6.6.3球的表面积和体积 课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.6 简单几何体的再认识 第3课时 导入新课 问题1　从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展成平面图形． 那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得圆内接正多边形的边数越多，圆周率越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想． 运用上述思想能否计算球的表面积和体积？ 极限思想可以用来计算球的表面积和体积． 师生活动：学生动手实验、思考，举手回答． 设计意图：根据古人割圆术，引出本节课的研究主题–柱、锥、台的体积计算．（版书）． 2 新知探究 问题2　球也是旋转体，它是由什么平面图象旋转得到的？ 球心 直径 O 半径 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体． 师生活动：学生动手实验、思考，举手回答． 设计意图：通过回忆球的形成过程，探究球的体积、表面积． 3 新知探究 问题3　用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？ 可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面， 在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示． 若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d． 在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2． A D C B O R r d O′ 师生活动：学生思考，举手回答． 设计意图：培养学生归纳、探究能力． 4 新知探究 问题4　过球外一点作球的切线，有几条？这些切线是什么关系？ 过球外一点，有无数条切线， 所有切线的长度相等． A C D B O′ · H M F 师生活动：学生动手展开圆锥、思考，举手回答． 设计意图：探究与球的切线问题． 5 新知探究 问题5　阅读教材，填写下面的空格． （1）球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的________． （2）被不经过球心的平面截得的圆叫作球的________． （3）设截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，球的半径为R，则r＝___________． 大圆 小圆 1．球的截面 2．球的切线 （1）当直线与球有唯一交点时，称直线与球______，其中它们的交点称为直线与球的切点． 相切 师生活动：学生思考、填空． 设计意图：识记球的相关概念． 6 新知探究 问题5　阅读教材，填写下面的空格． （2）过球外一点，有无数条切线，所有切线的长度相等．这些切点的集合是以O′为圆心的圆，圆面O′及所有切线围成了______． 圆锥 3．球的表面积和体积公式 （1）设球的半径为R，球的表面积为S球面＝______； （2）设球的半径为R，则球的体积V球＝______． 4πR2 师生活动：学生思考、填空． 设计意图：识记球的相关概念． 7 新知探究 问题6　球的表面积和球的大圆的面积之间有什么关系？ 球面的面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍 （其中R为球的半径） 师生活动：学生展开、思考，小组讨论，代表举手回答． 设计意图：培养学生探究及归纳能力． 8 初步应用 例1　如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？（假设冰激凌融化前后体积不变） 解析：因为V半球＝　　　　　　　　　　　≈134（cm3） 由于V半球＜V圆锥，所以冰淇凌融化了，不会溢出杯子． V圆锥＝　　 　　　　　　　　　　　≈201（cm3） 12 4 师生活动：学生思考，写解题过程． 设计意图：应用圆锥、球的体积公式解决实际问题． 9 初步应用 例2　一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5，求钢球的半径． 解析：设钢球半径为R，由题意得： 所以钢球的半径为1.5cm． 解得：R＝ ＝1.5cm， 8.5 3 8 3 师生活动：师生分析思路，写出解题过程． 设计意图：应用圆柱、球的体积公式解决实际问题． 10 初步应用 例3　如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积． 作轴截面如图所示， 设球的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝（）2＋（）2＝9， ∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝ πR3＝36π． CC′＝，AC＝＝， 师生活动：师生分析思路，教师板书解题过程． 设计意图：巩固球的表面积、体积公式． 11 课堂练习 练习：教科书第244页练习第1题，第2题． 师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予点评指导． 12 归纳小结 （1）求球的体积与表面积的方法是什么？ （2）解决有关球的问题时，常用哪些性质？ 问题3　本节课我们学习了球的表面积、体积的计算公式，请你通过下列问题，归纳所 学知识． （1）