精品解析：2026年宁夏回族自治区中卫市第三中学九年级五月份学情诊断数学试题

中卫三中九年级五月份学情诊断 数学学科 （满分120分，时间120分钟 ） 一、选择题（8×3=24分） 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年，国产动画电影收获了一份令人欣喜的成绩单：全年电影票房排名前十位中，动画电影占4席，动画电影票房突破250亿元．将250亿用科学记数法表示应为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两？（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 8. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（8×3=24分） 9. 因式分解：=___． 10. 一个反比例函数图象过点，则这个反比例函数的解析式是____________ ． 11. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______． 12. 若一次函数，y随x的增大而减小，则k的值可以是______．（写出一个即可） 13. 方程有增根，则的值是________． 14. 设方程的正根介于整数与之间，则________． 15. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 16. 如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作正方形和正方形，M，N分别是对角线，的中点．当点P移动时，点M、 N之间的最短距离为___________ 三、解答题(共72分) 17. 计算： ． 18. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 19. 本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 27 18 27 28 29 31 32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： （1）补全条形图； （2）表中的 ， ， ； （3）已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 20. 在正三角形网格中，为格点线段，用无刻度直尺按要求作图． （1）在图1中作正； （2）在图2中作的垂线段． 21. 四边形如图所示． （1）尺规作图：分别在，，边上作点E，F，G，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，，求菱形的面积． 22. 毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为，(包带缝合处忽略不计)，该款毛毡包在制作时，需要为缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2(虚线为缝合时的走线位置)，求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 23. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 24. 如图，是的直径，弦交于点E，点F为延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，是的中线，且，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为D． （1）点A的坐标____________，点C的坐标____________ （2）求抛物线的解析式及点B，D的坐标； （3）探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E在上，点F、G在上，点H在上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由． 26. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫三中九年级五月份学情诊断 数学学科 （满分120分，时间120分钟 ） 一、选择题（8×3=24分） 1. “九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 2. 2025年，国产动画电影收获了一份令人欣喜的成绩单：全年电影票房排名前十位中，动画电影占4席，动画电影票房突破250亿元．将250亿用科学记数法表示应为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式，积的乘方法则逐一判断选项正误． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 4. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】展开图中有两个三角形，三个四边形，是三棱柱的组成， 这个几何体是三棱柱． 故选：B 5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴可得，即可判断D，则由不等式的性质得到，再根据不等式的性质即可判断A、B，根据有理数的乘法法则即可判断C． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴，，， 故B正确． 6. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两？（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题目中的两种分银情况建立方程组，每人分7两剩余4两，即总银两数等于分出的两加上剩余4两；每人分9两差8两，即总银两数比需要的两少8两，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：每人分7两，剩余4两，总银两数等于分出的两加上剩余的4两，即，变形后为， 每人分9两，差8两，总银两数比需要的两少8两，即， 将两个方程组合，得到． 故选：A． 7. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 8. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 二、填空题（8×3=24分） 9. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底. 【详解】解：原式. 10. 一个反比例函数图象过点，则这个反比例函数的解析式是____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设出反比例函数解析式，利用待定系数法，将点的坐标代入解析式求出的值，即可得到反比例函数解析式． 【详解】解：设这个反比例函数解析式为， 反比例函数图象过点， ，解得， 这个反比例函数的解析式是． 11. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的大小是______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查实际问题中的求角度，涉及平行线性质、邻补角、三角形外角性质等知识，先由邻补角定义，再由平行线性质得到中的两个内角，再根据图形中是的一个外角，利用外角性质即可得到答案，熟练掌握平行线性质及外角性质求角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， ， 一束平行于主光轴的光线， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 12. 若一次函数，y随x的增大而减小，则k的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的增减性即可得． 【详解】一次函数，y随x的增大而减小 则k的值可以是 故答案为：．（答案不唯一，即可） 13. 方程有增根，则的值是________． 【答案】0 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义确定增根的值，再代入整式方程计算即可得到的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得： ， 整理得 ， 原分式方程有增根， ， 解得， 把代入得： 解得． 14. 设方程的正根介于整数与之间，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用配方法解出的根后，利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则． 15. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 16. 如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作正方形和正方形，M，N分别是对角线，的中点．当点P移动时，点M、 N之间的最短距离为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质先确定为直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得，，设，通过斜边上的中线等于斜边的一半，分别表示出，，最后通过勾股定理表示出的长度，结合二次函数的性质求最值． 【详解】解：连接，， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵M，N分别是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，即为直角三角形， ∵，，， ∴，， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为4． 三、解答题(共72分) 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式化简规则、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简每一项，再合并同类项计算得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则计算即可化简，然后把符合题意的a的值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵，且为整数， ∴当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 19. 本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 27 18 27 28 29 31 32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： （1）补全条形图； （2）表中的 ， ， ； （3）已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【答案】（1）见解析 （2）27；；； （3）6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 【解析】 【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键． （1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可； （2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可； （3）用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据题意得，合格的人数为：人， ∴优秀的人数为：人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多， ∴， ∵优秀：； ∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人， ∴，， 故答案为：27；；； 【小问3详解】 6月份达到“优秀”的人数为：人， 3月份达到“优秀”的人数为：人， ∴人， ∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 20. 在正三角形网格中，为格点线段，用无刻度直尺按要求作图． （1）在图1中作正； （2）在图2中作的垂线段． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点C，连接、即可； （2）取格点G、F，连接交于D，再取格点E，连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 证明：如图， ∵正 ∴，， 由题意知：， ∴ ∴ ∴ ∴是正三角形． 【小问2详解】 解：如图所示，线段即为所求． 证明：如图，连接，， 由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的判定与性质，正三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．利用网格特征，正确作出图形是解题的关键． 21. 四边形如图所示． （1）尺规作图：分别在，，边上作点E，F，G，使四边形是菱形；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，再作线段的垂直平分线，分别交于、于、于，顺次连接A、E、F、G，由垂直平分线性质得四边相等，故四边形为所求菱形； （2）在菱形中，平分，故，再利用三角函数求出和，进而即可得，则可求出菱形的面积． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ，， ， 又， ， ， 又，， ∴， 在中，， 同理可计算得：， ， ． 【点睛】本题融合尺规作菱形、菱形性质与解直角三角形，以四边形为载体，通过角平分线、垂直平分线构造菱形，结合直角三角形计算面积，考查几何作图与计算能力，体现转化与化归、数形结合的数学思想． 22. 毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为，(包带缝合处忽略不计)，该款毛毡包在制作时，需要为缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2(虚线为缝合时的走线位置)，求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？ 【答案】该毛毡包的长、宽、高分别是，， 【解析】 【分析】设这款毛毡包的长、宽、高分别是，，，根据题意，得到长方形毛毡料的长为，宽为，列一元一次方程并求解，即可解答． 【详解】解∶设这款毛毡包的长、宽、高分别是，，， 根据题意，有长方形毛毡料的长为，宽为， 列方程，得， 解得． ，，． 答∶该毛毡包的长、宽、高分别是，，． 23. 如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）14分米 （2）2分米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； 【小问2详解】 如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 24. 如图，是的直径，弦交于点E，点F为延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，是的中线，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先推导出，，得到，即，即可解答； （2）作于点，求出，推导出，得到，继而推导出，得到，即可解答． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， 与都是弧所对的圆周角， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：作于点，如图 的半径为， ， ，， ， ， 即， ， 是的中线，， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为D． （1）点A的坐标____________，点C的坐标____________ （2）求抛物线的解析式及点B，D的坐标； （3）探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E在上，点F、G在上，点H在上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2），， （3）能，矩形面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）将与分别代入，求出相应的y值，x值，即可解答； （2）将，分别代入，得到抛物线的解析式为，令，求出，得到，再根据，得到顶点的坐标为，即可解答； （3）先求出直线的解析式为，设，则点E的纵坐标为，得到，继而推导出，得到矩形的宽，设矩形面积为，则，再根据抛物线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点， 当时，， 解得， ∴点 【小问2详解】 解∶将，分别代入代入，得∶， 解得∶ 抛物线的解析式为． 令，得，即． 解得， ∴， ， 顶点的坐标为． 【小问3详解】 解：能．理由如下： 设直线的解析式为． 将代入得： 解得 ∴直线的解析式为． 由矩形的边在x轴上，E在上，H在上，如图 设，则点E的纵坐标为， ∵点E在直线上， ， 解得， ∵点H在直线上，且H的纵坐标也为， ， 解得， ∴矩形的宽， 设矩形面积为，则： ，抛物线开口向下，对称轴为 ∴当时，S取得最大值，为 答：矩形面积的最大值为． 26. 已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的性质得出，进而判断出，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点在线段上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，利用线段的加减即可得出结论． 【小问1详解】 解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 成立．理由如下： 如图②，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以（1）中的结论仍然成立； 【小问3详解】 当点在线段上时，如图③，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点在线段上时，如图④，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $