平面，则， 又四边形是矩形，即， 而，且平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，且平面，则平面， 因为平面，所以. 19 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 思考一：如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，为的中点，证明：平面. 20 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：由，， 得，所以， 因为为正三角形，所以为正三角形． 因为为的中点，所以，因为， 所以， 因为，，⊂平面， 所以平面. 21 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 例3 如图所示，四边形 <m></m> 是正方形， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 为棱 <m></m> 的中点. （1）求证： <m></m> 平面 <m></m> . （2）求直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的正切值. 22 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 [解析] （1）如图所示，连接 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . ∵四边形 <m></m> 是正方形，且 <m></m> ， <m></m> ，即 <m></m> 为等腰三角形. 又 <m></m> 为棱 <m></m> 的中点， <m></m> . <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> . 又 <m></m> ，∴四边形 <m></m> 为平行四边形， <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> ,即 <m></m> 为等腰三角形， <m></m> . 23 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 又 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> . （2）取 <m></m> 的中点 <m></m> ，连接 <m></m> , <m></m> ， <m></m> , <m></m> 分别为 <m></m> , <m></m> 的中点， <m></m> 为 <m></m> 的中位线， <m></m> . 24 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 又 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， ∴斜线 <m></m> 在平面 <m></m> 内的投影为 <m></m> ，直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成的角为 <m></m> . 设 <m></m> ，由几何关系可得 <m></m> ， <m></m> ， 在 <m></m> 中, <m></m> . 故直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的正切值为 <m></m> . 25 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 如图，在四棱锥 <m></m> 中，底面 <m></m> 是边长为 <m></m> 的正方形， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 为 <m></m> 的中点，且 <m></m> . （1）求证： <m></m> . （2）求直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的正弦值. 26 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] （1） <m></m> 平面 <m></m> ,又 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> . ∵四边形 <m></m> 为正方形， <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> . 27 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 （2）如图，过点 <m></m> 作 <m></m> 于点 <m></m> ，连接 <m></m> . 由（1）得 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 为直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成的角. 又 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 由 <m></m> ，可得 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 故直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的正弦值为 <m></m> . 28 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 线面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 若 则. 符号语言 ① ② ③ 缺一不可 “线面垂直” “线线垂直” 29 谢谢大家 30 如图,在四面体PABC中,已知BC=6,PC=10,PB=2.F是线段PB上一点,CF=,点E在线段AB上,且EF⊥PB.求证:PB⊥平面CEF. [解析] 　在△PCB中,∵PC=10,BC=6,PB=2,CF=, ∴PC2+BC2=PB2,∴△PCB为直角三角形,PC⊥BC. 又∵PC·BC=PB·CF,∴PB⊥CF. 又∵EF⊥PB,EF∩CF=F,EF,CF⊂平面CEF,∴PB⊥平面CEF. $