精品解析：陕西西安市某校2025-2026学年高三下学期第十次模拟考试数学试卷

陕西省西安中学高2026届高三第十次模拟考试 数学试题 （时长：120分钟 满分：150分 ） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答. 【详解】解不等式，得，因此， 所以集合的子集个数为. 故选：C 2. 已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由复数的除法和复数的几何意义可得. 【详解】由复数的除法得， 又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得. 3. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可得：， 整理可得：， 根据数量积定义可得：， 又因为， 所以， 又因为为非零向量，所以， 所以等式约去，整理可得：. 4. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用抛物线得到焦点坐标，再通过抛物线的定义得到点的横坐标，进而求出纵坐标，最后利用三角形的面积公式算出答案 【详解】由可得焦点坐标为， 所以，所以代入抛物线可得， 因此的面积为. 5. 在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中， 平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，分别取的中点，连， 则， ∴即为异面直线和所成的角（或其补角）． 又由题意得，. 设，则. 又, ∴为等边三角形， ∴， ∴异面直线AC与BD所成角为，其余弦值为．选A． 点睛： 用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 6. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 则， 所以数列的前项和为 . 7. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入该函数，可求出的值，再根据函数图象平移的坐标变化规律，可写出点的坐标，进而得到关于的等式，最后等式转化为同名三角函数，再结合三角函数的周期性，求出的最小值. 【详解】点在上，代入， 得：， 点向左平移个单位，纵坐标不变，横坐标减，得， 因为点在的图象上， 所以， 化简得：， 解得， 因为，取，得最小正值. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B. 数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C. 数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D. 数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据众数的概念，可判断A的正误；根据极差的求法，可判断B的正误；根据百分位数的求法，可判断C的正误；根据平均数、方差的性质，可判断D的正误. 【详解】选项A：数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4，故A正确； 选项B：数据7，9，12，15，9，14，18的极差是18-7=11，故B正确； 选项C：数据2，3，3，5，7，8，9共7个，， 则该组数据的第百分位数为7，故C错误； 选项D：数据，的平均数为， 方差为，故D正确. 10. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 【答案】ACD 【解析】 【详解】对A：因为恒成立， 所以当时，；当时，；当时，. 所以函数有且仅有一个零点，故A正确； 对B：因为， 当时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 对C：由B可得. 设，易知在上单调递增，且，， 所以存在，当时，. 当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增. 所以存在唯一极值点，故C正确； 对D：由C，， 且， 所以，因为，所以. 所以，故D正确. 11. 已知等差数列的公差，为数列的前项和，对给定的且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当，时， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式写出不等式，利用不等式的性质解题. 【详解】对于A，当时， ， 因为 ，，所以 ， 又因为，， 所以 ，故A错误； 对于B，当时， ， 若，则 ， 若，则 ，故B正确； 对于C，当时，， 若，则，因为，与题目条件矛盾， 若，则，，，故C错误； 对于D，当时， ， 又因为 ，代入可得： ，， 所以 ，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_______. 【答案】2 【解析】 【详解】由二倍角的正弦、余弦公式，且，所以， 得： . 13. 在的展开式中的系数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先变形，再根据展开式的通项公式整理，令的指数为7，进而可求解. 【详解】， 因为展开式的通项公式为， 又因为展开式的通项公式为， 则 ， 令，则，，， 所以当，对应的项为， 当，对应的项为， ∴所以的展开式中含的项的系数是. 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且． （1）证明：； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)由已知利用正弦定理可得，，代入已知等式即可证明． (2)由(1)可得，两边平方，可得，由余弦定理可得，可得，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴，可得，， 又∵， ∴， 整理可得：，得证． 【小问2详解】 ∵，得，两边平方，可得， 由余弦定理，可得，可得， 可得， 解得，或(舍去)， ∴的面积． 16. 已知三次函数，，若函数的图象在处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求解； （2）构造函数，利用导数求出的最大值，然后求解绝对值不等式即可. 【小问1详解】 因为，直线的斜率为 所以，故， 解得， 由于切点坐标为，即，所以， 解得， 所以 ， 【小问2详解】 令，则 所以， 令，则或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在内取得最大值， 因为存在，使得成立，即使得成立， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17. 如图所示，正四棱锥的底面边长为，延长CD到点，使，连接. （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，点是线段上的动点，记与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理及平行公理可得； （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，利用线面角的向量求法，结合的取值范围可得的取值范围，从而得到的最大值.. 【小问1详解】 由题意得，点是正方形的中心，所以平面. ∵平面，∴. ∵正方形中，， 平面， ∴平面PAC. ∵四边形中，∥， ∴四边形是平行四边形，∴∥，. ∴平面. 【小问2详解】 ∵平面，平面， ∴. ∵，∴两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意知，， ∴，. ∴， ∴. 设平面的法向量为， 则， 令，则， ∴平面的一个法向量为. 设，则. 记与平面所成的角为，则. 由，得，所以， ∴， ∴的最大值为，此时，点与的中点重合. 18. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. （1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； （2）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； （3）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3）随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【小问1详解】 小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. 【小问2详解】 设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. 【小问3详解】 由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为2，过作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. （1）求双曲线方程； （2）若面积为3的的三个顶点均在上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线与在轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线上是否存在点满足，且？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意由双曲线离心率公式、通径公式进行求解即可； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【小问1详解】 过右焦点作垂直于轴的直线，所以令，解得，所以有 ① 又由离心率为2，得 ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． 【小问2详解】 设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知， 由题可知直线斜率不能为0，可设为， 联立方程，得，化简整理，得， 所以且，且， 所以 ，解得， 所以直线的方程是或． 【小问3详解】 若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得，设，， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解不等式组得：， 设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时与交点为）． 因为，，且，取中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，， 依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分 经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安中学高2026届高三第十次模拟考试 数学试题 （时长：120分钟 满分：150分 ） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，涂写在本试卷上无效. 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中， 平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若在函数的图象上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错或不选的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B. 数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C. 数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D. 数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 10. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 11. 已知等差数列的公差，为数列的前项和，对给定的且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_______. 13. 在的展开式中的系数为_______. 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且． （1）证明：； （2）求的面积． 16. 已知三次函数，，若函数的图象在处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 17. 如图所示，正四棱锥的底面边长为，延长CD到点，使，连接. （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，点是线段上的动点，记与平面所成的角为，求的最大值. 18. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. （1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； （2）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； （3）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为2，过作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. （1）求双曲线方程； （2）若面积为3的的三个顶点均在上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线与在轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线上是否存在点满足，且？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $