4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、公差、等差中项及通项公式，通过课前基础认知的概念填空、微思考和微训练搭建学习支架，衔接通项公式推导、函数角度分析及判定方法，形成完整知识脉络。 其亮点是以数学抽象、数学运算和逻辑推理素养为导向，通过累加法推导通项公式培养逻辑推理，典例剖析“知三求一”问题提升数学运算，判定证明环节深化数学抽象。实例如微训练2利用前三项求通项，随堂训练6结合方程韦达定理解决问题，帮助学生系统掌握知识，教师可借助结构化内容高效教学。

4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 目 标 素 养 1.理解等差数列的定义,掌握等差中项的概念,提升数学抽象素养. 2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题,提升数学运算素养. 3.掌握等差数列的判定方法,提升逻辑推理素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.等差数列的概念 微思考1 若{an}是公差为d的等差数列,则{an+an+2}是等差数列吗?若是,公差是多少? 提示:∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=d+d=2d, ∴{an+an+2}是公差为2d的等差数列. 2.等差中项 (1)条件:由三个数a,A,b组成的等差数列. (2)结论:A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式:　a+b=2A　.  微探究 观察所给的两个数,在中间插入一个数使三个数成为一个等差数列. (1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0. 微训练1 已知在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则角B等于(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案:B 解析:因为A,B,C成等差数列, 所以B是A,C的等差中项,即A+C=2B. 又因为A+B+C=180°, 所以3B=180°,得B=60°. 3.等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= a1+(n-1)d　.  微思考2 根据等差数列的定义,有an+1-an=d(n∈N*),能否用累加法求得{an}的通项公式?如果能,怎样推导? 提示:能用累加法,过程如下: ∵a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d, …… an-an-1=d(n≥2), 将上述(n-1)个式子相加,得an-a1=(n-1)d(n≥2), ∴an=a1+(n-1)d(n≥2), 当n=1时,a1=a1+(1-1)d,符合上式,∴an=a1+(n-1)d. 微训练2 若一个等差数列的前三项为a,2a-1,3-a,则这个数列的通项公式为　　　　　.  4.从函数角度认识等差数列{an} 由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d≠0时,等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).事实上,公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上. 微思考3 由等差数列的通项公式可以看出,要求an,需要哪几个条件? 提示:只要求出等差数列的首项a1和公差d,代入公式an=a1+(n-1)d即可. 课堂·重难突破 一 等差数列的通项公式及应用 典例剖析 1.在等差数列{an}中,公差为d. (1)若a5=-1,a8=2,求a1与d; (2)若a1+a6=12,a4=7,求a9. 解:(1)由a5=-1,a8=2, 则an=1+(n-1)×2=2n-1,故a9=2×9-1=17. 规律总结 等差数列通项公式的妙用 (1)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中含有an,a1,n,d四个量,如果知道了其中的任意三个量,那么就可以由通项公式求出第四个量,这一求未知量的过程我们通常称为“知三求一”. (2)从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),当d≠0时,an可看作是自变量为n(n∈N*)的一次函数. 学以致用 1.在等差数列{an}中,公差为d, (1)若a1=6,d=3,求a8; (2)若a4=10,a10=4,求a7和d; (3)若a2=12,an=-20,d=-2,求n; (4)若a7= ,d=-2,求a1. 解:(1)∵a1=6,d=3,∴an=6+3(n-1)=3n+3. ∴a8=3×8+3=27. (2)∵a4=10,a10=4, ∴a1+3d=10,a1+9d=4,两式相减,得d=-1, ∴an=a4+(n-4)×(-1)=-n+14, ∴a7=-7+14=7. (3)∵a2=12,d=-2,∴a1=a2-d=12-(-2)=14, ∴an=14-2(n-1)=16-2n=-20,∴n=18. 二 等差中项 典例剖析 2.已知等差数列{an}满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,求数列{an}的通项公式. 解:设等差数列{an}的公差为d, ∵a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=6.又a2a3a4=66, 即an=a1+(n-1)d=-4+(n-1)·5=5n-9. 规律总结 三个数a,b,c成等差数列的条件是b= 或2b=a+c,可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,则可证2an+1=an+an+2. 学以致用 2.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项. 解:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8. 由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10. 两式相加,得m+n=6. 即m和n的等差中项为 =3. 三 等差数列的判定与证明 典例剖析 互动探究 (1)试证明数列{bn}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 规律总结 等差数列的两种判定方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列; (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列. 要证明一个数列是等差数列,必须用定义法或等差中项法.但要说明一个数列不是等差数列,只需举出一个反例即可. 学以致用 3.已知 成等差数列,并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证: lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列. 则(a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c) =(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c)2. ∵a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时取常用对数, 得lg[(a+c)(a+c-2b)]=lg(a-c)2, 即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c), ∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列. 随堂训练 1.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是(　　) 答案:B 2.(2025·广西柳州模拟)在等差数列{an}中,a2=4,则a5-3a3=( 　) A.-8 B.-6 C.-4 D.-2 答案:A 解析:等差数列{an}中,a2=4,则a1+d=4, 即a5-3a3=a1+4d-3(a1+2d)=-2a1-2d=-2(a1+d)=-8. 3.若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差是(　　) 答案:C 解析:设等差数列的公差为d.由等差数列的通项公式, 5.在数列{an}中,a1=3,an=an-1+3(n≥2),则an=　　　　　.  答案:3n 解析:因为当n≥2时,an-an-1=3, 所以{an}是首项a1=3,公差d=3的等差数列. 即an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n. 6.若等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a2是关于x的方程x2-a3x+a4 =0的两根,求数列{an}的通项公式. $