期末复习专题14 外接球与内切球体积与表面积专项训练【10大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 以十大模型为核心，系统构建外接球与内切球问题的解题方法体系，通过模型归类与公式提炼实现知识逻辑的递进式呈现。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |墙角模型等10大模型|每模型5题，含选择、填空、解答|提炼各模型核心公式（如墙角模型\(2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)）及补形、构造法|从特殊几何体（如直棱柱、圆锥）到复杂结构（如对棱相等、面面垂直），按几何特征递进，形成“模型识别-公式应用-变式拓展”逻辑链|

专题14 外接球与内切球体积与表面积 考点一 两两垂直模型（墙角模型） 考点二 汉堡模型（直棱柱、圆柱、侧棱垂直底面的棱锥） 考点三 斗笠模型（圆锥、正棱锥） 考点四 补图法（对棱相等模型） 考点五 面面垂直模型（切瓜模型） 考点六 矩形模型（两直角三角形拼接在模型） 考点七 台体中的外接球 考点八 面面夹角模型（二面角模型） 考点九 内切球的问题 考点十 棱切球的问题 考点一 两两垂直模型（墙角模型） 1．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 2．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，、、两两垂直，，，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】将三棱锥补形为一个长方体，则球的直径即为长方体的体对角线，再利用球的表面积公式计算即得答案. 【详解】如图所示： 将三棱锥补形为一个长方体，则球的直径即为长方体体对角线. 设外接球的半径为R 即，故. 故答案为：. 3．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，得到正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直， 可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内， 可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球， 设正三棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 4．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积. 【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设，，， 则，，， 解得，，，. 则长方体的对角线的长为. 所以球的直径是，半径长， 则球的表面积， 故选：C. 5．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱柱放入正方体中，借助正方体的外接球求解长度，即可根据体积公式求解. 【详解】由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. 由，得. 由于平面，所以该三棱锥的体积为. 故选：B 【方法技巧】墙角模型（三条棱两两垂直） 公式，即 考点二 汉堡模型（直棱柱、圆柱、侧棱垂直底面的棱锥） 6．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的外接圆半径，再由线面垂直关系求出外接球半径，可得其表面积. 【详解】在中，设其外接圆半径为， ，，， 根据正弦定理，所以. 因为平面，所以外接球的球心到平面的距离. 设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得， 因此外接球表面积. 7．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【分析】设上下两个底面的中心分别为，连接，则直三棱柱外接球的球心为的中点，连接，在中可求得球的半径，从而可求出球的表面积. 【详解】 设上下两个底面的中心分别为，连接， 因为所有棱长为2的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以直三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以直三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故答案为： 8．在三棱锥平面，则此三棱锥的外接球的表面积为_______． 【答案】 【分析】先求等边三角形外接圆半径，根据几何关系确定外接球球心位置，列勾股定理方程确定该三棱锥的外接球的半径即可. 【详解】 因为，所以为等边三角形， 所以，等边外接圆的半径为， 如图，三棱锥外接球球心为，半径为， 设球心到平面的距离为，外接圆圆心为， 连接，则平面， 取中点，所以， 又平面，所以，则四边形是矩形， 所以在和中， 由勾股定理可得，解得：，表面积. 故答案为： 9．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式，即可求解； （2）根据条件，求出外接球的半径，即可求解； （3）取的中点．连接，根据条件得，再由线面平行的判定定理，即可求解. 【详解】（1）因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 （2）取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. （3）取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． 10．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析出三棱柱外接球的球心的位置，并求出到上、下底面的距离，由正弦定理求出外接圆的半径，即可根据求出球的半径，再根据球的体积公式计算即可得解. 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 【方法技巧】汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 公式 考点三 斗笠模型（圆锥、正棱锥） 11．已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 12．（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 【答案】AC 【分析】对于选项，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于选项，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于选项，求出内切球半径，即可得出内切球表面积． 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得， 圆锥的高， 选项A：圆锥侧面积，故A正确； 选项B：圆锥体积，故B错误； 选项C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上， 由勾股定理得，，即，解得， 圆锥的外接球的表面积，故C正确； 选项D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形， 则，解得， 内切球的体积为，故D错误． 13．若正四面体的表面积为，则①该正四面体的棱长为1；②该正四面体的高为③该正四面体的体积为④该正四面体的外接球表面积为正确的序号有__________. 【答案】①③④ 【分析】设该正四面体的棱长为，根据正四面体的性质结合已知得到的值； 作平面，在直角三角形中利用勾股定理得到；根据锥体的体积公式即可得解；将该四面体放入正方体中，四面体的外接球即为正方体的外接球，从而求出外接球的半径，利用球的表面积公式求解即可. 【详解】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，①正确； 作平面，垂足为，则为的重心， 连接延长交于中点， 则有， 高为，②错误； 由①和②的分析可知该正四面体的体积为，③正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为， 且四面体的外接球即为正方体的外接球，其半径为， 表面积为，④正确. 14．已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 【答案】 【分析】设为三棱锥的高，得到球的球心在上，结合三棱锥的几何特征和球的截面的性质，求得外接球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】因为三棱锥为正三棱锥，又， 所以，又， 设为三棱锥的高，则其外接球的球心在上，且为等边的中心， 如图所示，设外接球的半径为，延长交于点，则， 在等边中，可得，则， 所以， 所以，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：.    15．已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】设顶点在底面上的射影为，先求得球的半径为再分球心在高上和不在高两种情况分别求出高,进而得棱锥的体积. 【详解】如图，设四棱锥的顶点在底面上的射影为， 则为四棱锥的高． 四棱锥为正四棱锥， 点为底面正方形的中心，且平面． 由正四棱锥的对称性可知，球心在直线上， ． 设球的半径为 球的表面积为，解得． 又，即． 当球心在高上时，， 底面的面积为 正四棱锥的体积． 当球心不在高上时，， 正四棱锥的体积． 故C正确． 【方法技巧】斗笠模型（圆锥、顶点的投影为底面的外心(正棱锥)） 考点四 补图法（对棱相等模型） 16．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积. 【详解】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 17．已知三棱锥的四个顶点均在球O的表面上. (1)若，求球O的表面积； (2)若是边长为的等边三角形，，球O的半径为，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将四面体补成一个长方体，使得四面体的条棱为长方体的条对角线，设长方体棱，，，通过三棱锥的棱长求得的值，进而根据求解外接球的半径，即可求解外接球表面积. （2）首先根据线面垂直及面面垂直的判定定理，得出球心与点所在平面垂直于底面，在根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角与，最后分类讨论点的位置计算三棱锥的高即可. 【详解】（1）如图，因为，所以可以将四面体补成一个长方体，使得四面体的条棱为长方体的条对角线， 设长方体棱，，，球的半径为， 由此可得：，即得：， 由，解得：， 因此可得：球的表面积为 （2） 如图，取，的中点分别为，，设三棱锥的外接球球心为，半径为， 作于，连接，，， 易知，，、平面， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面， 作于点，平面平面，则平面， 故三棱锥的体积， 由题意可知，，可得：， ， ，， 若在直线的下方，则 ， 又，解得：， 若在直线的上方，则 ， 又，解得：， 综上所述三棱锥的体积或. 18．已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理得，再补成正方体得外接球得半径，最后根据球体积公式得结果. 【详解】因为所以，， 即， 因为，，所以平面，同理可得平面， 所以可作为边长为1的正方体的四个顶点， 因为正方体的外接球直径为，所以外接球的半径为， 因此球的体积为， 故选：A. 19．在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求解，把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，进而可求解. 【详解】 设，取的中点，连接， 则､平面，所以平面， 且，所以的面积为， 则三棱锥的体积为，所以， 把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，如下图所示： 设长方体的长､宽､高分别为，球的半径为，则 所以，所以， 所以球的表面积为. 故选：A. 20．已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为___________． 【答案】 【分析】由题意知，该三棱锥为正三棱锥,取底面的中心M，连接AM，则球心O落在AM上，求出棱锥的高，由此得到关于外接球半径的方程求解即可. 【详解】如图: 由题意知，底面为等边三角形，设M为其中心， 则， 又， 所以该三棱锥为正三棱锥， 所以， 所以外接球半径， 则外接球球心在AO的延长线上， 所以，则， 所以在中，， 即，解得， 所以外接球表面积为 故答案为：. 【方法技巧】对棱相等模型（补形为长方体） 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 公式 考点五 面面垂直模型（切瓜模型） 21．在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明出，可知为球的直径，求出球的半径，利用球体的体积公式可求得球的体积. 【详解】因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 取线段的中点，连接、，则， 故为球的直径，故球的半径， 所以球的体积为 . 故选：C. 22．已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，若平面平面，，，，则球的体积为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外接球的性质先找到球心，分别取、的外心作所在平面的垂线，两条垂线的交点即球心，再计算出球半径，即可求出球的体积. 【详解】由于，， 所以，， ，， 又，故为等边三角形， 分别取、的外心作所在平面的垂线, 两条垂线的交点即球心， 连接交于点,连接,则点为中点，由于为等边三角形, 那么,由于平面平面， 平面,平面平面, 所以，平面， 同理，可得 平面 又平面,平面 所以，四边形为矩形， 设、的外接圆半径分别为，那么, ， 设球为，则, . 23．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 【答案】 【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，得到点O即为该球的球心，取线段的中点E，得到四边形为矩形，分别求得，结合球的截面圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O， 则由外接球的性质知，点O即为该球的球心， 取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以四棱锥外接球的表面积为. 24．如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 【答案】 【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径. 【详解】 因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为， 由正弦定理可得，解得， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 25．在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 【方法技巧】切瓜模型（两个面互相垂直） 考点六 矩形模型（两直角三角形拼接在模型） 26．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 27．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 28．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】确定PC的中点O是鳖臑外接球的球心，结合外接球表面积得外接球半径，进而求得，再证明，进而结合勾股定理及基本不等式求得，再根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等， 所以点O是鳖臑外接球的球心，三棱锥的外接球的表面积为， 则外接球半径，所以，又，所以， 而，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的体积为， 则三棱锥的体积的最大值为. 故选：D 29．我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定球体积最大的特征，再利用三棱锥的体积等于其表面积与内切球半径积的三分之一求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面， 可得， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以， 设此时球的半径为R，则， 即，解得， 所以球的体积V的最大值为. 故选：C 30．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得平面，将鳖臑补全成长方体，进而可求外接球半径，从而得解. 【详解】根据题意，平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将鳖臑补全成长方体，如图， 则此四面体的外接球的半径为， 其外接球的表面积为. 故选：B. 【方法技巧】矩形模型（两直角三角形拼接在一起(斜边相同)模型） 考点七 台体中的外接球 31．已知某圆台的上底面圆的半径，下底面圆的半径，且该圆台的上、下底面圆周上的所有点都在球O的球面上．若该圆台的体积是，则球O的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆台的体积公式及球的表面积公式求解即可. 【详解】设圆台的高为，圆台外接球的半径为，如图，    则， 由， 解得， 设，则， 因为, 所以，解得， 所以, 所以. 32．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____． 【答案】 【分析】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为，设，由球的性质可列方程，求出半径后再由球的表面积公式即可得解. 【详解】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为， 在上下底面圆周上分别取点为，连接，如图， 因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为， 所以，， 设，则，所以， 所以，解得，所以该球的半径， 所以该球的表面积. 故答案为：. 33．若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 【答案】 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示， 则其外接球球心在直线上， 设，，设， 因为该棱台的体积为， 所以， 所以，， 当球心在线段延长线时，由，设， 可得，即， 解得， 所以外接球半径即， 当球心在线段上时， 同理可得，即， 解得舍去， 所以其外接球表面积为. 34．已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 【答案】或 【分析】由棱台的结构特征结合多面体的外接球问题求解即可. 【详解】如图所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为， 则由正弦定理，得， 即． 因为，所以． 设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即． 设球心到上､下底面的距离分别为， 所以， 故（图1）或（图2）， 即或，解得或， 所以的面积为或． 35．一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理求出上、下底面外接圆的半径，设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为，利用勾股定理得到，即可得到，再由基本不等式求出，最后由体积公式计算可得. 【详解】因为正三棱台的上､下底面边长分别为1和2， 所以上底面外接圆的半径， 下底面外接圆的半径， 设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为， 则，则， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以外接球体积的最小值为. 故答案为： 考点八 面面夹角模型（二面角模型） 36．已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出四边形外接圆的直径，再利用四棱锥外接球的特征求出球半径即可. 【详解】由，点均在球的表面上， 得四边形内接于圆，则，即， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则，又， 因此二面角的平面角为，即， 在中，由，得， 四边形外接圆的直径，即外接圆的直径， 由平面，得四棱锥外接球的半径 所以四棱锥外接球的表面积为. 37．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据面面垂直的性质，结合直角三角形的性质判断球心的位置，进而列方程求得半径，再利用球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以是以为斜边的等腰直角三角形， 设的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且. 又因为二面角的大小为， 所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设为， 如图，连接，设球的半径为， 所以有， 所以三棱锥外接球的表面积为. 38．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，设外接圆的圆心为，设三棱锥外接球的球心为，连接，，设，过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，利用题中条件分别求得，,4，进而，，由，列式，解得，再根据球的表面积公式即可得答案． 【详解】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 39．已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______. 【答案】 【分析】根据题意作出图形，根据外接球定义和几何体的特征作出外接球球心位置，由得到四点共圆且圆的直径为，由余弦定理求出外接圆半径即可求出外接球半径，可得外接球表面积. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 取中点中点，连接，因为，所以 又四边形是正方形，所以因为平面平面， 所以为二面角的平面角，所以， 取上靠近点的三等分点的中点，分别过点作平面的垂线， 过点作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心， 因为， 所以， 则在中，， 所以三角形的外接圆半径满足 ， 因为，所以四点共圆，且圆的直径为， 所以，所以四棱锥的外接球半径满足， 所以外接球表面积为. 故答案为： . 40．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又二面角的平面角为， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 【方法技巧】折叠模型（两个全等三角形或等腰三角形拼在一起） 第一步：将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 考点九 内切球的问题 41．正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______________，体积为______________． 【答案】 【分析】设内切球的半径为r，结合三棱锥的体积计算内切球的半径，最后求出球的体积及表面积. 【详解】∵正三棱锥的高为1，底面边长为， ， 设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥． 又正三棱锥的斜高为， ， ． ， 体积． 故答案为：；. 42．已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 故球与棱台的体积比为. 故选：C. 43．已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 【答案】 【分析】根据题意作图，利用正四面体的结构性质，计算相关线段长度（如高），结合体积法（将正四面体体积分解为四个以内切球心为顶点的小三棱锥体积之和）求出内切球半径，通过分析空隙处小球的位置，构造相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例求出空隙处小球的最大半径，最后根据球的体积公式计算小球体积即可． 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为， 半径为，由正四面体结构特征可知为的中心，面，设为中点，球和球分别与面相切于和．    易得， 由，可得， 又，， 故，，， 又由，可得，即，解得，即空隙处的最大球的半径为． 所以空隙处的最大球的体积为． 故答案为：． 44．已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥的性质得到，，再结合圆锥的表面积公式和球的表面积公式求出表面积，结合题意建立方程，得到，最后再利用圆锥的底面积和侧面积公式求出比例关系即可. 【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接，    则，可得，故， 因为，，， 所以，故， 则，可得， 由圆锥表面积公式得 ， 因为，所以， 由球的表面积公式得， 因为圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，所以， 可得， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得， 整理得，即， 化简得，解得． 得到，故A正确. 故选：A． 45．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若，则该模型中一个小球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设大球的球心为，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，高为，的中点为，连接. 棱长，则，， 正四面体的高. 因为，所以，所以. 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的表面积为. 【方法技巧】内切球 1、正方体内切球公式r=（棱长a） 2、正四面体内切球：半径: （棱长a） 外接球 3、任意棱锥通用内切球 体积法万能式 考点十 棱切球的问题 46．正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 【答案】 【分析】设正方体的棱长为，分别求出内切球､棱切球､外接球的半径，再根据体积公式，可知体积比为半径比的立方比，即可得解. 【详解】设正方体的棱长为，则其内切球､棱切球､外接球的半径分别为，即半径之比为， 又球的体积公式为（为球的半径）， 所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为. 故答案为： 47．棱长为6的正四面体的棱切球的表面积为_______. 【答案】 【分析】根据正四面体的性质，确定棱切球的球心位置，构造直角三角形，利用勾股定理求出棱切球的半径，从而得出棱切球的表面积. 【详解】如图，在正四面体中，    取正的中心，的中点，连接，则， 连接，则底面， 由正四面体的性质知，棱切球的球心在，连接、，则为棱切球的半径， 因为正四面体的棱长为6，， 所以，， 在中，由勾股定理得， 由正四面体的性质知，， 在中，由勾股定理得，解得， 所以棱切球的表面积为. 故答案为： 48．正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体放在正方体中，正方体的内切球即为正四面体的棱切球，求解即可. 【详解】把正四面体放在正方体中，如图，    则正方体的内切球即为正四面体的棱切球， 即正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径， 因为，所以正方体的棱长为，棱切球的半径为， 所以正四面体的棱切球的体积为. 故选：C. 49．已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明三棱锥为正四面体，然后转化为对应正方体的内切球，求其半径即可. 【详解】    如图，连结与底面的中心，则平面， 由题意侧棱与底面所成角， 则， 又因， 所以， 因底面为正三角形，中心为， 所以，即， 所以正三棱锥为正四面体.    将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切， 可求得正方体的棱长为，所求棱切球的半径即为． 表面积 故选：B 50．（多选）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（    ） A．正方体的棱切球的半径为 B．正四面体的棱切球的表面积为 C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 【答案】BCD 【分析】选项A：正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线； 选项B：把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径； 选项C：等长正六棱柱的棱切球的直径为底面最长的面对角线； 选项D：棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆. 【详解】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，正方体的棱切球的半径为面对角线的一半，即为，选项A错误； 如图，四面体ABCD为棱长为1的正四面体，把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径，所以正四面体的棱切球的半径为，即正四面体的棱切球的表面积为，选项B正确； 如图，等长正六棱柱的棱切球的直径为AB，即直径为2，半径为1，所以等长正六棱柱的棱切球的体积为，选项C正确； 由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆， 则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为 ， 每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的，即，所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为，所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为，选项D正确. 故选：BCD. 【方法技巧】棱切球（与所有棱相切） 1. 正方体（棱长a） 半径: (直径=面对角线 ) 球心：正方体中心，切点为各棱中点 2. 正四面体（棱长a） 半径: 三球半径比：r（内）: r（棱）: r（外）= 1 :: 3 1．已知正三棱柱的内切球半径为，则该三棱柱的外接球表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正三棱柱的高及底面正三角形的外接圆半径，利用勾股定理求外接球半径即可求解. 【详解】已知内切球半径为，得正三棱柱的高，同时底面正三角形的内切圆半径等于内切球半径. 设正三棱柱的外接球的球心为，底面内切圆的圆心为，设的中点为，则在上， 且，则. 又，则三棱柱外接球的半径为， 即外接球的表面积为.    2．已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 3．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 4．三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可. 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为，则， 由题意得，，即，解得， ∴， 设该圆锥的外接球的半径为，显然球心位于圆锥高所在直线上， 由球的性质可知，， 解得，所以该圆锥的外接球的表面积为. 6．圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据圆台的表面积公式和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台的高为，上、下底面圆的圆心分别为，圆台外接球的半径为， 圆台的表面积为， 解得，，则. 由图可知， 有，即， 解得，则， 所以外接球的表面积为. 故选：C 7．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可. 【详解】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. 8．（多选）下列说法正确的有（   ） A．若球O的体积为，则球O表面积也为36π B．若球O的半径变为原来的3倍，则球O体积变为原来的9倍 C．若圆台上下底面半径分别为1和3，且球O为圆台的内切球，则球O的半径为 D．棱长为a的正方体的外接球半径为 【答案】AC 【分析】利用球体的体积公式和表面积公式即可判断AB，利用轴截面是等腰梯形的内切圆来求半径即可判断C，利用正方体外接球直径就是体对角线来判断D. 【详解】对于A，由球的体积公式得， 再由球的表面积公式得，故A正确； 对于B，由球的体积与半径成正比，所以半径变为原来的3倍，体积变为原来的27倍，故B错误； 对于C，由于球O为圆台的内切球，设内切球半径为，根据轴截面可知， 球O中的最大圆为轴截面等腰梯形的内切圆，即等腰梯形的高为， 根据圆台上下底面半径分别为1和3，可知等腰梯形的上下底边长分别是2和6， 即由勾股定理可得腰长为， 再利用等面积法，则有， 解得：，故C正确； 对于D，棱长为a的正方体的外接球直径等于体对角线长，即， 故半径为，故D错误； 故选：AC. 9．如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 10．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】首先根据正四面体表面积求出棱长，高，再通过几何关系求出大球半径（也可以使用等体积法）．中球，小球也可以看成是内接于正四面体的球，求出外切正四面体的高，根据相似关系，得到中球，小球半径，最终求出个球的表面积之和． 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 11．一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 【答案】 【分析】根据已知确定正方体的内切球半径，再由球体的体积公式求体积. 【详解】由题设，正方体的棱长为2，则内切于该正方体的球体半径为1， 所以球体的体积为. 故答案为： 12．已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    13．棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________. 【答案】 【详解】如图所示，由正八面体对称性可知底面为正方形，正方形的对角线交点. 底面正方形的边长为，其对角线，故中心到顶点的距离为. 在正四棱锥中，侧棱长. 由勾股定理得棱锥的高. 同理，在正四棱锥中，棱锥的高. 因此点到顶点的距离. 综上，点到所有顶点的距离均为，即外接球半径. 代入球的体积公式得. 14．已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为_____. 【答案】 【分析】设为等边三角形的中心，则平面，从而有外接球的球心在上，利用几何关系求出外接球半径的值，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示： 设为等边三角形的中心，连接，则平面， 且正三棱锥的外接球的球心在上， 设外接球的半径为，连接，， ∵为等边三角形且其面积为， ∴，∴，∴， 又∵，∴在中，， 在中，，，， ∴，解得， ∴球的表面积为， 故答案为：. 15．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出正三棱台高的范围，再利用球的截面性质建立方程，求出球半径的范围即可. 【详解】如图，令正三棱台上下底面正三角形中心分别为， 则，， 设正三棱台的高为，则，解得， 设球的半径为，显然球心在线段上（不含端点） 因此，，解得， 且，而，当且仅当时取等号，得， ，解得， 因此，， 所以外接球表面积的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 16．在平面四边形ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线AC折成四面体，在折起的过程中，四面体外接球表面积最小值为_______. 【答案】/ 【分析】分析得到只需外接球半径等于等边的外接圆半径时，表面积最小，并验证此时平面⊥平面，满足要求，得到表面积最小值. 【详解】要想在折起的过程中，四面体外接球表面积最小，只需四面体外接球半径最小， 球心在平面的投影为等边的中心， 故只需外接球半径等于等边的外接圆半径，即， 取的中点，连接，则点在上， 其中，，又， 满足，故此时平面⊥平面， 四面体外接球半径最小值为，表面积最小值为. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 外接球与内切球体积与表面积 考点一 两两垂直模型（墙角模型） 考点二 汉堡模型（直棱柱、圆柱、侧棱垂直底面的棱锥） 考点三 斗笠模型（圆锥、正棱锥） 考点四 补图法（对棱相等模型） 考点五 面面垂直模型（切瓜模型） 考点六 矩形模型（两直角三角形拼接在模型） 考点七 台体中的外接球 考点八 面面夹角模型（二面角模型） 考点九 内切球的问题 考点十 棱切球的问题 考点一 两两垂直模型（墙角模型） 1．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，、、两两垂直，，，则球的表面积为______． 3．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】墙角模型（三条棱两两垂直） 公式，即 考点二 汉堡模型（直棱柱、圆柱、侧棱垂直底面的棱锥） 6．已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 8．在三棱锥平面，则此三棱锥的外接球的表面积为_______． 9．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的外接球的表面积； (3)证明：平面． 10．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧】汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 公式 考点三 斗笠模型（圆锥、正棱锥） 11．已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．圆锥的内切球的体积为 13．若正四面体的表面积为，则①该正四面体的棱长为1；②该正四面体的高为③该正四面体的体积为④该正四面体的外接球表面积为正确的序号有__________. 14．已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为______． 15．已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 【方法技巧】斗笠模型（圆锥、顶点的投影为底面的外心(正棱锥)） 考点四 补图法（对棱相等模型） 16．已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 17．已知三棱锥的四个顶点均在球O的表面上. (1)若，求球O的表面积； (2)若是边长为的等边三角形，，球O的半径为，求三棱锥的体积. 18．已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 19．在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 20．已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为___________． 【方法技巧】对棱相等模型（补形为长方体） 三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 公式 考点五 面面垂直模型（切瓜模型） 21．在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 22．已知三棱锥所有顶点都在球的表面上，若平面平面，，，，则球的体积为 A． B． C． D． 23．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 24．如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____. 25．在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】切瓜模型（两个面互相垂直） 考点六 矩形模型（两直角三角形拼接在模型） 26．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 27．《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 28．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 29．我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（   ） A． B． C． D． 30．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】矩形模型（两直角三角形拼接在一起(斜边相同)模型） 考点七 台体中的外接球 31．已知某圆台的上底面圆的半径，下底面圆的半径，且该圆台的上、下底面圆周上的所有点都在球O的球面上．若该圆台的体积是，则球O的表面积是（   ） A． B． C． D． 32．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____． 33．若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 34．已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 35．一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为__________. 考点八 面面夹角模型（二面角模型） 36．已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 37．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 38．如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 39．已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______. 40．在三棱锥中，为正三角形，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】折叠模型（两个全等三角形或等腰三角形拼在一起） 第一步：将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 考点九 内切球的问题 41．正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______________，体积为______________． 42．已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为，则球O与该正四棱台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 43．已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 44．已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 45．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若，则该模型中一个小球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【方法技巧】内切球 1、正方体内切球公式r=（棱长a） 2、正四面体内切球：半径: （棱长a） 外接球 3、任意棱锥通用内切球 体积法万能式 考点十 棱切球的问题 46．正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为_____． 47．棱长为6的正四面体的棱切球的表面积为_______. 48．正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 49．已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 50．（多选）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（    ） A．正方体的棱切球的半径为 B．正四面体的棱切球的表面积为 C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 【方法技巧】棱切球（与所有棱相切） 1. 正方体（棱长a） 半径: (直径=面对角线 ) 球心：正方体中心，切点为各棱中点 2. 正四面体（棱长a） 半径: 三球半径比：r（内）: r（棱）: r（外）= 1 :: 3 1．已知正三棱柱的内切球半径为，则该三棱柱的外接球表面积为（     ） A． B． C． D． 2．已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 4．三棱锥的底面为正三角形，侧棱底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 6．圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 8．（多选）下列说法正确的有（   ） A．若球O的体积为，则球O表面积也为36π B．若球O的半径变为原来的3倍，则球O体积变为原来的9倍 C．若圆台上下底面半径分别为1和3，且球O为圆台的内切球，则球O的半径为 D．棱长为a的正方体的外接球半径为 9．如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 10．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 11．一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是________． 12．已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 13．棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________. 14．已知正三棱锥的外接球为球，底面面积为，，则球的表面积为_____. 15．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是__________. 16．在平面四边形ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线AC折成四面体，在折起的过程中，四面体外接球表面积最小值为_______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $