精品解析：陕西西安市某校2025-2026学年第二学期高三考前模拟数学试卷

2025-2026学年度第二学期高三年级考前练数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知得，分，和两种情况分别求的取值范围，可得选项． 【详解】由得：，若，则，符合题意， 若，则，又，所以， 综上可知的取值范围是， 故选：C. 【点睛】本题考查由集合间的交集运算结果求参数的范围，关键得出集合间的包含关系，注意集合为空集的情况，属于中档题． 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 4. 设总项数为9的数列满足，从中任取2项，这两项均为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项式的通项公式，依题意中的项对应于的系数，推得中含有因子2，该项即为偶数，分析得到中为偶数的项有8个，而为奇数的有1个，借助于古典概型概率公式和组合数公式计算即得. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，其中，， 由题意，中的项对应于的系数.而通项中的系数为，故只要中含有因子2，该项即为偶数. 当时，即时，是偶数，故该项系数为偶数.此时可取，共8项. 当时，即时，.此时，是奇数. 综上所述，数列共9项，其中8项为偶数，1项为奇数. 故从9项中任取2项的总取法数为，取出的2项均为偶数的取法数为， 由古典概型概率公式，可得所求概率为. 故选：C. 5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线公式计算即可. 【详解】令，所以. 故选：D 6. 圆锥的底面半径与球的半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥与球的体积之比为（ ） A. 1:3 B. 1:2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥和球的表面积和体积公式因为它们表面积相等可以得到圆锥高与底面半径的关系,进而得到圆锥与球的体积之比. 【详解】设圆锥母线长为l，底面半径为r，高为h， ， ,即圆锥母线长是底面半径的3倍. 又因为,且，可得. . 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 令，得，此时， 所以图象的对称中心是. 8. 已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.0044 B. 在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户 C. 估计该小区用户月用电量的中位数不超过 D. 用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，由图可得组距为50，根据频率和为1，得，解得，故A正确； 对于B，用电量落在区间内的频率， 由样本容量为100，得用电量落在区间内的户数，故B正确； 对于C，由图可得第一组的频率为，第二组的频率为 ，第三组的频率为； 前两组的累计频率为，前三组的累计频率为， 中位数位于第三组内； 设中位数为，则，解得； ，中位数超过，故C错误； 对于D，用电量不超过的频率为前两组频率之和，即； 用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过的概率. 从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过的人数， 则X服从二项分布，则，故D错误. 10. 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，求得圆心坐标可判定A；求得圆心到直线的距离，结合圆的性质可判定B；根据圆的切线长公式可判定C，连接，设，和，结合正弦的倍角公式，以及基本不等式可判定D. 【详解】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确； B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线最大距离为，正确； C，由切线长公式，可得，所以的最小值为，错误； D，如图所示，连接，则，设，则 在直角中，设，则，且， 因为， 令，则，则， 又因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为，正确. 故选：ABD 11. 已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，且三点共线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据已知条件判断的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以为直角三角形， 因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图： 对于A，， 由勾股定理知，故A错误； 对于B，由题意知， 所以，故B正确； 对于C，由B知， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为， 所以， 由B知，所以， 又三点共线，所以，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的坐标，计算其到原点的距离的值，再由正弦函数的定义，求出的值即可. 【详解】因为已知角终边过点， 根据，其中， 可得， 所以. 13. 已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合已知建立方程，再利用给定的三角形面积列式求解. 【详解】抛物线，焦点为，准线为， 准线与x轴交点，； 设，由抛物线定义可得，且满足， 由于，则， 即， 故，可得，即得， 结合，可得， 的面积为2，故，即，解得. 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的方程，求解首项和公差即可解题； （2）由（1）确定通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有， 所以，解得 所以 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 . 16. 已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点Q（0，6）的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，代入点的坐标可求得椭圆方程； （2）法一：设直线AB的方程为，并设点A，B的坐标分别为，，联立直线方程与椭圆方程，由根与系数的关系可得，，由题意可得，进而计算可求得，可求直线的方程.法二：将直线方程代入椭圆方程可得，由题意可得，，求解即可. 【小问1详解】 由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 依题意直线AB斜率存在，设直线AB的方程为，并设点A，B的坐标分别为，． （方法一） 联立方程，消去y得， 依题意，，∴， 且，， 依题意，即， 整理得， 从而， ∴，解得，，满足． 从而直线AB的方程为． （方法二） 将即代入，得， 整理得，， 依题意，，∴， 依题意，，解得，满足， 所以AB的方程为． 17. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行． （1）求实数的值； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求得，得到，根据题意列出方程，即可求解； （2）由（1）知，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与，即可求解. 【小问1详解】 解：因为函数，可得， 所以，即曲线在点处的切线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，解得， 故实数的值为． 【小问2详解】 解：由（1）知， 因为，所以由，即． 设， 则在上恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围是． 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）不可信． 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高三年级考前练数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设总项数为9的数列满足，从中任取2项，这两项均为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 6. 圆锥的底面半径与球的半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥与球的体积之比为（ ） A. 1:3 B. 1:2 C. D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.0044 B. 在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户 C. 估计该小区用户月用电量的中位数不超过 D. 用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则 10. 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 11. 已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，且三点共线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_______. 13. 已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点Q（0，6）的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直线AB的方程． 17. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行． （1）求实数的值； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $