期末复习专题13 空间中的垂直关系专项训练【7大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦空间垂直关系判定与性质，以“判断-证明-补全条件-性质应用”为逻辑主线，覆盖线面、面面垂直核心考法，强化空间观念与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断线面、面面是否垂直|6题|单选/多选，概念辨析|线线垂直到线面、面面垂直的判定逻辑| |证明线面垂直|6题|解答题，多面体背景|线面垂直判定定理的综合应用| |补全线面垂直的条件|4题|填空/动点探究|深化对线面垂直条件的理解| |线面垂直的性质|6题|填空/选择/证明|线面垂直性质定理的应用迁移| |证明面面垂直|6题|解答题，折叠/旋转背景|面面垂直判定定理的场景化应用| |补全面面垂直的条件|5题|存在性探究|面面垂直条件的逆向推导| |面面垂直性质应用|6题|证明/距离计算|面面垂直性质与线面垂直的转化|

专题13 空间中的垂直关系 考点一 判断线面、面面是否垂直 考点二 证明线面垂直 考点三 补全线面垂直的条件 考点四 线面垂直的性质 考点五 证明面面垂直 考点六 补全面面垂直的条件 考点七 面面垂直性质应用 考点一 判断线面、面面是否垂直 1．（多选）在直三棱柱中，，点，分别为线段，的中点，则（     ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】BCD 【分析】取的中点为，根据线线平行的判定可判断A；根据线面垂直可判断B；根据线面平行可判断C；根据线面垂直可判断D. 【详解】取的中点为，连接 ，如下图所示： 对于A，由于点为线段的中点，点为线段的中点，则且， 又因为为的中点，所以， 在直三棱柱中，有且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，而交于，所以不平行，故A错误； 对于B，在直三棱柱中，底面，底面，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于C，由于，底面，底面，所以平面，故C正确； 对于D，由于且点为线段的中点，所以， 在直三棱柱中，底面，底面，所以， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面，故D正确. 2．如图，在正方体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 交棱于点G，则下列结论中正确的是（     ） A．直线与直线异面 B．平面平面 C．截面是梯形 D．直线平面 【答案】C 【分析】对于A：可证，可知四点共面，即可判断A；对于B：可证平面平面，结合平面平面分析判断；对于C：根据面面平行可证，可知分别为的中点，进而分析判断；对于D：直线与不垂直即可判断. 【详解】对于选项A：因为点E，F分别为棱AB，BC的中点，则， 又因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 可得，可知四点共面， 所以直线与直线不是异面直线，故A错误； 对于选项B：因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 同理可得：，， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，可得平面平面， 又因为平面平面，所以平面与平面不平行，故B错误； 对于选项C：因为平面平面，平面平面，平面平面， 则，且，则， 又因为为的中点，则为的中点，可得， 且，可得，所以截面是梯形，故C正确； 对于选项D：由选项C可知平面即为平面， 显然直线与不垂直，所以直线与平面不垂直，故D错误. 3．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 4．已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】利用线面位置关系的判定定理以及性质定理逐项分析即可. 【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确； 选项B，若，，则或，故B错误； 选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确； 选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确. 5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m，则m⊥ C．若m⊥，mn，n，则⊥ D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 【答案】C 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误； 若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确； ＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线， 故不一定垂直于，故D错误． 6．（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】结合空间中的位置关系，对每个选项进行分析、判断即可得到正确的结论． 【详解】对于A，若，，，则可能平行，可能相交或异面但不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为，，所以，又，所以，所以B正确； 对于C，若，，则可能在平面内或与平面平行，所以C错误； 对于D，由，可得，又，所以，所以D正确． 考点二 证明线面垂直 7．如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，平面， ， ，且平面， 平面. (2)根据（1）得平面， 平面， ， 在中，， 为的中点， 连接，得，且，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 【答案】A 【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理得到平面，A正确； 假设平面，推出，矛盾，B错误； 由平面得到，结合证明出平面，假设平面，则平面平面，推出矛盾，C错误； 由面得到，假设平面，则，结合三线在同一平面可推出，矛盾，D错误. 【详解】对于A，在正方形中，，， 所以在四面体中，，， 又平面，，所以平面，故选项A正确； 对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误； 对于C，因为面，面，所以， 又，平面，，所以平面， 假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误； 对于D，因为面，面，所以， 若平面，平面，则， 平面，故，显然矛盾，故D错误. 9．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用锥体体积求解即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）利用线线平行证明线面平行即可. 【详解】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3）    取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 10．如图，在正方体中为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； 【答案】(1) (2)如图所示，在正方体中，平面，平面，因此. 由四边形是正方形，可知. 又因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）确定三棱锥的底面与高，再结合三棱锥体积公式计算体积； （2）根据线面垂直判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线即可. 【详解】（1）在正方体中，，因此正方体棱长为，平面. 因为是中点，所以到平面的距离. 底面是直角三角形，. . （2）略 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. 12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）因为底面为菱形，， 所以是等边三角形， 又因为是的中点，所以， 又因为，所以. 因为，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）经计算，，又， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以是四棱锥的高， 所以. 考点三 补全线面垂直的条件 13．如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 14．如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点．点到的距离均为． 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得到结论. （2）连结，过点作交于点,确定点的位置，然后在可求出点到的距离. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为为的中点， 所以，且． 由且得， 由且得， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）如图，连结，过点作交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 所以． 因为，所以． 又由且为的中点得，又平面， 所以平面，故． 由且为平面内两条相交直线，故平面． 在矩形中，，，， 所以， 所以，故为的中点， 在中，，为的中点， 所以为的角平分线， 所以点到的距离均为1， 所以点到的距离均为． 15．在直三棱柱中，，当底面满足条件__________时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据由线面垂直可得线线垂直结合直三棱柱的性质可得类似于的结论即可. 【详解】如图所示，连接， 由，可得，因此，要证， 则只要证明平面，即只要证即可， 由直三棱柱可知，只要证即可． 因为，，故只要证即可． （或者能推出的条件，如等） 答案：（答案不唯一） 16．在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 【答案】(1)1； (2)存在，且. 【分析】（1）连接，交于，在面内过作，交于，根据线面平行的判定找到的位置，进而求线段长； （2）问题化为证面，进而求的位置，即可得线段长. 【详解】（1）连接，交于，在面内过作，交于， 由面，面，则面， 故与重合时，满足题设要求， 根据长方体的性质，易知是的中点，故，即所求是中点， 所以； （2）存在，且，理由如下， 要使恒成立，只需垂直于所在平面即可， 当面，而面，故， 此时，即， 所以，则，可得. 考点四 线面垂直的性质 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 18．已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B 19．将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； 【答案】(1)证明： 取棱的中点，连接， 因为，且是线段的中点，所以， 因为，且是线段的中点，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以． 【分析】（1）取棱的中点，连接，先证明平面，再由线面垂直的定义即可得到； 【详解】（1）略． 20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A．与是异面直线 B．平面 C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】D 【分析】对A，由与都在平面内可判断；对B，由题可得，进而判断；对C，设，，利用向量运算求得与所成角的余弦值，进而判断；对D，由题可证得平面，进而判断. 【详解】对于A，因为与都在平面内，所以与不是异面直线，故A错误； 对于B，因为是正三角形，所以，即与不垂直，所以不可能垂直平面，故B错误； 对于C，设，，则， 又， 所以， 设与所成角为，则， 因为与的大小关系不确定，所以与所成角的余弦值不确定，故C错误； 对于D，因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以，故D正确. 21．如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求证：． 【答案】(1) 证明见解析. 【分析】（1）利用直棱柱性质及正方形性质证明线面垂直，进而证得线线垂直. 【详解】（1）证明：因为 是直棱柱， 所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以 . 因为底面 是正方形， 所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 22．如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. 考点五 证明面面垂直 23．如图，在四棱锥中，平面，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)面，平面， ， ，，、平面， 平面． (2)，， ． 又面，面， ， ，平面， 平面， 平面， 平面平面． (3) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由条件确定平面，即可证明； 【详解】（1）略 （2）略 24．如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE. (1)求证：平面PBC； (2)若平面平面ABC，求证：平面平面PCD. 【答案】(1)因为 平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得 ， 又 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得 平面. (2)由（1），且是中点，可得是中点，又 ， 等腰中，由三线合一得 ， 已知平面平面，平面平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，可得 平面，又 平面， 根据面面垂直的判定定理，可得 平面平面. 【分析】（1）利用线面平行的性质定理推出，再通过线面平行的判定定理证明平面； （2）利用等腰三角形三线合一得到，结合面面垂直的性质推出平面，最后由面面垂直的判定定理证明结论. 【详解】（1）略； （2）略. 25．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明：连接，，因为四边形是矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以，所以， 因为是的中点，所以为的中点． (2)证明：因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以， 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【分析】（1）先根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质，及矩形的性质证明，进而根据三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质证明，再根据线面垂直的判定及性质证明，从而根据线面垂直的判定及面面垂直的判定即可证明结论； 【详解】（1）略 （2）略 26．已知菱形ABCD中，，，E为AD中点，如图一所示，现将沿着BE按顺时针方向旋转折叠，使得点A到达点P，如图二所示． (1)当时，证明：平面平面PBE； 【答案】(1)在菱形ABCD中，由，得是正三角形， 由E为AD中点，得， 在图二中，， 由，得， 又，BE，平面PBE，因此平面PBE， 由，得平面PBE， 又平面PBC，所以平面平面PBE． 【分析】（1）求出是正三角形，由E为AD中点得到，利用勾股定理的逆定理得到，利用线面垂直的判定定理得到平面PBE，利用线面垂直的性质定理得到平面PBE，利用面面垂直的判定定理得到结论. 【详解】（1）略. 27．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 28．如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，是的中点. (1)求证：平面； (2)画出平面与平面的交线（保留作图痕迹）； (3)若，求证：平面平面. 【答案】(1)在四棱锥中，取中点，连接， 由是的中点，得，     又因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面，所以平面. (2)延长交于，连接，则是平面与平面的交线. (3)在等腰梯形中，，过点作交于点， 由，所以， 在直角三角形中，，得. 在中，由余弦定理， 得，所以，所以， 又因为，平面，因此平面， 而平面，所以平面平面. 【分析】（1）取中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）根据平面的性质先找到两个平面的一个公共点，再结合也是两个平面的公共点，从而可得是两个平面的交线； （3）先在底面等腰梯形中证明，再线面垂直的判定定理可得平面，进而再由面面垂直的判定定理可得面面垂直. 【详解】（1）略 （2）理由如下：因为，所以平面， 同理平面，所以平面平面， 又因为平面平面，所以平面平面， 因此是平面与平面的交线. （3）略 考点六 补全面面垂直的条件 29．在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    30．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 31．