第6章 5.1 第2课时 直线与平面垂直的判定-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的判定定理及综合运用，以木工用曲尺检查木棒与板面垂直的生活情境导入，引导学生从现实问题抽象出数学条件，衔接判定定理的文字、符号及图形语言学习，搭建从具体到抽象的认知支架。 其亮点在于通过生活化情境培养数学眼光，结合典例研析（如三垂线定理应用、正方体中垂直关系证明）训练逻辑推理（数学思维），规范符号与图形语言表达（数学语言）。题型梯度分明且含视频解析，助力学生提升空间观念与解题能力，也为教师提供系统教学资源。

第二课时　直线与平面垂直的判定 1 1.归纳出直线与平面垂直的判定定理（逻辑推理）. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理的综合运用（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不 是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与 木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直. 【问题】　（1）用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？ （2）上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的 直线垂直，那么该 直线与此平面垂直 符号 语言 a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b， ＝A⇒l⊥α 图形 语言 两条相交　 a∩b　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：判定直线与平面垂直的常用结论：①若两条平行直线中的一条 直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.符号表示： a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 则它必垂直于另一个平面.符号表示：α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a⊥b，b⊥α，则a∥α. （　×　） （2）若直线l与平面四边形的两边所在的直线垂直，则l就和这个平面垂直. （　×　） × × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形 的第三边AB的位置关系是（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不确定 解析：　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于 点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这 个平面内，所以l⊥AB. √ 3. 已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α， b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是 ⁠. 解析：由线面垂直的判定定理可知，需添加的一个条件是直线a，b相交. a，b相交 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜对直线与平面垂直的判定定理的理解 【例1】　若一条直线垂直于一个平面内的 （填下列序号），能保 证该直线与该平面垂直. ①梯形的两边；②圆的两条直径；③正六边形的两边. 解析：②中给定条件所对应的两条直线一定相交，能保证所给直线与平面 垂直.而①中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，③中正六边 形的两边可能是互相平行的两边，不满足定理条件（两条相交直线）. ② 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 该定理有五个条件：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b，这五个条 件缺一不可. 2. “两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　） A. 平面OAB B. 平面OAC C. 平面OBC D. 平面ABC 解析：　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面 OBC，∴OA⊥平面OBC. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜直线与平面垂直的判定 【例2】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC. 证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D， ∴SD⊥平面ABC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件，变设问）在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平 面SAC的位置关系是什么？ 解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC. 又由例题知SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线， 故BD⊥平面SAC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 线线垂直和线面垂直的相互转化 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝ 1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.求证：AD⊥平面A1DC1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：∵AA1⊥底面ABC， 平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°， ∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1， ∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又AD⊂平面AA1B1B， ∴A1C1⊥AD. 由已知计算得AD＝ ，A1D＝ ，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝A ，∴A1D⊥AD. ∵A1C1∩A1D＝A1， ∴AD⊥平面A1DC1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜线面垂直判定的应用 【例3】　求证：如果平面内的一条直线和穿过这个平面的一条斜线在这 个平面内的射影垂直，那么这条直线也和这条斜线垂直. 证明：如图，由题意作PO，PA分别是α的垂线、斜 线，OA是PA在α内的射影，b⊂α，且b⊥OA. ∵PO⊥α，b⊂α，∴PO⊥b. 又∵b⊥OA，PO∩OA＝O，PO⊂平面POA，OA⊂平 面POA， ∴b⊥平面POA. 又∵PA⊂平面POA，∴b⊥PA. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　本例中的命题称为“三垂线定理”，他提供了由线线垂直证线线 垂直的转化思路，同时该命题的逆命题：“如果平面内一条直线和穿 过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内 的射影”也成立. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形 的个数为 ⁠. 4 解析：由题意知，△PAC，△PAB，△ACB是直角三角形.因为PA⊥平面 ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，得 BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC. 所以△PCB是直角三角形.所以共有4个直 角三角形. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜线面垂直的判定定理、性质定理的综合应用 【例4】　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）求证：A1C⊥B1D1； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：如图，连接A1C1. ∵CC1⊥平面A1B1C1D1， B1D1⊂平面A1B1C1D1， ∴CC1⊥B1D1. ∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1. ∵CC1∩A1C1＝C1，CC1⊂平面A1C1C，A1C1⊂平面 A1C1C， ∴B1D1⊥平面A1C1C. ∵A1C⊂平面A1C1C， ∴A1C⊥B1D1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D. 求 证：MN∥A1C. 证明：如图，连接B1A，AD1. ∵B1C1􀱀AD， ∴四边形ADC1B1为平行四边形， ∴C1D∥B1A. ∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1. 又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面 AB1D1，∴MN⊥平面AB1D1. 由（1）知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1. 又∵AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，∴A1C⊥平 面AB1D1. ∴MN∥A1C. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 要证线线垂直，可以通过线面垂直得到. 2. 要证线线平行，可以考虑运用线面垂直的性质定理. 提醒：垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何中的重点内容，同时 也是高考考查的重要数学思想. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AD⊥BC，求证：BD⊥AC. 证明：如图，设A在平面BCD上的射影为O，连接BO， CO，DO. ∵CD⊥AB，CD⊥AO，AB∩AO＝A， ∴CD⊥平面ABO. 又BO⊂平面ABO，∴BO⊥CD. 同理，DO⊥BC. 因此，O是△BCD的垂心，因此有CO⊥BD. ∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O， ∴BD⊥平面AOC. 又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　） A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B. m⊥b，b∥α C. m∩b＝A，b⊥α D. m∥b，b⊥α 解析：　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m⊂α，故A 错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故B错误；m∩b ＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故C错误；由线线平行及 线面垂直的判定知选项D正确.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析：　和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥 的母线所在直线，如图所示.当∠ABC＝∠ACB＝30° 且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件.故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 〔多选〕如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（　　） A. BF∥CD B. DG⊥BH C. CH与BG的夹角为60° D. BE与平面ABCD的夹角为45° √ √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由正方体的平面展开图还原正方体如图所示，由 正方体的结构特征可知，BF与CD异面垂直，所以A错误； DG⊥CH，而CH为BH在平面DCGH上的射影，所以 DG⊥BH，所以B正确；连接AH，由AB∥GH，AB＝ GH，可得四边形ABGH为平行四边形，则AH∥BG，所 以∠AHC或其补角为异面直线CH与BG的夹角，连接AC，可得△AHC为等边三角形，得CH与BG的夹角为60°，所以C正确；因为AE⊥平面ABCD，所以∠EBA为BE与平面ABCD的夹角，为45°，所以D正确；故选B、C、D. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边 形ABCD一定是 ⁠. 解析：易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC. 又四边形ABCD是平行四边 形，∴平行四边形ABCD一定是菱形. 菱形 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，B1B的中 点，求证：CF⊥平面EAB. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：因为E，F分别是棱B1C1，B1B的中点，令CF∩BE＝O. 在Rt△BB1E和Rt△CBF中，BB1＝BC，B1E＝BF， 所以Rt△BB1E≌Rt△CBF，所以∠B1BE＝∠BCF， 因为∠B1BE＋∠EBC＝90°，所以∠BCF＋∠EBC＝90°，所以∠BOC ＝90°，即CF⊥BE， 又因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，CF⊂平面 BCC1B1， 所以AB⊥CF，又AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面EAB，所以CF⊥平面 EAB. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列结论中 正确的是（　　） A. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B. 若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α C. 若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D. 若m⊂α，l⊥n，n⊥α，则l∥m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　对于A，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或 l⊂α，故A错误；对于B，若l∥m，m∥n，则l∥n，又l⊥α，所以 n⊥α，故B正确；对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，又l∥m，所以 l∥n，故C错误；对于D，若m⊂α，l⊥n，n⊥α，则l与m相交、平行或 异面，故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知两平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　） A. m∥l B. m∥n C. n⊥l D. m⊥n √ 解析：　如图所示，可排除A，B，D；因为平面α，β交于直线l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知过平面α外一点A的斜线l与平面α的夹角为 ，斜线l交平面α于点 B，若点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所形成的图 形面积是（　　） A. 3π B. 2π √ C. π D. 解析：　如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连 接BC，所以线段BC为线段AB在平面α上的射影， ∠ABC为斜线l与平面α的夹角，则∠ABC＝ ，又AC＝ 1，所以BC＝ ，故射影形成的图形为半径为 的圆 面，其面积为3π.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知直线a，b，l和平面α，a⊂α，b⊂α，则“l⊥a，l⊥b”是 “l⊥α”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：由a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，不明确a，b是否相交，所以不能推出l⊥α.若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任意一条直线，故l⊥a，l⊥b.所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA ＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　） A. BC⊥平面PAB B. AD⊥PC C. AD⊥平面PBC D. PB⊥平面ADC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G 是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（　　） A. AG⊥平面EFH B. AH⊥平面EFH C. HF⊥平面AEH D. HG⊥平面AEF √ √ 解析：由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF. ∴AH⊥平面EFH，则AG与平面EFH不垂直.∴B正确，A不正确.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确.HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确.D不正确.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 如图所示，AB是☉O的直径，PA⊥平面☉O，C为圆周上一点，若AB ＝5 cm，AC＝2 cm，则点B到平面PAC的距离为 ⁠. 解析：∵C为圆周上一点，AB为直径，∴BC⊥AC，又PA⊥平面☉O， BC⊂平面☉O，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂 足，即BC为点B到平面PAC的距离.在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝ （cm）. cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 .⁠ 解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD- A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于 点C，∴ BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其 边界上运动，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为 B1C上任何一点时，均有AP⊥BD1. 线段B1C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形，当平面 四边形ABCD满足 时，空间四边形中的两条 对角线互相垂直.（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能 情况） AC⊥BD（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：在平面四边形ABCD中，设AC与BD交于点E，假设AC⊥BD，则AE⊥BD，CE⊥BD. 沿BD折叠后（如图），AE与BD，CE与BD依然垂直，所以BD⊥平面AEC，所以AC⊥BD. 故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时，空间四边形中的两条对角线互相垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4， PB＝ . （1）求证：PA⊥平面ABC； 解：由已知，得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2 ＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB. 又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使是PB⊥平 面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由. 解：假设在AB上存在一点E，使得PB⊥平面CEF. 因为CE⊂平面CEF，所以PB⊥CE. 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥CE. 又PA∩PB＝P，所以CE⊥平面PAB. 因为AB⊂平面PAB，所以CE⊥AB. 设BE＝x，因为AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°，所以 △BEC∽△BCA，所以BC2＝BE·AB，即32＝5x，所以x＝ ， 故在AB上存在点E满足题意，且BE＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕如图，在以下正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（　　） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由异面直线AB与CE的夹角为45°，知直线AB与平面CDE不垂直，A错误；易得AB⊥CE，AB⊥ED，又CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE，B正确；由异面直线AB与CE的夹角为60°，知直线AB与平面CDE不垂直，C错误；连接AC（图略），因为ED⊥AC，ED⊥BC，AC∩BC＝C，所以ED⊥平面ABC，所以ED⊥AB. 连接AD（图略），因为CE⊥AD，CE⊥BD，AD∩BD＝D，所以CE⊥平面ABD，所以CE⊥AB. 又ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD， 则下列结论中正确的是（　　） A. AC⊥SB B. AB∥平面SCD C. SA与平面SBD的夹角等于SC与平面SBD的夹角 D. AB与SC的夹角等于DC与SA的夹角 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　A中结论正确，因为SD⊥平面ABCD，而AC⊂平 面ABCD，所以AC⊥SD. 又四边形ABCD为正方形，所以 AC⊥BD，而BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD. 所以 AC⊥SB. B中结论正确，因为AB∥CD，而CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD. C中结论正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，如图，则SA与平面SBD的夹角为∠ASO，SC与平面SBD的夹角为∠CSO，易知∠ASO＝∠CSO，故SA与平面SBD的夹角等于SC与平面SBD的夹角.D中结论不正确，AB与SC的夹角是∠SCD，而DC与SA的夹角是∠SAB，易知∠SCD≠∠SAB. 故夹角不相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C为下 底面圆周上的一个动点，点C绕着下底面圆旋转一周，则△ABC的面积的 取值范围为 ⁠. 解析：如图，过C作CD垂直上底面圆于D，则CD⊥AB，过 D作DE⊥AB于E，连接CE，所以AB⊥平面CDE，所以 AB⊥CE，则CE即点C到AB的距离.又DE∈[0，1]，CD＝ 2，所以在Rt△CDE中，CE＝ ∈[2， ]，所以 △ABC的面积S＝ AB·CE∈[2， ]. [2， ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3 ，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C'，且点C'在平面ABD上的投影O恰在AB上. （1）求证：BC'⊥平面AC'D； 解：证明：因为点C'在平面ABD上的投影O在AB上， 所以C'O⊥平面ABD，又因为DA⊂平面ABD，所以C'O⊥DA. 又因为DA⊥AB，AB∩C'O＝O，AB，C'O⊂平面ABC'， 所以DA⊥平面ABC'，因为BC'⊂平面ABC'，所以DA⊥BC'. 又因为BC⊥CD，所以BC'⊥C'D. 因为DA∩C'D＝D，DA，C'D⊂平面AC'D， 所以BC'⊥平面AC'D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求直线AB与平面BC'D夹角的正弦值. 解：如图所示，过A作AE⊥C'D，垂足为E. 因为BC'⊥平面AC'D， 所以BC'⊥AE. 又因为AE⊥C'D，BC'∩C'D＝C'， C'D，BC'⊂平面BC'D， 所以AE⊥平面BC'D. 连接BE，则BE是AB在平面BC'D上的投影， 故∠ABE就是直线AB与平面BC'D的夹角. 由（1）知DA⊥平面ABC'，所以DA⊥AC'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 在Rt△AC'B中，AC'＝ ＝3 . 在Rt△BC'D中，C'D＝CD＝3 . 在Rt△C'AD中，由面积关系，得AE＝ ＝ ＝ . 所以在Rt△AEB中， sin ∠ABE＝ ＝ ＝ . 即直线AB与平面BC'D的夹角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1， 当底面A1B1C1满足条件 时，有 AB1⊥BC1.（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情 况） A1C1⊥B1C1（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1.理由如下.连 接B1C（图略），∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，∴四边形BCC1B1是正 方形，∴BC1⊥B1C. ∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1，又A1C1⊥B1C1， CC1∩B1C1＝C1，且CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥平面 BCC1B1.∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1， ∴BC1⊥AC，∵AC，B1C⊂平面ACB1，∴BC1⊥平面ACB1，故 AB1⊥BC1.∴当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为 O，且AO⊥平面BB1C1C. （1）证明：B1C⊥AB； 解：证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点. 因为侧面BB1C1C为菱形， 所以B1C⊥BC1. 又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO， 故B1C⊥平面ABO. 由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高. 解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD. 作 OH⊥AD，垂足为H. 由于BC⊥AO，BC⊥OD，故 BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC. 又OH⊥AD，所以 OH⊥平面ABC. 因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又 BC＝1，可得OD＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 由于AC⊥AB1，所以OA＝ B1C＝ .由OH·AD＝OD·OA，且AD＝ ＝ ，得OH＝ . 又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为 .故三棱柱ABC- A1B1C1的高为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $