4.2.1 第2课时 等差数列及其通项公式的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

等差数列及其通项公式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 掌握等差数列的判定与证明方法,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等差数列的通项公式与 一次函数的关系 题型(二)　等差数列的实际应用 题型(三)　等差数列的判定与证明 4 题型(四)　等差数列项的设法与求解 5 课时跟踪检测 题型(一)　等差数列的通项公式 与一次函数的关系 01 1.等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a1+(n-1)d=nd+ (a1-d),n∈N*. (1)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上; (2)这些点的横坐标每增加1,纵坐标增加d. 2.由等差数列和一次函数的关系可知,等差数列的单调性受公差d的影响. (1)当d____0时,数列为______数列,如图①; (2)当d<0时,数列为递减数列,如图②; (3)当d=0时,数列为常数列,如图③. > 递增 √ [例1]　(1)[多选]下列判断正确的是 (　　) A.等差数列{an}中,a3=4,a4=2,则数列{an}是递增数列 B.若an=kn+b(k,b为常数,n∈N*),则数列{an}是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D.若数列{an}是等差数列,且an=kn2-n,则k=0 √ √ 解析: A项,公差d=a4-a3=-2<0,所以数列{an}是递减数列;因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数,公差是一次函数图象的斜率,所以B、C、D均正确. (2)已知数列{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=______.  24 解析:已知数列{an}是等差数列,可设an=kn+b. 由a15=8,a60=20得解得 ∴a75=×75+4=24. |思|维|建|模| 　　熟练掌握等差数列通项公式an=dn+(a1-d)=kn+b是关于n的一次函数型这一结构特征,并且公差d是一次项系数,它的符号决定了数列的单调性,d>0时,数列{an}为递增数列;d=0时,数列{an}为常数列;d<0时,数列{an}为递减数列. 针对训练 1.已知无穷等差数列{an}的各项均为正整数,且a9=2 024,则a1的最小值是______.  8 解析:若等差数列{an}的各项均为正整数,且要求a1的最小值,则数列{an}是严格递增数列,于是公差d∈N*,因此a1=a9-8d=2 024-8d为正整数.因为a1关于d递减,而2 024=252×8+8,则当d=252时,a1取得最小值为8. 题型(二)　等差数列的实际应用 02 [例2]　某公司购置了一台价值为230万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少20万元,设备使用n年后,其价值将低于购进价值的5%,设备将报废,则n的最小值为 (　　) A.10 B.11 C.12 D.13 √ 解析:设使用n年后,这台设备的价值为an万元,则数列{an}满足an=an-1-20(n≥2).可得数列{an}是公差为-20的等差数列.因为购进设备的价值为230万元,这样a1=230-20=210,于是an=a1+(n-1)(-20)=230-20n,根据题意得an<230×5%=11.5⇒n≥11. |思|维|建|模| (1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列. (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题. 针对训练 2.《九章算术》是我国古代数学名著,其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗、一只狗与一只羊、一只羊与一头驴的价格之差均相等,一只羊与两只鸡的价格总数为200钱,一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格,甲买了一只鸡与一只狗,则甲花费的钱数为______.  120 解析:由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列,设该数列为{an},公差为d,则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为a1,a2,a3,a4,由题意得⇒解得故甲花费的钱数为a1+a2=2a1+d=120. 题型(三)　等差数列的判定与证明 03 [例3]　已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),设bn=(n∈N*). (1)求证:数列{bn}是等差数列; 解:证明:因为an=2-,所以an+1=2-.则bn+1-bn=-=-==1,所以{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列. (2)求{an}的通项公式. 解:由(1)知bn=n,所以bn==n(n∈N*),解得an=1+, 所以{an}的通项公式为an=1+(n∈N*). [变式拓展] 　本例条件“an=2-(n≥2,n∈N*)”变为“an+1=”,那么数列是否为等差数列?请说明理由. 解:数列是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=,∴==+,∴-=, 即数列是首项为=,公差为d=的等差数列. |思|维|建|模| 证明等差数列的方法 　　证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法. (1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法. (2)通项公式法可用于选择、填空题的求解. 针对训练 3.已知,,成等差数列,并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c), lg(a+c-2b)成等差数列. 证明:∵,,成等差数列,∴=+=,即b(a+c)=2ac. 要证lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列, 即证2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b),只需证lg(a-c)2=lg[(a+c)(a+c-2b)], 即证(a-c)2=(a+c)(a+c-2b),即证(a-c)2=(a+c)2-2b(a+c). ∵b(a+c)=2ac,∴(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=(a-c)2. ∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列. 题型(四)　等差数列项的设法与 求解 04 [例4]　已知三个数成等差数列,它们的和为21,它们的平方和为155,求这三个数. 解:法一　设这三个数首项为a1,公差为d, 则解得或 所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5. 法二　设这三个数为a-d,a,a+d,则 解得或所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5. [变式拓展] 本例条件变为:已知四个数成等差数列且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求这四个数. 解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则 又该数列是递增数列,所以d>0,所以a=±,d=, 所以此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. |思|维|建|模| 　　利用等差数列的定义巧设未知量,可以简化计算,其设元技巧为 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d,a+d,公差为2d; (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为a-d,a,a+d,公差为d; (3)四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d. 针对训练 4.