第23章一次函数章末测试卷（培优） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦八年级下册第23章一次函数，通过基础辨析、情境应用及跨学科实践题，全面考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题/36分|一次函数图像与性质（题1、2）、新定义与几何综合（题4、9）|题4引入“生长点”新定义，考查符号意识与抽象能力| |填空题|4题/12分|函数平移（题13）、行程问题（题14）|题14结合图像分析甲、乙距离，体现数据观念| |解答题|8题/52分|项目式采购方案（题20）、台阶光线问题（题24）|题20以绿植采购为情境构建分段函数模型，题24融合几何直观与创新意识，适配核心素养要求|

2025-2026学年八年级下册人教版新教材第23章章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于直线的说法正确的是（     ） A．一定经过点 B．与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过二、三、四象限 3．若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 4．定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 5．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 6．成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 7．当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 8．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 9．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C．边所在直线的解析式为 D．的面积为 10．已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题 13．一次函数图像向下平移后经过点，则平移后图像的函数表达式是______． 14．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 15．如图，直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是____________． 16．已知一次函数和的图象都经过点， （1）的值是________； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则m的取值范围是________． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知与x成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式． (2)该函数经过点，求a的值． 18．某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图像知，__________，__________，__________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． (3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 19．一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 20．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 21．为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． (1)租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ (2)经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 23．【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】 某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】 (2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】 (3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 24．如图是个台阶的示意图（各拐角均为，每个台阶宽、高分别为和，为第一个台阶面，为第二个台阶面，以此类推，为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线上； (2)点在直线 上（填直线的解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点），求的取值范围． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册人教版新教材第23章章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 1．一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 2．下列关于直线的说法正确的是（     ） A．一定经过点 B．与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，逐项计算验证即可得到答案． 【详解】解：对于直线， 选项A：当时， ，直线不经过点，A错误． 选项B：与轴交点的纵坐标为，令，得，解得，与轴交于点，B错误． 选项C：一次项系数，随的增大而减小，C错误． 选项D：，，图象经过二、三、四象限，D正确． 故选：D． 3．若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合题目给出的两个条件，分别列出关于的不等式，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一次函数 ， ∵随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 又∵函数图象与轴交点在轴上方， 当时， ，交点在轴上方即， ∴， 解得 ． ∴ ． 4．定义：若点中的，满足（为常数，且），则称点为“生长点”，下列各点是一次函数图象上的“生长点”的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，新定义．根据“生长点”的定义，点需满足方程组且，同时位于直线上，需逐一验证选项是否满足条件． 【详解】解：A、 当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； B、当时，，故点在一次函数图象上，则，，符合题意； C、当时，，故点在一次函数图象上，则，，不唯一，不符合题意； D、当时，，故点不在一次函数图象上，不符合题意； 故选：B． 5．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可． 【详解】解：①可化为，符合一次函数定义； ②不符合一次函数定义； ③可化为，符合一次函数定义； ④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义； ⑤展开化简为，符合一次函数定义； ⑥不符合一次函数定义． 综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C． 故选：C． 6．成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 【答案】D 【分析】A、直接在函数图象中找出能够取到的最大值时，的值，即可得出结论； B、直接在函数图象中找出当时，的值，即可得出结论； C、先求出当时的函数解析式，再求出当时，的值，即可得出结论； D、先求出当时的函数解析式，再将分别代入正比例函数解析式和一次函数解析式中求出相应的的值，再作差计算即可． 【详解】解：A、如图所示，2小时血液中含药量最高，达每毫升6毫克 ，A选项说法正确，故此选项不符合题意； B、如图所示，当时，，所以服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克，B选项说法正确，故此选项不符合题意； C、当时，设， 将点，代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∴服药后第8小时，血液中不含药． C选项说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，设， 将点代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∵， ∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是4小时． D选项说法错误，故此选项符合题意． 7．当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 8．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 9．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C．边所在直线的解析式为 D．的面积为 【答案】D 【分析】根据函数图象可知直线移动到点用了秒，移动到点用了秒，可以求出，可得点的坐标是；根据勾股定理可以求出，根据等腰直角三角形的性质可以求出；根据点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；根据三角形的面积公式可以求出的面积为. 【详解】解：由函数图象可知，当秒时，直线经过点， 当秒时，的值最大，即直线经过点， 当时，直线经过点， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 由图象可知，直线移动到点用了秒，移动到点用了秒， 个单位长度，个单位长度， 点的横坐标为，点的横坐标是， ， 三角板是等腰直角三角形， ， 点的坐标是， 故A选项正确； ， ， 当直线经过点时，的值最大，最大值为； 故B选项正确； 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 边所在直线的解析式是， 故C选项正确； ， 的面积为， 故选项错误． 10．已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由直线方程可知，，因此随增大而减小．由，得，再逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴随增大而减小． ∵， ∴． A，若，因为，所以或； 当时，由于，无法确定和的符号，例如，若直线与x轴交点在和之间，则，故不能确定的正负 故选项A不符合题意； B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 11．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系，对于一次函数（k为常数，）图像与k、b的关系是解题的关键． 根据一次函数图像与系数的关系判断两个函数的图像对应解析式中m的符号，再看是否存在矛盾即可解答． 【详解】解：A．一次函数的图像经过第二、三、四象限，则；一次函数的图像经过第一、三、四象限，则，不存在矛盾，符合题意； B．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； C．一次函数的图像经过第一、二、四象限与矛盾，不符合题意； D．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则；一次函数的图像经过第二、三、四象限，则，二者存在矛盾，不符合题意． 故选：A． 12．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，，进而，又根据，过点作于点，可得，则可求． 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当直线经过点，点时， 设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 评卷人 得分 二、填空题 13．一次函数图像向下平移后经过点，则平移后图像的函数表达式是______． 【答案】 【分析】一次函数图象上下平移时，一次项系数保持不变，根据平移性质设出平移后的解析式，代入已知点的坐标求解即可； 【详解】解：一次函数图象上下平移时，一次项系数不变，原函数一次项系数为， 设平移后函数表达式为， 将点代入得：，解得， 平移后图像的函数表达式是． 14．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 【答案】40 【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两人离开地的距离与时间的函数解析式，再将分别代入两个解析式求出对应的距离，最后计算两人的距离差即可． 【详解】解：设甲的解析式为，代入、， 得， 解得， 则， 设乙的解析式为，代入， 得， 解得， 则， 当时，，， 则， 则时，甲、乙两人相距． 15．如图，直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先根据两直线相交的问题解方程组得到交点坐标为，再根据第四象限点的坐标特征得到，然后解不等式组即可． 【详解】解：解方程组得， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵直线与直线的交点在第四象限， ∴， 解得：． 16．已知一次函数和的图象都经过点， （1）的值是________； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】（1）利用待定系数法，先将点代入求出，再代入求出，最后计算即可； （2）当过点和与直线平行时成立，再分析和时不成立，即可得到的范围． 【详解】解：（1）将代入，得：， 解得 ， 将，代入，得：， 解得 ， ； （2）由（1）可知：一次函数分别是和， 由图像可知：当时，函数的值大于函数的值 ∵当时，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 且， 当过点时成立，即，解得：； 当与直线平行时也成立，即； 如果，当x取足够小的负数时，的值小于的值， 如果，当x取足够小的负数时，的值小于的值， ∴m的取值范围是． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知与x成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式． (2)该函数经过点，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求一次函数自变量或函数值等知识点，解题关键是正确求出函数关系式． （1）设，根据当时，，转化为关于k的方程求解即可； （2）将点代入（1）中求得的函数关系式，得到关于a的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为． （2）∵该函数经过点， ∴， ∴． 18．某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图像知，__________，__________，__________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． (3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据分段收费的定义和图像信息来确定、、的值即可． （2）根据待定系数法即可求解． （3）根据已知的车费判断行驶路程是否超过起步路程，然后代入相应的关系式求解即可． 【详解】（1）解：从图象可知，当行驶路程为到千米时，乘车费固定为元， 此时对应的乘车费为元，即， 当乘车费开始变化时，对应的行驶路程就是的值，从图像可得， 从图像可知，当行驶路程为千米时，乘车费为元； 当行驶路程为千米时，乘车费为元， 那么超过千米的部分行驶了千米，费用增加了元， 所以每千米收费元． （2）解：当时，设与之间的关系式为． 将与代入关系式， 则有，解得， 则与之间的关系式为． （3）解：当时，可知行驶路程已超过起步路程， 则，解． 答：出租车共行驶了千米． 19．一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)图象见解析，4； (3) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先画出函数图象，再根据一次函数与坐标轴的交点求面积即可； （3）分别求出和时自变量的值，再结合图象即可得出取值范围． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：由题意可知，函数图象过点和， 画函数图象如下： 令，则， 图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； （3）解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 结合图象可知，当时，自变量的取值范围是． 20．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)， (2)当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 21．为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． (1)租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ (2)经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 【答案】(1)租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元 (2)租用大型客车15辆，小型客车10辆，才能使费用最少，最少为元 【分析】（1）设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出关于的不等式组，求出的值，表示出总费用求解即可； 【详解】（1）由题意，设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元， ， ，． 答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元； （2）由题意，大型客车辆，则小型客车辆， ， ， 又为整数， 或16， 又，且， 随增大而增大， 当时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：（辆）， 最少费用：（元）． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点； (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限（或）相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．   ， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点， ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，即， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，两直线在第一象限（或第四象限）相交，此时不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 如图， 综上：． 23．【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】 某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】 (2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】 (3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 【答案】(1)描点见解析 (2) (3)①无解；②， 【分析】（）在平面直角坐标系中描点即可； （）根据二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标求解即可； （）①根据图象解答即可； ②把点的坐标代入方程，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：描点如图所示： （2）解：∵二元一次方程组的解是， 那么直线与的交点坐标是； （3）解：①由图象可知，图象和图象平行， ∴方程组无解； ②把和代入方程， 得， 解得， 即，． 24．如图是个台阶的示意图（各拐角均为，每个台阶宽、高分别为和，为第一个台阶面，为第二个台阶面，以此类推，为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线上； (2)点在直线 上（填直线的解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点），求的取值范围． 【答案】(1)，在直线上； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一元一次函数的实际应用，用待定系数法求函数解析式，规律探索，解题关键是关键题意得出点的坐标． （）设直线的解析式为，将，代入解析式即可求解，再将代入判断； （）由每个台阶宽、高分别为和得，，将直线直线向上平移即可求解； （）将和代入即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵每个台阶宽、高分别为和， ∴，， 将和代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上； （2）解：由每个台阶宽、高分别为和得，， 根据图象可知， 将直线向上平移个单位，得到， 同理：在直线上， 故答案为：； （3）解：由题意可得，得， 把代入可得， 解得， ∴． 试卷第4页，共28页 试卷第3页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $