精品解析：河南省许昌市魏都区实验学校2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

2025－2026学年下学期期中素养调研 七年级 数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知点，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A. 7的算术平方根 B. 6的立方根 C. 9的平方根 D. 8的立方根 5. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（ ）     A. B. C. D. 7. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 题目：“已知关于x，y的方程组的解满足，求的值．”如下有嘉嘉和淇淇两种解题思路和部分步骤： 嘉嘉：将方程组中的①式和②式相加并整理，可得到，再求的值； 淇淇：解方程组得，将结果代入，再求k的值． 下列判断正确的是（ ） A. 只有嘉嘉的解题思路正确 B. 只有淇淇的解题思路正确 C. 嘉嘉和淇淇的解题思路都正确 D. 嘉嘉和淇淇的解题思路都不正确 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向平移，如，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果的立方等于27，那么的算术平方根是__________． 12. 已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为__________． 13. 点A的坐标为，点A到x轴和y轴距离相等，则点A的横坐标为__________． 14. 若关于x的不等式有且仅有1个负整数解，则实数a的取值范围是______． 15. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组： （1） （2） 18. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解． 19. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ___________（___________）， 平分（已知）， ___________（角平分线的定义）， 同理，___________， （等量代换）， ___________（___________）． （___________）． 20. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； （2）如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； （3）小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 21. 某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价 （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 22. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）方程的共轭二元一次方程是 ； （2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； （3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 23. 如图1、图2，直线，被射线所截，且，P是射线上的定点，点Q在射线上，连接，过点Q作，与直线交于点E，且． （1）如图1，当点Q与点N重合时，求的度数； （2）若点Q在线段上（点Q不与点M，N重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； （3）当点Q在线段的延长线上，且时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期期中素养调研 七年级 数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表达方式有三种：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；用特殊规律表示的数，例如(每两个之间依次多个)． 【详解】解：A选项：是开不尽方的数，是无理数，故A选项符合题意； B选项：是整数，是有理数，故B选项不符合题意； C选项：是分数，是有理数，故C选项不符合题意； D选项：是分数，是有理数，故D选项不符合题意． 故选：A ． 2. 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意． C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，已知点，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标，建立坐标系，解答即可． 本题考查了坐标与坐标系，正确建立坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据点，，建立坐标系如下： 故点C的坐标为． 故选：D． 4. 如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A. 7的算术平方根 B. 6的立方根 C. 9的平方根 D. 8的立方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先根据数轴判断点A对应的数的范围，再根据各选项分别判断各数的范围或求得其具体值，从而可得答案． 【详解】解：根据数轴可知点A的位置在1和2之间，且靠近2， 而，，，， ∴只有6的立方根符合题意． 故选：B． 5. 如果，那么下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即（1）同位角相等两直线平行，（2）内错角相等两直线平行，（3）同旁内角互补两直线平行． 根据平行线的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵(同旁内角互补，两直线平行)，不符合题意； B、∵(内错角相等，两直线平行)，不符合题意； C、∵(同位角相等，两直线平行)，不符合题意； D、∵(同位角相等，两直线平行)，不能证出，符合题意； 故选：D． 8. 如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据图形上点的平移规律：上加下减，左减右加，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，图2是由图1向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到， ∵图1中点P的坐标为， ∴图2中点的坐标为， 故选：D． 9. 题目：“已知关于x，y的方程组的解满足，求的值．”如下有嘉嘉和淇淇两种解题思路和部分步骤： 嘉嘉：将方程组中的①式和②式相加并整理，可得到，再求的值； 淇淇：解方程组得，将结果代入，再求k的值． 下列判断正确的是（ ） A. 只有嘉嘉的解题思路正确 B. 只有淇淇的解题思路正确 C. 嘉嘉和淇淇的解题思路都正确 D. 嘉嘉和淇淇的解题思路都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，分别按照嘉嘉和淇淇的思路推导，即可判断正误． 【详解】解：先验证嘉嘉的思路：  将①②得    两边同除以得   又原方程组的解满足  ， ∴，因此嘉嘉的思路正确． 验证淇淇的思路： 原方程组的解同时满足 和， 因此先求解是正确的 解 得 ， 和淇淇给出的结果一致 再将代入： ， 因此淇淇的思路也正确． 综上，嘉嘉和淇淇的解题思路都正确，故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向平移，如，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】AA 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，得出规律第列有个点，且第列最下面的点的坐标为，结合得出第个点的坐标为，第个点的坐标为，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：把第一个点作为第一列，点，作为第二列，点，，作为第三列，依次类推，第一列有1个点，第二列有2个点，第三列有3个点，…， 故第列有个点，且第列最下面的点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标为，第35个点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标是， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果的立方等于27，那么的算术平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的概念．利用立方根的概念，解出x的值，再利用算术平方根的概念即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴的算术平方根是 故答案为：． 12. 已知方程组的解为则被“○”和“△”遮盖的两个数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．将方程组的解代入方程②，可求出的值，将方程组的解代入方程①，可求出的值，此题得解． 【详解】解：， 将代入方②得：， 解得：，即， 将代入①得：， 解得：， ∴被和遮盖的两个数分别为，． ∴被“”和“”遮盖的两个数的和为 故答案为：． 13. 点A的坐标为，点A到x轴和y轴距离相等，则点A的横坐标为__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，掌握点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．先根据题意可列式：，求解出m，即可得出答案． 【详解】解：由题意知：点到x轴和y轴的距离相等 ∴ 解得：或1 ∴点A的横坐标为或1， 故答案为：或1． 14. 若关于x的不等式有且仅有1个负整数解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再根据不等式仅有1个负整数解确定的范围，进而求解的取值范围． 【详解】解：解不等式，移项得， 不等式有且仅有个负整数解， 唯一的负整数解为， 可得，不等式两边同乘，根据不等式的基本性质，不等号方向改变，得． 15. 如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为． 故本题答案为：12． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及乘方．算术平方根．立方根．绝对值和二次根式的化简计算，掌握各部分的运算法则是解题的关键，先计算各部分的结果，再按运算顺序计算即可． 【小问1详解】 解：原式    ； 【小问2详解】 解：原式        ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解方程组步骤，采用消元思想是解题的关键． （1）运用代入消元法求解； （2）运用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：， 将②代入①，得：， 解得：； 把，代入②， 得：； ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ，得：， 解得：； 把，代入①，得：， 解得：； ∴方程组的解为：． 18. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：， 在解集在数轴上表示出来为： 它的整数解为0，1，2． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出不等式的解集，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变． 19. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：∵（已知）， ___________（___________）， 平分（已知）， ___________（角平分线的定义）， 同理，___________， （等量代换）， ___________（___________）． （___________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义．根据推理过程逐一填空即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，． ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 20. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： （1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； （2）如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； （3）小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 21. 某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价 （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1），两种型号电风扇的销售单价分别为250元，210元 （2）超市最多采购A种型号电风扇10台 （3）在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，两种型号电风扇的销售单价分为元，元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意，列出不等式，进行求解即可． （3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标． 【小问1详解】 设，两种型号电风扇的销售单价分为元，元， 由题意，得， 解得 答：，两种型号电风扇的销售单价分别为250元，210元． 【小问2详解】 设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依趣意，得， 解得． 答：超市最多采购A种型号电风扇10台． 【小问3详解】 依题意有：， 解得：， ∵， ∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确的列出方程组和不等式是解题的关键． 22. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）方程的共轭二元一次方程是 ； （2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； （3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【小问1详解】 解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 23. 如图1、图2，直线，被射线所截，且，P是射线上的定点，点Q在射线上，连接，过点Q作，与直线交于点E，且． （1）如图1，当点Q与点N重合时，求的度数； （2）若点Q在线段上（点Q不与点M，N重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； （3）当点Q在线段的延长线上，且时，求的度数． 【答案】（1） （2）①答案见解答过程；②，证明见解答过程 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据得，再根据，得，然后根据可得出答案； （2）①依题意补全图形即可； ②过点作，想证明，则，，进而得，由此可得与之间的数量关系； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：①当在点的右侧时，过点作，先求出，再证得，，然后根据可得出答案；②当点在点的左侧时，过点作，先求出，同理，，然后根据可得出答案，综上所述即可得出的度数． 【小问1详解】 解：， ， 又， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①依题意补全图形如图2所示： ②与之间的数量关系是：． 证明如下：过点作，如图3所示： ， ， ，， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况： ①当在点的右侧时，过点作，如图4所示： ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； ②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示： ， ， ， ， 同理：，， ， ． 综上所述：的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $