6.5.1.1直线与平面垂直的性质定理课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦立体几何初步中“直线与平面垂直的性质定理”，涵盖定理内容、线面距离及线面夹角等核心知识点。通过定义辨析（如“直线与平面内无数条直线垂直是否垂直”）和问题链（过一点线面垂直数量）搭建学习支架，衔接线线平行判定方法，形成完整知识脉络。 其亮点在于以问题驱动教学，结合正方体等模型培养直观想象，通过整合线线平行多种判定方法提升逻辑推理能力。例题解析注重步骤规范，帮助学生建立空间观念，教师可借助结构化流程和多样化例题高效开展教学。

第六章　立体几何初步 §5.1.1 直线与平面垂直的性质定理 1 学习目标 掌握空间中线面垂直的性质定理.（直观想象） 能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.（逻辑推理） 了解直线到平面的距离以及直线与平面的夹角的定义，能求简单的线面间的距离及线面的夹角 2 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 如果直线与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线与平面垂直.记作⊥. 直线称为平面的垂线，平面称为直线的垂面，它们唯一的公共点称为垂足. （1）如果直线与平面内的无数条直线都垂直，那么直线与平面垂直吗？ （2）如果直线与平面内的所有直线都垂直，那么直线与平面垂直吗？ 不一定 垂直 3 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 （1）过一点有几条直线和已知平面垂直？ （2）过一点有几个平面与已知直线垂直？ 点在面内 点在面外 点在线上 点在线外 有且仅有一个 有且仅有一个 4 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 1，直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言：. A B a b 此定理揭示了“平行”与“垂直”间的一种联系. 5 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 目前为止，我们学了哪些定理可以判定线线平行？ 线线平行 线面平行 面面平行 线面垂直 性质定理 6 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 证明线线平行的常用方法 （1）利用线线平行的定义,证共面且无公共点. （2）利用三线平行公理,证两线同时平行于第三条直线. （3）利用线面平行的性质定理,把证线线平行转化为证线面平行. （4）利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直. （5）利用面面平行的性质定理，把证线线平行转化为证面面平行. 7 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例1 如图，在四棱锥 <m></m> 中， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 垂直于平面 <m></m> 内的所有直线，证明： <m></m> . 8 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 2、直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离 9 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例2 如图，已知正方体 <m></m> 的棱长为1.则点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离为___；直线 <m></m> 和平面 <m></m> 的距离为___. 1 1 10 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 3.如图所示，已知 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的正切值为 <m></m> ，求 <m></m> 的长. 11 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 3、直线与平面的夹角 平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角. 斜线 垂足 斜线的投影 垂直平面 [ 0°，90°] 关键在于找线面垂直（PO⊥平面） 12 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 例2 如图，已知正方体， (1)求与底面夹角的大小； (2)设正方体的棱长为，求与底面夹角的余弦值 13 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 解：因为底面，所以是与底面的夹角， 因为侧面是正方形，所以. 即与底面的夹角为. (2)如图 ，连接 ，则 ， 因为 底面，所以是与底面的夹角， 同时，在中，，，，所以,即与底面夹角的余弦值为. 14 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 <m></m> <m></m> <m></m> 15 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，求SC与平面ABCD所成的角的正切值. C A D B S 16 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 2.如图， <m></m> 的边 <m></m> 平面 <m></m> ，且 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> _ ____. <m></m> [解析] 因为 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> 为直角三角形，故 <m></m> . 17 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 3.如图，已知 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ，且 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ___. 6 [解析] <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， ∴四边形 <m></m> 是平行四边形. <m></m> . 18 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 已知线段 <m></m> 在平面 <m></m> 外， <m></m> ， <m></m> 两点到平面 <m></m> 的距离分别为1和3，则线段 <m></m> 的中点到平面 <m></m> 的距离为______. 1或2 19 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 [解析] 由题可知， <m></m> ， <m></m> 两点到平面 <m></m> 的距离分别为1和3，设线段 <m></m> 的中点为 <m></m> .当线段 <m></m> 的端点 <m></m> ， <m></m> 在平面 <m></m> 的同侧，如图. 根据梯形中位线性质可知，线段 <m></m> 的中点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离为 <m></m> . 当线段 <m></m> 的端点 <m></m> ， <m></m> 在平面 <m></m> 的异侧，如图.根据三角形中位线性质可知，线段 <m></m> 的中点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离为 <m></m> . 综上，线段 <m></m> 的中点到平面 <m></m> 的距离为1或2. 20 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 例3 如图，在正方体 <m></m> 中， <m></m> 是棱 <m></m> 的中点， <m></m> 是四边形 <m></m> 内一点（包含边界）. <m></m> 平面 <m></m> ，当线段 <m></m> 长度最大时， <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的余弦值为( ). B A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> 21 工作回顾 导入 练习巩固 课堂小结 课外习题 新授 例题解析 [解析] 设正方体的棱长为 <m></m> ，如图，取 <m></m> 的中点 <m></m> ，连接 <m></m> ，过 <m></m> 作 <m></m> ，与 <m></m> 交于点 <m></m> ，则点 <m></m> ，且 <m></m> 平面 <m></m> ，则 <m></m> 即为 <m></m> 与平面 <m></m> 所成的角，当 <m></m> 长度最大时，点 <m></m> 与点 <m></m> 重合， <m></m> ， <m></m> ，得 <m></m> .故选B. 22 工作回顾 导入 新授 例题解析 练习巩固 课堂小结 课外习题 2、线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行. 1、线面垂直的定义：如果直线与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线与平面垂直. 3、平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. 线面垂直 线线垂直 线面垂直 线线平行 23 谢谢大家 24 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于　　　　;AB1与平面ADD1A1所成的角等于　　　　;AB1与平面DCC1D1所成的角等于　　　　.  $