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先根据线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，所以只需要再垂直于平面内的一条和相交的直线即可满足条件. 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 32．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； （2）连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； （2）连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴（负值舍去），即时，平面. 33．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 考点七 面面垂直性质应用 34．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 35．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，，所以，所以， 因为平面平面，平面底面，所以平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2)存在，F为中点， 点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）假设线段上是否存在一点，使平面，连接交于O， 平面，平面平面， 所以，在中，O为中点，所以F为中点，假设成立，F为中点； 由（1）可知，两两垂直，，所以建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 所以，即，令得，，所以， 点到平面的距离为.    36．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 【答案】(1)取的中点，连接，由是的中点，得，， 由是矩形边的中点，得，则， 四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. (2)过作于点，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，又平面，则， 由，，得为的中点，且， 则，， ， 于是，而平面， 因此平面，又平面，所以. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行公理及平行四边形性质推理得证. （2）过作于点，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定及性质推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 37．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）利用等体积法结合锥体体积公式求解即可； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）略 （2）在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 38．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证平面，平面，进而可证面面平行； （2）根据线面平行的性质定理可得，进而分析长度共线即可； （3）根据面面垂直的性质定理可得平面，平面，进而可得，，即可得线面垂直. 【详解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 1．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D． 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 2．设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线，平面的位置关系及其性质逐项分析判断. 【详解】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，则可能会平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，且，根据线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 3．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A求证平面；B求证平面；C利用反证法判断；D根据平面求证. 【详解】因为平面，平面， 所以，，，故D正确； 因为为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故B正确； 假设， 则由平面，得平面， 因为平面，所以，显然不成立，故假设不成立，故C错误. 4．如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案. 【详解】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故，    现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 5．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【分析】利用反证法可判断A；当移动到点时，可得，进而可判断B；利用反证法可得，进而可判断C；利用线线垂直可证得底面，进而可证平面平面成立，可判断D. 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 6．如图，在四棱锥中，，，平面，垂足在直线上，若上存在一点使得平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点、的中点，连接、、，证明出平面，可得出平面平面，可得出点即为所求，进一步可求得的值. 【详解】如下图所示，取的中点、的中点，连接、、， 平面，平面，， ，为的中点， ，为的中点，所以，， 、分别为、的中点，，， 平面，平面，， ，平面， 平面，所以，平面平面， 为的中点，为的中点，，因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解线段上的点的位置的探索性问题时，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明，本题中可充分利用等腰三角形三线合一的性质找出点的位置，再利用面面垂直的判定定理给出证明. 7．（多选）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（    ） A．MD⊥MB B．MD⊥PC C．AB⊥AD D．BM⊥PC 【答案】BD 【分析】执果索因，若要平面MBD⊥平面PCD，根据图像推出需要哪些条件，即可得解. 【详解】 连接AC，BD，BM，MD． 因为在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， 且底面各边都相等，M是PC上的一动点， 所以BD⊥PA，BD⊥AC，因为PA∩AC=A， 所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC． 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD． 而PC包含于平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD． 故选：BD. 8．（多选）在正三棱柱中，是棱的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【详解】选项：如图所示，在正三角形中，因为为的中点，所以， 在正三棱柱中，因为面，面，所以， 因为，面，所以面， 因为面，所以，故正确； 选项：在正三棱柱中，，又， 故与不平行，即与不平行， 故不正确； 选项：设正三棱柱的底面棱长为，高为. 因为，故以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，过点且平行于直线所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则、、，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，得， 令，得，所以. 平面的一个法向量为，所以，， 所以平面与平面不垂直，故不正确； 选项：设平面的一个法向量为，得， 所以，面面，故正确. 9．（多选）如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 【答案】ABC 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据正方体的几何性质可判断B；根据异面直线的定义可判断C；求出线面角可判断D. 【详解】对于A，因为，且，平面， 所以平面，故A正确；     对于B，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面， 且与无公共点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，连接，因为平面， 所以为 与平面的夹角， 设正方体的棱长为2， 则， 可得，故D错误. 10．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过证明四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定即可证明． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 11．如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 12．如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）记的交点为，的交点为，连接，利用相似比证明，结合线面平行判定定理即可得证； （2）利用直线平行的传递性和勾股定理证明和，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证； （3）利用（2）判断两平面的夹角，然后利用余弦定理直接计算，再结合平方关系即可求得正弦值. 【详解】（1）记的交点为，的交点为，连接， 因为是三角形的中线，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为，分别为的中点，所以，且， 所以，所以， 因为，所以， 所以，， 所以，所以， 所以，又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 所以，则， 又，， 所以， 因为，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 空间中的垂直关系 考点一 判断线面、面面是否垂直 考点二 证明线面垂直 考点三 补全线面垂直的条件 考点四 线面垂直的性质 考点五 证明面面垂直 考点六 补全面面垂直的条件 考点七 面面垂直性质应用 考点一 判断线面、面面是否垂直 1．（多选）在直三棱柱中，，点，分别为线段，的中点，则（     ） A． B． C．平面 D．平面 2．如图，在正方体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 交棱于点G，则下列结论中正确的是（     ） A．直线与直线异面 B．平面平面 C．截面是梯形 D．直线平面 3．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m，则m⊥ C．若m⊥，mn，n，则⊥ D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 6．（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 考点二 证明线面垂直 7．如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 8．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 9．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 10．如图，在正方体中为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； 11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． 12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积. 考点三 补全线面垂直的条件 13．如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 14．如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 15．在直三棱柱中，，当底面满足条件__________时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 16．在长方体中，，，E为棱上一动点， (1)当平面时，求线段的长度； (2)在上是否存在定点，使得恒成立？如果存在，求的长度． 考点四 线面垂直的性质 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 18．已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 19．将边长为的正方形沿对角线折起，使得到达的位置，连接，得到三棱锥，且是棱的中点． (1)证明：； 20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A．与是异面直线 B．平面 C．与所成角的余弦值为 D． 21．如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求证：． 22．如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； 考点五 证明面面垂直 23．如图，在四棱锥中，平面，，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 24．如图在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且平面PDE. (1)求证：平面PBC； (2)若平面平面ABC，求证：平面平面PCD. 25．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； 26．已知菱形ABCD中，，，E为AD中点，如图一所示，现将沿着BE按顺时针方向旋转折叠，使得点A到达点P，如图二所示． (1)当时，证明：平面平面PBE； 27．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 28．如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，是的中点. (1)求证：平面； (2)画出平面与平面的交线（保留作图痕迹）； (3)若，求证：平面平面. 考点六 补全面面垂直的条件 29．在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 30．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 31．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 32．如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 33．如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 考点七 面面垂直性质应用 34．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； 35．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由． 36．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 37．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 38．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 1．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 2．设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 3．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 5．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 6．如图，在四棱锥中，，，平面，垂足在直线上，若上存在一点使得平面平面，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（    ） A．MD⊥MB B．MD⊥PC C．AB⊥AD D．BM⊥PC 8．（多选）在正三棱柱中，是棱的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 9．（多选）如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 10．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 11．如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 12．如图，在三棱台中，，， ，，分别为的中点，且 (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $