期末复习专题12 空间中的平行关系专项训练【8大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦空间平行关系，以“判断-证明-性质-计算”为逻辑主线，系统覆盖线面、面面平行的判定与性质应用，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断线面、面面平行|5题|选择（含多选）、填空|从概念辨析到几何体中平行关系判断，夯实基础| |证明线面平行|5题|解答题|通过中点、构造平行四边形等方法，训练线面平行判定定理应用| |补全线面平行条件|5题|存在性问题|结合几何体动态性，深化对线面平行条件的理解| |线面平行性质|6题|证明、计算|运用性质定理推导线线平行，衔接逻辑推理与空间想象| |证明面面平行|4题|解答题|通过线面平行证面面平行，构建平行关系转化链条| |补全面面平行条件|5题|存在性问题|综合线面、面面平行判定，提升条件探究能力| |判断线段比例/位置|5题|选择、解答题|由线面平行性质推导比例关系，强化几何量关联| |求线段长度|5题|选择、填空、解答题|结合性质与几何计算，实现平行关系向度量问题转化|

专题12 空间中的平行关系 考点一 判断线面、面面平行 考点二 证明线面平行 考点三 补全线面平行的条件 考点四 线面平行的性质 考点五 证明面面平行 考点六 补全面面平行的条件 考点七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 考点八 由线面平行求线段长度 考点一 判断线面、面面平行 1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】结合空间线面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项，通过举反例排除错误选项得到正确结果. 【详解】对于A：若，，可能落在平面内，此时不满足，A错误； 对于B：若，，与可能是异面直线，不一定平行，B错误； 对于C：若，，可能落在平面内，此时不满足，C错误； 对于D：该命题就是线面平行的性质定理，D正确. 2．如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 【答案】① 【分析】根据线面平行、线线平行、面面平行有关定理对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为，，平面， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面，故①正确； 由于， 则四边形是梯形， 的延长线必与直线相交，故④错误； 由于的长度不确定，所以与平面的位置关系不确定，②错误. 由于的长度不确定，所以与的位置关系不确定，③错误. 3．已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】D 【详解】 平面，平面， 平面，故A正确； 平面，平面， 平面，故B正确； 因为平面，平面，平面平面， 平面，平面， 平面，故C正确； ∵，，∴， ，正方体中与的夹角为， 与夹角为，不垂直，故D错误． 4．已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题： ①若，，则或； ②若，，则； ③若，，，，则； ④若，，，则或与异面 以上命题正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【详解】对于①，若，，则或，所以①正确； 对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误； 对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误； 对于④，若，，，则或与异面，所以④正确. 5．（多选）在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据线线平行、线面平行、面面平行的有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面， 由于平面，所以平面，A选项正确. B选项，连接，根据正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以, 因为分别是的中点，所以， 所以，所以B选项正确. C选项，由于分别是的中点，所以， 由于平面,平面， 所以平面，C选项正确. D选项，由于，，， 所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误. 考点二 证明线面平行 6．如图，在四棱锥，，点E在AD上，且．若F为线段PE的中点，求证：平面PCD．    【答案】如图，设M为PD的中点，连接FM，CM， 因为F是PE中点，所以，且， 因为， 所以，且， 所以，且， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD． 【详解】略 7．四棱锥中，与为等腰直角三角形，，为的中点．为的中点，为的中点，证明：平面PAB；    【答案】取的中点，的中点，连接、、， 因为与为等腰直角三角形，， 不妨设，所以，所以， 因为、分别为、的中点，所以，所以， 因为，所以，所以，且， 所以四边形FGMN为平行四边形，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB. 【分析】取的中点，的中点，连接、、，由三角形中位线性质证得，再由线面平行的判定定理证明即可. 【详解】略 8．如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【详解】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 9．如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 10．如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1） 在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2） 若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 考点三 补全线面平行的条件 11．如图，在长方体中，，，点为棱上一点. (1)试确定点的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)点为棱的中点，理由见解析 (2) 【分析】（1）点为的中点，连接中点与点，则为中位线，则，根据线面平行判定即可求解； （2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解. 【详解】（1） 点为的中点，设与相交于点，连接，则为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 （2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 12．如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【详解】（1）因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2）设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 13．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）由条件求三棱锥的底面的面积和高，再由锥体体积公式求结论； （2）先证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （3）提出猜测线段上存在点P，使得平面，且，再结合线面平行判定定理证明结论， 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 14．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连和，证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定，即可证得平面.； （2）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，结合面面平行的性质，即可证得平面． 【详解】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 15．如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 考点四 线面平行的性质 16．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连、，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定即可证明； （2）先通过线面平行的判定证得面，再利用线面平行的性质证得. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 17．如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）存在，；（ii）存在， 【分析】（1）由得平面，再由线面平行的性质定理，结合两平面交线，证得； （2）（i）连接交于，利用的比例关系和线面平行判定，得到的值； （ii）根据梯形底面积比求两部分体积比，再结合棱锥体积公式列方程，解得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. （2）（i）存在点，使得平面，此时. 证明如下：连接交于点，连接 因为，且，所以，又因为，， 所以，因为平面，平面，所以平面. （ii）存在，且，理由如下： 记四棱锥的体积是. 由，得，故， 即. 设，则. 令，得，解得. 故存在点，当时，平面将四棱锥分为体积相等的两部分. 18．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1），平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作交于， 设，平面，平面， 平面平面，， 在梯形中，，， ，，，即， 可得 ，故. 19．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 【答案】(1) (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用侧面积是底面积两倍的已知条件结合勾股定理建立方程，解出底边长从而得出斜高SE； （2）直接将底面积与侧面积相加得出表面积，并利用底面积和已知的高代入棱锥体积公式计算体积； （3）通过底面正方形对边平行得出直线平行于平面，再利用线面平行的性质定理推导出交线与已知底边平行. 【详解】（1）设底面ABCD的边长为a，因为O为底面中心，E为BC的中点，所以且， 底面积为，已知，在中，， 侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积，体积. （3）由题意得底面为正方形，则平面，平面，所以平面， 且平面，平面平面，则. 20．如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行； （2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 21．在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 考点五 证明面面平行 22．如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 23．如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，证得平面和平面，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面. （2）求得正方体体积为，利用锥体和台体的体积公式，分别求得三棱锥的体积为和三棱台的体积为，得到夹在平面与平面之间的几何体的体积，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，因为分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面DBEF，所以平面； 连接，则，且， 可得四边形为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面， 所以平面平面. （2）解：由正方体的棱长为2，可得正方体体积为, 三棱锥的体积为, 三棱台的体积为 则夹在平面与平面之间的几何体的体积为, 所以平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比为：. 24．如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. （2）取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 25．如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【分析】（1）利用中位线可证，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用中位线可证,结合空间平行关系的转化可证面面平行； （3）①利用线面平行推出线线平行；②根据已知条件推出底面及高的比，再根据四面体体积公式计算求解． 【详解】（1）证明：连接EC，   ，， ，， 四边形是平行四边形， O为的中点， 又F是的中点， ， 又平面，平面， 平面BEF． （2）证明：F，H分别是的中点， ， 又平面PAD，平面PAD， 平面PAD， 又O是的中点，H是的中点， ，平面，平面， 平面， 又在平面内相交于点H， 平面平面． （3）①证明：，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面直线l， ． ②且， ， 又E，H分别为的中点， ，且三棱锥与三棱锥高之比为， ． 考点六 补全面面平行的条件 26．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为平面平面， 所以平面， 又平面平面平面，所以. (2)取中点，连接， 则在中，， 又在中，， 则， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. (3)存在，为中点；当为中点时，平面平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，， 又平面平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面 ， 所以平面平面. 【分析】（1）先证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过构造辅助线，在平面找到与平行的线，利用线面平行的判定定理可证明. （3）构造中点，面面平行的判定定理证明平面平面，可确定的位置. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 27．如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为，证明见解析 【分析】（1）连接并延长，与的延长线交于点，利用相似比证明，然后利用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理证明即可. （2）结合平行线比例相等，利用线面平行的判定定理证得平面，由（1）平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 28．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    29．如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】过作∥，交于，连接，，则可得，由已知可得，则得，所以，在中可求得，所以∥，然后利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 30．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，E为PC中点，证明见解析 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可； （2）先取点，再应用面面平行判定定理证明即可； 【详解】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，    因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以，， 又因为N为BC的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以， 又因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB． （2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB． 证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，， 所以且， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为E，M分别为PC，PD中点，所以， 所以， 因为平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 同理可知平面PAB，又因为平面平面， 所以平面平面PAB．    考点七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 31．在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，先通过线面平行得到线线平行，证明四边形是平行四边形，求出，再通过梯形的中位线得到，从而找到，即. 【详解】如图所示，在平面内，作，与交于，连接,则,所以，共面，因为平面CDE，平面平面CDE,由线面平行的性质定理得,所以四边形是平行四边形，所以， 设，，因为，所以，则，因为E是棱的中点，所以， 因为是梯形的中位线，所以，所以，所以，所以. 32．在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）因为是平面与平面的交线，由平面基本事实即可得E，O，F三点共线； （2）由线面平行的性质结合条件可得，易得为重心，则，进而可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面. 同理平面，所以平面平面. 又因为平面，平面，所以. 即E，O，F三点共线. （2）若四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 在正三棱锥中，平面， 则为正三角形的中心，即为重心. 连接并延长交于点Q，则. 由（1）可知，.又，则. 所以. 33．在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理列式求解. 【详解】在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接， 由平面，平面平面，平面， 得，所以. 34．在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理，和线线平行，线段对应成比例，即可求解. 【详解】 连接，与交于点，连接，交于G，连接， 由于平面，平面，平面平面， 所以，由于O是的中点， 所以， 过F作，交于H，则， 因为，所以， 所以. 35．如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 考点八 由线面平行求线段长度 36．如图所示，一平面四边形与空间四边形对角线都平行，且交空间四边形边分别于． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)若，求平行四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)2. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）由（1）的结论，结合平行公理推理得证. （3）利用平行线分线段成比例定理计算得解. 【详解】（1）依题意，平面，平面平面，面， 所以. （2）由（1）知，同理，则，同理， 所以四边形为平行四边形. （3）由为上一点，令，由，得， 则，同理， 所以的周长为. 37．（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 38．如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【分析】根据点的位置关系求出线段 AC 的长度；利用线面平行的性质定理得到，利用对应边成比例即可求出 EG 的长度. 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 39．如图，四棱锥 的所有棱长都等于 5，点 在线段 上，且满足 ，过 三点的平面与交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．16 C．14 D． 【答案】A 【分析】通过四棱锥 的所有棱长都等于 5，确定其为正四棱锥，再结合余弦定理求得，即可求解. 【详解】四棱锥 的所有棱长都等于 5， 所以四棱锥为正四棱锥， 所以是正方形， 因为；又平面，平面， 所以平面； 又平面平面， 所以，所以； 因为，所以，所以； 中，，所以； 同理， 所以四边形DEFC的周长为， 故选：A． 40．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将五面体拆成三棱锥和四棱锥，根据正方体的结构特征，以及锥体的体积公式，即可求解； （2）设，，证得，在矩形中，求得的长，根据，得到为平行四边形，结合. 【详解】（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥， 在三棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，，且为的中点， 所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为， 在四棱锥中，可得， 又由正方体中，平面，且为的中点， 所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为， 所以五面体的体积. （2）解：设，，则平面平面， 又因为平面，且平面，所以， 在矩形中，由，可得， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ， 所以. 1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则或是异面直线 【答案】D 【详解】A：当时，可以平行、相交、也可以异面，所以本选项结论不正确； B：当，时，直线可以在平面内，所以本选项结论不正确； C：当，，时，可以相交，所以本选项结论不正确； D：因为， 所以直线没有公共点，因此或是异面直线，所以本选项结论正确. 2．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 3．若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】根据可知直线在平面内或直线与平面相交， 故是的必要不充分条件． 4．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】依据空间中线面平行、面面平行的判定定理与性质定理，逐一分析各选项的正误. 【详解】对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误； 对B：若，，则或，故B错误； 对C：若，，，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对D：若，，则与的位置关系为平行或相交，故D错误. 5．如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，建立空间坐标系，求出各点和各线段的坐标，求出平面的法向量，利用向量法表示线面平行得出，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】如图设立空间坐标系，由题意可知： ， ，设， 则 ， 设平面的一个法向量为， 由，即，令，得， 又，PE平面， 所以，解得，所以， 故 ， 所以. 故选：C. 6．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与平面平行性质可得：为使//平面，则//，据此可得答案. 【详解】若//平面，因平面，平面平面，则//，从而. 7．（多选）下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平面不平行 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】BCD 【分析】将正方体的平面展开图还原为立体图形，确定各顶点在正方体中的相对位置，利用线面平行、面面平行的判定定理逐一判断选项。 【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体． 因为在正方体中平面平面，因为平面， 所以平面，故A不正确； 同理可得：平面，故B正确； 如图②所示，连接， 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面，平面， 则平面平面， 同理可证平面平面，所以CD正确． 8．（多选）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【分析】在正方体中，易得，，结合线面平行的判定即可判断AC；由直线与平面的位置关系可得与平面相交，据此可判断BD． 【详解】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 9．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则______. 【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 10．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 11．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 12．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 空间中的平行关系 考点一 判断线面、面面平行 考点二 证明线面平行 考点三 补全线面平行的条件 考点四 线面平行的性质 考点五 证明面面平行 考点六 补全面面平行的条件 考点七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 考点八 由线面平行求线段长度 考点一 判断线面、面面平行 1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2．如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 3．已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 4．已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题： ①若，，则或； ②若，，则； ③若，，，，则； ④若，，，则或与异面 以上命题正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 5．（多选）在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 考点二 证明线面平行 6．如图，在四棱锥，，点E在AD上，且．若F为线段PE的中点，求证：平面PCD．    7．四棱锥中，与为等腰直角三角形，，为的中点．为的中点，为的中点，证明：平面PAB；    8．如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 9．如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 10．如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 考点三 补全线面平行的条件 11．如图，在长方体中，，，点为棱上一点. (1)试确定点的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 12．如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 13．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 14．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 15．如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 考点四 线面平行的性质 16．如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 17．如图所示，已知为梯形，，，为线段上一点. (1)设平面平面，证明：； (2)在棱上是否存在点 （i）使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （ii）使得平面将四棱锥分成体积相等的两部分，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 19．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为O. (1)求的长度 (2)求正四棱锥的表面积和体积； (3)设平面平面，求证：； 20．如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 21．在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 考点五 证明面面平行 22．如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 23．如图，在正方体中，分别是棱的中点，. (1)求证：平面平面； (2)已知正方体的棱长为2，求平面与平面把正方体分成的三部分的体积之比. 24．如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 25．如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 考点六 补全面面平行的条件 26．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 27．如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 28．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 29．如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 30．如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．    (1)求证：平面PAB； (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 考点七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 31．在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 32．在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 33．在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（   ） A． B． C． D． 35．如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 考点八 由线面平行求线段长度 36．如图所示，一平面四边形与空间四边形对角线都平行，且交空间四边形边分别于． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)若，求平行四边形的周长． 37．（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 38．如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 39．如图，四棱锥 的所有棱长都等于 5，点 在线段 上，且满足 ，过 三点的平面与交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．16 C．14 D． 40．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点. (1)求五面体的体积； (2)若在线段上，平面，求的长度. 1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则或是异面直线 2．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 3．若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平面不平行 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 8．（多选）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 9．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则______. 10．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______． 11．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 12．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $