陕西西安市某校2025-2026学年度第二学期高三模拟考试数学试卷

高三年级全真模考数学试题和详解 一、单选题 1．已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B． C．1 D． 3．下列说法中不正确的是（ ） A．一组数据，，，，，，，的下四分位数为 B．在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 D．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 4．设，则“”是“”的（ ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．若，，则（ ） A． B． C． D． 6．在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．设抛物线：的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．对于给定的正整数，若数列满足，，则称为“螺旋数列”．已知“螺旋数列”的前项和，则的最大值为（ ） A．111 B．110 C．109 D．108 二、多选题 9．已知函数是定义在上的奇函数，，成立，当且时，有，则下列命题中正确的是（ ） A． B．在上有5个零点 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 10．已知双曲线：（，）的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（ ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A．存在动点，使平面 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为 三、填空题 12．若数列，，…，，…是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是            ． 13．某校高一新生组织数学竞赛选拔测试，一共30道试题，规定答对一题得5分，答错一题扣2分．已知小明同学每道题答对的概率为0.8，每道题答对与否互相独立，则小明同学总得分的均值为            ． 14．已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围            ． 四、解答题 15．如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中， ，，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 16．已知函数（），最小正周期的范围为． （1）求的取值范围； （2）若，函数的图象关于直线对称，求的值． 17．已知，，是自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 18．已知椭圆：（）的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为． （1）求的方程： （2）已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线过定点． 19．在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）．每个钱包初始配置有枚“黑币”（代表高波动性资产）与枚“白币”（代表稳定资产）．为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包．记该协议重复执行（）次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有枚“黑币”的概率为． （1）求； （2）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （3）求． 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级全真模考数学试题和详解 参考答案 题号 1 3 4 6 8 答案 C C D A A B C C 12.an= 3”-1 2 13.108 14.(-00,1] 15.(1)由∠BAF=90°，得AB⊥AF,而平面ABCD⊥平面ABEF, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,AFC平面ABEF,则AF⊥平面ABCD 所以BC⊥AF (2)由(1)知AF⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,则AF⊥AD, 而AB⊥AF,AB⊥AD,以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又AB∥CD,AB∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2, 则A0,0,0),D2,0,0,F(0,0,2,C2,1,0,E0,1,2),B0,2,0, CE=(-2,0,2,CB=(-2,1,0),AC=(2,1,0),AF=(0,0,2）, CB.m=-2x+y=0 设平面BCE的法向量为m=(x,y,z，则 令x=1, CE·m=-2x+2z=0 设平面ACF的法向量为n=(x,y1,21)，则 m4C=2x+八=0，令=2 n·AF=2z,=0 因此cos(m,n) mn 3V30 mn V6×V510 9 10 11 ABD ABD BCD 又BCC平面ABCD, 得m=(1,2,1, 得n=（-1,2,0), V30 √70 所以平面ACF与平面BCE夹角的正弦值为 10 10 16.(1)f(x)=2sinox(v3cosox-sinox)+1 =2v3sin @x cos@x-2sin2 ox+1 -V3sin 2@x+cos2o-2sin20x+ 6 又o>0,函数f(x的最小正周期为T, 所以T 2元∈3,4，则o∈ 元π 20 43月 (2)由0∈N,且0∈ ππ 43 @=1，八=2sn2x+别 则21+2=+k如(k∈Z),解得1=工+(k∈Z), 62 62 6 tan+tan tan 1-tan tan交1-V3×1(1-V3V3+1 1-2-5 3 4 17.(1)函数f(x)=e2r-ax+2的定义域为R,求导得f'(x=2e2x-a, 当a≤0时，恒有f'(x)>0,则函数f(x)在R上单调递增； 当a>0时，由f<0,得x<n号由f川到>0，得x>2n, 1,a 即函数f(x在 上单调递减，在 加g*网 上单调递增； 2 2 所以当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为-0，+o)，无单调递减区间；当a>0时，函 数约单调运诚区何为（》单调区为： (2)方程f(x-2=0,即e2x-ax=0,当x=0时，方程不成立，则a=e: 令gy=心“，依题高，方程-2=0有两个不等实根，即直线y=a与y=g的图象 有两个交点， 果特得g树-2-川e,当x<0成0<x<时，g到刘<0，当x>号时，8>0 所以函数gx)在(-o0,0), 上单诚，在行+ 上单调递增， 面当x<0时，g到<0，当>0时，8到>0，且当=，8刘取得报小值g日=2， 1 作出函数，y=g(x)的大致图象，如图， =g(x)/ y=a 2e 观察图象，当a>2e时，直线y=a与函数y=gx的图象有两个交点， 所以a的取值范围为(2e,+oo). 18.(1)因为直线x=1被椭圆C所截得的线段的长为3， 断以连稻腿上代入存二+2力 三1， a 62 a2-b2 解得少 1 a2= -=1 43 (2)设点M(1,t)，E(x,y1),F(x2,y2, 设Z:x=my+4, 「x2y2 由4+3=l得3m2+41y2+24my+36=0, x=my+4 由△>0，得(24m)2-4×36×3m2+4>0,解得m>2或m<-2, 又点E,F在x轴下方，则m>2, -24m 36 由韦达定理得乃+片=3m2+4'%少3m产+4 得2=二23m,即2myy2=3y,+y, 因为k={,k,=2 x1-1 2-1 所以k+k,=占=+五-‘-y-(s-+(s-(-1 x-1x2-1 (x-1(x2-1 -（y-t(m%,+3)+(my+3(y2-) (1y,+3)(my2+3) =2my+(3-m)(y+2)-6t m2yy2+3m(y1+y2)+9 -tm(y1+y2)-6t -2 20++9, 所以k+k2不是定值， o围政，加，去行吾-， 由位得=-子-=--同=+5. 则宣拨E约方程海y-=（子+x-小， 即3y-3V3x+3V3=t8-5x, 当x= 时，得y=35 所以ME必过定点 35 11.225 19.(1)由题意得卫=二×。+二×二= 33339 (2)当n≥2（n∈N)时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为qn,则没有“黑币”的概率为1-P。-9m, 2 +号；引 又R-号40，改2引为等比数列，故R(R-引()， 〔 (3)由题X,的可能取值为0,1,2，其概率分布列为： X。 0 1 2 P 1-P。-9 P。 9n 依题意，P(X。=0)=P(X。=2)即1-Pn-9n=9n·于是Pn+2gn=1 故E(Xm)=0×(1-Pn-9n）+1×Pn+2×gn=Pn+2gn=1.