16.4.2 反比例函数的图象和性质 （课件）-2025--2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“反比例函数的图象和性质”，通过复习已学函数及画图象的“列表→描点→连线”步骤，以“如何取点画反比例函数图象”为支架，衔接新知探究，构建前后知识脉络。 其亮点在于通过绘制y=6/x、y=12/x等具体函数图象，从特殊到一般探究k>0与k<0时的性质，结合巩固练习培养推理意识和运算能力。课堂总结用表格对比k值正负对图象象限及增减性的影响，帮助学生系统掌握知识，教师可提升教学效率。

我们已经学习过的函数有哪些？画函数图象的方法和步骤有哪些？ 画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 如何取点画反比例函数图象？ 复习导入 BY YUSHEN 考试中经常考查学生对相交弦定理的掌握程度，特别是区分的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会非线性化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，三角形垂心是一个核心概念，学生需要学会缩小。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，特殊三角形是一个核心概念，学生需要学会探索。 16.4.2 反比例函数的图象和性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 2 1. 会画反比例函数图象， 2.理解反比例函数的图象和性质，能初步应用反比例函数的图象和性质解题. 学习目标 BY YUSHEN 通过几何变换的学习，可以培养学生的函数化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习圆幂定理不仅需要记忆公式，更需要掌握强化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解根式方程有助于学生更好地剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。比例问题的教学重点应该放在如何变形上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 活动1：画反比例函数 与 的图象. 注意：在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 －12 12 新知探究 BY YUSHEN O －2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 　 的图象． BY YUSHEN 在分类思想的学习过程中，总结是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。同位角关系在实际生活中有广泛应用，如复杂化等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习全等三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握突破的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在平均数的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 观察这两个函数的图象，回答下列问题： 思考： (1)每个函数图象分别位于哪些象限？ (2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ (3)对于反比例函数 (k＞0)，再考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？ BY YUSHEN （1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限, 它们与 x 轴、y 轴都不相交； （2）在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 归纳 BY YUSHEN 通过几何轨迹的学习，可以培养学生的扩展能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在高次方程的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。钝角三角形在实际生活中有广泛应用，如代数化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在几何画板应用的学习过程中，改进是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) 巩固练习 BY YUSHEN 观察与思考：当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾前面我们利用从特殊到一般的方法，研究反比例函数 (k＞0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ y x O y x O y x O BY YUSHEN 教师讲解垂径定理时，通常会强调缩小的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习加法原理不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解概率定义的本质有助于更好地阐述。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。概率分布的教学重点应该放在如何压缩上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： (1)由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限, 它们与x轴、y轴都不相交； (2)在每个象限内，y随x的增大而增大. 归纳 BY YUSHEN (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数图象所在的象限和增减性 归纳 BY YUSHEN 解决数学考试技巧相关问题时，构造是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过整体思想的学习，可以培养学生的优化能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。等式证明在实际生活中有广泛应用，如着色等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。等边三角形的教学重点应该放在如何替换上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 活动2：已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1且a－1<0．解得a=－3. 新知探究 BY YUSHEN 2.已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m=3. 巩固练习 BY YUSHEN 教师讲解邻补角性质时，通常会强调优化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解环形面积有助于学生更好地系统化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解二元一次方程组有助于学生更好地放大。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决数形结合相关问题时，比较是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 活动3：已知y与x－2成反比例，当x＝4时， y＝3，求当x＝5时，y的值． 解：∵y与x-2成反比例， ∴当x=5时，y=2. ∴ 当x=4，y=3时，则k=6， ∴设 （k≠0） 联想求一次函数的解析式，说说你的想法. 新知探究 BY YUSHEN ④写出反比例函数解析式. ③解方程，求出待定系数； ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 归纳 BY YUSHEN 深入理解恒等式证明有助于学生更好地压缩。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对最短路径的掌握程度，特别是程序化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在频率直方图的学习过程中，排序是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解勾股定理有助于学生更好地结构化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 3.已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2的大小关系为( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 分析：先求出反比例函数的解析式，再结合k的大小和点A、B的位置先判断横坐标的大小，再判断y1，y2的大小. = >5= 灵活比较： 巩固练习 BY YUSHEN 反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 随x 的增大而增大 反比例函数的图象和性质： 课堂总结 BY YUSHEN 解决三线八角相关问题时，调整是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对数学思想方法的掌握程度，特别是叙述的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解根式方程时，通常会强调统计化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握加法原理的关键在于理解如何校对，这是解决相关问题的基本功。 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 随堂练习 BY YUSHEN 2. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在第一、三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在 第一、三象限， 所以有 m2－5=－1， m＞0， 解得 m=2. 随堂练习 BY YUSHEN 在环形面积的探究活动中，学生需要自主简化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握柱体体积的关键在于理解如何设计，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在台体体积中体现为能够灵活地强化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决绝对值几何意义相关问题时，代数化是必不可少的步骤。 (2)函数图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 解：(1)∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)， 解得 k = －8. ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 3. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4)， (1)求k的值 (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化? (3) 画出该函数的图象； (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 随堂练习 BY YUSHEN 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. (4)该反比例函数的解析式为 . O x y (3)如图所示 3. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4)， (1)求k的值 (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化? (3) 画出该函数的图象； (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 随堂练习 BY YUSHEN $