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列的通项公式. 解:设等差数列的前三项分别为a-d,a,a+d, 由题意,得即解得 ∵等差数列{an}是递增数列,∴d=4. ∴等差数列的首项为3,公差为4.∴an=3+4(n-1)=4n-1. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若等差数列{an}的公差为d,bn=can(c为常数且c≠0),则 (　　) A.数列{bn}是公差为d的等差数列 B.数列{bn}是公差为cd的等差数列 C.数列{bn}是首项为c的等差数列 D.数列{bn}不是等差数列 √ 解析:由题意可知bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd,所以数列{bn}是以cd为公差的等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设{an}是等差数列,则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 (　　) A.充分不必要条件 　B.必要不充分条件 C.充要条件 　D.既不充分也不必要条件 √ 解析:由{an}是等差数列,可得d=a2-a1>0,所以数列{an}是递增数列,充分性成立;若数列{an}是递增数列,则必有a1<a2,即必要性成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在数列{an}中,已知a1=3,当n≥2时,-=,则a35=(　　) A. B. C. D. √ 解析:当n≥2时,-=,即是公差为的等差数列.因为=, 所以=+(n-1)=,=6,a35=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 (　　) A.1升 B.升 C.升 D.升 √ 解析:设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an},其首项为a1,公差为d,由条件得即 解得所以a5=a1+4d=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3,则 (　　) A.a2=3 B.an=2n-1 C.{a2n}是等差数列 D.{an}是递增数列 √ √ 解析: a2=S2-S1=3,故A正确;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+3-(n-1)2-3=2n-1,当n=1时,a1=S1=4,不适合上式,故B错误;{an}从第2项开始为等差数列,所以其偶数项构成等差数列,故C正确;因为a1=4>a2=3,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图,DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻的举步之比分别为,,,,且成首项为0.114的等差数列,若直线OA的斜率为0.414,则该数列公差等于(　　) √ A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:不妨设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则DD1=0.114,CC1=k1,BB1=k2, AA1=k3.由题意知=0.414,即=0.414. 设公差为d,∵k1=0.114+d,k2=0.114+2d,k3=0.114+3d, ∴=0.414,解得d=0.2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=4,且an=+(n≥2),则a2 024=(　　) A.4 049 B.4 047 C.2 025 D.2 024 √ 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+,即(-)(+)= +,由数列为正项数列可知, -=1.又 ==2,即数列{}是首项为2,公差为1的等差数列,即=n+1,则=n,n ≥2,当n≥2时,an=+=2n+1,所以a2 024=4 049. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)一支车队有15辆车,某天下午车队依次出发执行运输任务,第一辆车于12时出发,以后每间隔12分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车,并都在16时停下来休息,则截止到16时,最后一辆车行驶了____小时.  1.2 解析:因为每间隔12分钟=0.2小时发出一辆车,则最后一辆车出发的时间为12+(15-1)×0.2=14.8时,故最后一辆车行驶了16-14.8=1.2小时. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a1=47,a6=7,则a5等于_____.  15 解析:由2an=an-1+an+1(n≥2)知,数列{an}是等差数列,设公差为d, 由a6=a1+5d=47+5d=7,得d=-8,所以a5=a6-d=7-(-8)=15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列, 则这个正实数是_______.  或 解析:设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N*), 自身是x+y,则2y=2x+x+y,所以y=3x.由于0≤x<1,y∈N*, 当y=1时,x=,x+y=;当y=2时,x=,x+y=; 当y≥3时,x=≥1,不符合题意.综上所述,这个正实数是或. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数;(5分) 解:设这三个数依次为a-d,a,a+d, 则 解得所以这三个数为4,3,2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.(5分) 解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8, 所以d2=1,所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1, 故所求的四个数为-2,0,2,4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N*). (1)证明:数列是等差数列;(6分) 解:证明:由=====+, 得-=,n∈N*,故数列是等差数列. (2)求数列{an}的通项公式.(4分) 解:由(1)知=+(n-1)×=,所以an=,n∈N*. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)某城市的绿化建设有如下统计数据: 年份 2017 2018 2019 2020 绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4 如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:由表中数据可知,每年的绿化覆盖率成等差数列,设为{an},则a1=17,公差d=17.8-17=0.8,故通项公式为an=a1+(n-1)d=17+0.8(n-1)=0.8n+16.2,令0.8n+16.2>23.4,解得n>9,2 017+9=2 026.故至少到2026年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)·an(n∈N*),λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(4分) 解:因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,解得λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列,并说明理由.(6分) 解:不存在实数λ使得{an}为等差数列. 理由如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an, 得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在实数λ,使得{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)·(2-λ)=-24,a2-a1≠a4-a3,这与{an}为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{an}为等差数列. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $