4.1数列的概念课件（第二课时）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的递推公式及前n项和公式，通过谢尔宾斯基三角形图形实例导入，引导学生从观察具体项到推导递推关系，衔接数列概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察图形规律，通过递推推理与累加验证发展数学思维，用分段通项等规范数学语言表达。结合斐波那契数列等实例，采用例题讲解、阅读思考与小结结合的教学方法，帮助学生构建知识体系，提升探究能力，也为教师提供结构化教学资源。

4.1数列的概念 （第二课时） 温州科技高级中学 张明 例1.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。 例题讲解 解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是 . 换个角度观察图中的4个图形，可以发现，a1=1,且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。 这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1, a2 =3 a1, a3 =3a2, a4 =3a3,由此猜测这个数列满足公式. 当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律，如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察。 讲课人：邢启强 递推公式 : 如果已知数列的第1项(或前几项)和和递推公式，就能求出数列的每一项。 知识点评 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 例2：已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项。 例题讲解 讲课人：邢启强 答：有时候数列的通项公式求不出来或很难求，于是退一步求其次求递推公式，因为进一步山穷水尽疑无路，退一步是海阔天空。 根据通项公式可以确定数列，但数列的通项公式不一定可以求出来。所以我们还可以通过递推公式来确定数列。所以确定数列有两种方式：一通项公式；二、递推公式。 答：因为数列是特殊的函数，而我们知道函数的解析式有时是求不出来的。 为什么要学习递推公式： 为什么数列的通项公式有时求不出来或很难求？ 例3：已知数列 中， 试写出数列的前4项 1,2,7,22 例题讲解 例4、已知 （1）写出数列的前5项； （2）由（1）中的前5项推测数列的通项公式并进行验证。 以上等式相加得 讲课人：邢启强 2若 又 , 求 的前5项. 1.写出下面各数列的前4项，根据前4项写出 该数列的一个通项公式 巩固练习 讲课人：邢启强 下面我们举个例子来说明有时数列的通项公式是求不出来或很难求的。但递推数列很好求。 （注：教材中的阅读与思考） 1202年，意大利数学家斐波那契（LeonardoFibonacci，约1170一约1250） 出版了他的《算盘全书》（LberAbaci).他在书中收录了一些有意思的问题，其中有一个关于兔子繁殖的问题： 如果1对免子每月能生工对小兔子（一雄一雌）。而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 在第1个月时，只有1对小兔子，过了1个月，那对兔子成熟了，在第3个月时便生下1对小兔子，这时有两对兔子，再过1个月，成熟的兔子再生1对小兔子，而另1对小兔子长大，有3对小兔子，如此推算下去，我们可以得到一个表格： 斐波那契数列 讲课人：邢启强 由此可知，从第1个月开始，每月末的兔子总对数是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 你发现这个数列的规律了吗？如果用表示第n个月的免子的总对数，可以看出（n>2) 这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列 讲课人：邢启强 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即Sn =a1+a2+...+an. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有 学习新知 例：已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？ 解：因为a1=S1=2， an=Sn-Sn-1= n2+n -[(n-1)²+(n-1)]=2n(n≥2), 并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立. 所以{an}的通项公式是=2n. 讲课人：邢启强 巩固练习 已知数列{an}的前几项和公式为Sn = , {an}的通项公式为 . 【解析】数列{an}的前几项和公式为Sn = , 当n=1时，a1=S1=1+4=5; 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(n2+4)-[(n-1)2+4]=2n-1. 又当n=1时，a1=5≠1, 讲课人：邢启强 巩固练习 已知数列{an}的前几项和公式为2Sn =3an-3, 则a4的值为 ( ). A.27 B.81 C.93 D.243 B 解：根据2Sn =3an-3,可得2Sn+1 =3an +1 -3, 两式相减得2an +1=3an +1-3an ,即an +1 =3 an · 当n=1时，2S1=3a1-3解得a1=3, 则a4=3a3=32a2=33a1=81. 讲课人：邢启强 1.根据下面的图形及相应的点数：写出点数构成的数列的一个通项公式并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数 讲课人：邢启强 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数。他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第6项。 讲课人：邢启强 假设某银行的活期存款年利率为0.35%：某人存人10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，如果不考虑利息税及利率的变化，用，表示第n年到期时的存款余额，求，，及。 解：略 讲课人：邢启强 小结： 1. 通项公式与递推公式区别 讲课人：邢启强 备课笔记 今天备选择性必修第二册《第四章 数列》第一节《4.1数列的概念》，想起两个人。一我高中政治老师林端强老师，此课指导思想是马克思主义物质与意识或实践与理论的辩证关系。现在这些知识百度搜索就有，但林老师是我的引路人，谢谢林老师了。我高中毕业30年了，但他教的我都记得。 二山东省滕州市第一中学邢启强老师。我在他制作的课件的基础上再加工完善。这引出一个问题，我有没有侵犯邢启强老师的著作版权。我不懂法律，所以不知，但找到一个理由表明我不侵权。 邢老师的课件是我生产产品的原材料，我买来原材料再加工成新品出售，这是普遍正当的产品生产方式。相当于苹果公司有自己一套手机设计理念、技术，再买来配件，组合加工成苹果手机。我的做法跟苹果公司设计苹果手机谋取利润一样。 但我觉得我要索取到邢启强老师的微信号，把我加工成的课件传给他，让他也在我基础上再进步，共同推动我国高中数学教育发展。我们俩相互学习、相互支持，共同进步。 讲课人：邢启强 有的人是这样谋利的，即买来课件，然后定价比原课件低，再上传到网络供人下载谋利。我觉得这是侵犯原著者版权。为了避免这种情况的发生，我们必须做到两点。一新课件定价要比原课件高。二新课件是对原课件的升级换代而不是原封照搬。如何表明新课件是对原课件的升级换代？就像苹果手机5升级到苹果手机6，那要让原作者和专家来鉴定。并且原作者也可以对我的课件进行升级换代，欢迎邢启强老师的鬼斧神工和妙笔生花。 其实我制作课件不是以赚钱为目的，就是看看自己教育教学影响力有多大。成功了，可以请邢启强老师撮一顿。 最后，其实每个人制作的课件都是适合自己的教学风格，别人就算下载使用也需要个性化修改，修改到适合自己的风格为止。所以只要一个人有责任心就不存在侵权问题。 讲课人：邢启强 $