4.1第1课时数列的概念与简单表示法课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的概念与简单表示法，涵盖定义、项、分类、通项公式及与函数的关系。课前通过微思考和微训练夯实基础，课堂以典例剖析和规律总结搭建从概念到应用的学习支架，衔接函数知识为后续学习铺垫。 其亮点在于注重概念辨析与逻辑推理，如通过微思考区分数列与函数图象差异，典例剖析引导学生由前几项抽象通项公式。规律总结提炼分类及解题方法，分层训练强化数学运算，助力学生提升数学抽象和逻辑推理核心素养，为教师提供系统高效的教学资源。

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示法 目 标 素 养 1.理解数列及其有关概念,提升数学抽象核心素养. 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,提升逻辑推理和数学运算核心素养. 3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式,提升逻辑推理核心素养. 4.理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.数列及其有关概念 一般地,我们把按照　确定的　顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用　an　表示.其中第1项也叫做　首项　.  数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 微思考1 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗? 提示:不是,因为顺序不同. 2.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为　an=f(n)　.与其他函数一样,数列也可以用表格和图象来表示.  微思考2 数列an=f(n)的图象与函数y=f(x)的图象有什么区别? 提示:数列{an}的图象是一系列孤立的点,函数y=f(x)的图象是连续的曲线或折线等. 3.数列的分类 4.通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 通项公式 . 微思考3 是不是所有数列都能写出通项公式?若数列有通项公式,则通项公式的表达式是唯一的吗? 提示:不是所有数列都能写出通项公式,若数列有通项公式,则通项公式的表达式不一定唯一. 微训练1 下列叙述正确的是(　　) A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n} C.数列0,1,0,1,…是常数列 答案:D 微训练2(1)数列2,3,4,5,…的一个通项公式为(　　) A.an=n B.an=n+1 C.an=n+2 D.an=2n 解析:(1)这个数列的前4项都比序号大1, 故它的一个通项公式为an=n+1. 课堂·重难突破 一 数列的概念及分类 典例剖析 1.下列数列既是无穷数列又是递增数列的是(　　) 答案:C 规律总结 处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观察数列的项数.若项数有限,则该数列是有穷数列,否则为无穷数列. (2)递增数列与递减数列 ①观察从第2项起,数列中每一项与其前一项的大小关系,依据定义进行判断; ②由数列的图象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(低),则图象呈上升(下降)趋势,即为递增(减)数列. 学以致用 1.下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?哪些是常数列? (1)2 018,2 020,2 022,2 024,2 026; (4)9,9,9,9,9,9. 解:(1)(4)是有穷数列;(2)(3)是无穷数列;(1)(2)是递增数列;(3)是递减数列;(4)是常数列. 二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 典例剖析 2.已知数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式. (1)1,3,7,15,31,…; (2)4,44,444,4 444,…; (5)1,2,1,2,1,2,…. 解:(1)观察发现各项分别加上1后,数列变为2,4,8,16,32,…,新数列的通项公式为2n,故原数列的通项公式为an=2n-1. (3)所给数列有这样几个特点: ①符号正、负相间; ②整数部分构成奇数列; ③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方; ④分数部分的分子依次大1. 由所给的几项可得数列的通项公式为 规律总结 1.根据数列的前几项写通项公式,体现了由特殊到一般的规律.解题时,一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系,具体思路为 (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理正、负号. (4)对于周期出现的数列,考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数的知识解答. 2.熟记一些基本数列的通项公式,如: (1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是an=(-1)n; (2)数列1,2,3,4,…的通项公式是an=n; (3)数列1,3,5,7,…的通项公式是an=2n-1; (4)数列2,4,6,8,…的通项公式是an=2n; (5)数列1,2,4,8,…的通项公式是an=2n-1; (6)数列1,4,9,16,…的通项公式是an=n2. 学以致用 2.写出下列各数列的一个通项公式: (1)9,99,999,9 999,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (4)3,5,9,17,33,…. 解:(1)各项加1后,变为10,100,1 000,10 000,…,新数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1,考虑到(-1)n+1具有转换正、负号的作用,故数列的一个通项公式为an=(-1)n+1·(2n-1). (4)3可看作21+1,5可看作22+1,9可看作23+1,17可看作24+1,33可看作25+1,…,故原数列的一个通项公式为an=2n+1. 三 数列的通项公式的应用 典例剖析 3.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出此数列的第4项和第6项; (2)-49是不是该数列的一项?如果是,是哪一项?68是不是该数列的一项呢? 解:(1)a4=3×42-28×4=-64, a6=3×62-28×6=-60. 互动探究 1.(变结论)若本例中的条件不变, (1)试写出该数列的第3项和第8项; (2)20是不是该数列的一项?若是,是哪一项? 解:(1)因为an=3n2-28n, 所以a3=3×32-28×3=-57,a8=3×82-28×8=-32. (2)令3n2-28n=20,解得n=10或n=- (舍去), 故20是该数列的第10项. 2.(变条件,变结论)若将例题中的“an=3n2-28n”变为“an=n2+2n-5”,试判断数列{an}的单调性. 解:∵an=n2+2n-5, ∴an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5) =n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5 =2n+3. ∵n∈N*,∴2n+3>0,∴an+1>an.∴数列{an}是递增数列. 规律总结 1.由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值. 2.判断一个数是否为该数列中的项,可令通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项. 3.在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})这一约束条件. 学以致用 3.已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍. (1)求这个数列的第4项与第25项; (2)253和153是不是这个数列的项?如果是,是第几项? 解得n=121, 故253是这个数列的第121项. 随堂训练 1.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是(　　) A.1,2,3,…,20 B.-1,-2,-3,…,-n,… C.1,2,3,2,5,6,… D.-1,0,1,2,…,100,… 答案:D 答案:A 解析:当n分别等于1,2,3,4时,数列{an}的前4项依次为1,0,1,0. 3.已知数列{an}满足a1>0,2an+1=an,则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上都不对 答案:B ∴an+1<an,∴数列{an}是递减数列. A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第31项 答案:B 答案:10 6.在数列{an}中,a1=2,a17=66,an是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)88是不是数列{an}中的项? 解:(1)设an=kn+b,k≠0, 故an=4n-2. (2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5∉N*. 故88不是数列{an}中的项. $