精品解析：2026年宁夏银川一中光华校区九年级下学期第一次模拟考试数学试题

2025—2026学年第二学期第一次模拟测试 九年级数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题只有一个正确选项） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 7. 在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ） A. B. C. D. 8. 将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：_____． 10. 分解因式：_________． 11. 从，，，这四个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数的概率为_____． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 13. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个） 14. 如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 15. 如图，的半径为5，弦是圆上一点，则_____． 16. 如图，在中，，，，以为较长的直角边，按逆时针方向作，且，；再以为较长的直角边，按逆时针方向作，且，；…按此规律一直下去，则的长为______． 三、解答题（共6个小题，每小题6分，共36分） 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出向下平移4个单位长度得到的； （2）画出绕着点按顺时针方向旋转得到图形，写出的坐标_____； （3）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为． 20. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． （1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 四、解答题（共4个小题，共36分） 23. 如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点P为y轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 25. 如图，抛物线（）与轴交于、两点． （1）求抛物线表达式； （2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； （3）若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 26. 问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期第一次模拟测试 九年级数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每个小题只有一个正确选项） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则逐一验证各选项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【分析】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意 故选：． 2. 如图所示，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴特点判定式子符号，整式的运算，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴特点，整式的运算，确定符号即可求解． 【详解】解：根据图示可得，，则A选项错误，不符合题意； ，则B选项错误，不符合题意； ，则C选项错误，不符合题意； ，则D选项正确，符合题意； 故选：D ． 5. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 6. 如图，点A在图象上，轴于点B，且的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 根据题意可得，即得或，再根据图象分布的象限即可求解． 【详解】解：∵轴于点，的面积为， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象分布在一、三象限， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：， 由图象可代入得：， 解得：， ∴， 当，则 故选：A． 8. 将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ． 10. 分解因式：_________． 【答案】y（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解． 【详解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用． 11. 从，，，这四个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是概率与无理数的定义，理解无理数的概念和概率公式是解题的关键．根据无理数的定义，先判断出，，，这四个数中的无理数，再结合概率公式计算，即可求出抽出的数是无理数的概率． 【详解】解：根据题意，所有等可能的结果共有种，根据无理数的定义，四个数中只有是无理数，即抽出无理数的结果有种， 根据概率公式，可得抽出无理数的概率为． 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于等于0，列出不等式求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 其中，，， 代入得， 整理得， 解得， 综上，的取值范围为且． 13. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：，，， ∴≌（SAS）， 要使≌，添加一个条件是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 14. 如图，以等腰直角两锐角顶点A、B为圆心作等圆，与恰好外切，若，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出相等的边和角的度数，利用勾股定理求出，假设与的半径分别为，根据等圆和相切的性质得出，最后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 假设与的半径分别为，且与外切，两圆为等圆， ∴，， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和为． 15. 如图，的半径为5，弦是圆上一点，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论：当在优弧上时，过作于，求解，当在劣弧上时即为点，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，当在优弧上时，过作于，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当在劣弧上时即为点， 此时． 综上：为或. 16. 如图，在中，，，，以为较长的直角边，按逆时针方向作，且，；再以为较长的直角边，按逆时针方向作，且，；…按此规律一直下去，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明的面积，根据相似三角形的性质得，根据勾股定理得，则，根据勾股定理得，可得探究规律，可得结论． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ...， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 三、解答题（共6个小题，每小题6分，共36分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组解集的确定方法确定出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的确定方法是解题的关键，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出向下平移4个单位长度得到的； （2）画出绕着点按顺时针方向旋转得到图形，写出的坐标_____； （3）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、旋转变换、平移变换的性质． （1）依据向下平移4个单位长度，即可得到； （2）依据绕着点按顺时针方向旋转即可得到图形； （3）利用位似图形的性质，得出对应点位置进而得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求．的坐标； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】（1），； （2）补全条形统计图见解析； （3）人； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率的求法，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）根据对课程感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数，然后通过对课程感兴趣的学生人数除以总人数再乘以即可求出的值； （）由（）总人数减去人数，即可得到抽取部分学生对课程感兴趣的学生人数，然后补全条形统计图即可； （）用乘以对课程感兴趣的学生所占百分比即可求解； （）由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 此次被调查的学生总人数为（人）， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 抽取部分学生对课程感兴趣的学生有（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校对感兴趣的学生有人； 【小问4详解】 情况：列表格， 甲 乙 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴； 情况：画树状图， 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴． 21. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，E为的中点，连接并延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，解直角三角形： （1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线垂直，即可得证； （2）解，求出的长，勾股定理求出的长，即可． 【小问1详解】 ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵菱形， ∴． ∵矩形， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴． 22. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． （1）A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】（1）A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 （2）4种 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【小问1详解】 解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； 【小问2详解】 解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 四、解答题（共4个小题，共36分） 23. 如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明ODAC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线； （2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM； （3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2． 【小问1详解】 证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD＝∠DAC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴ODAC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． 【小问2详解】 证明：线段是的直径， ， ∴∠ADM＝180°－∠ADB＝， ∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝， ∵∠DAM＝∠DAB， ∴∠M＝∠ABM， ∴AB＝AM． 【小问3详解】 解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°， ∴∠BAM＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠DEM＝90°，ME＝1， ∴∠EDM＝30°， ∴MD＝2ME＝2， ∴BD＝MD＝2， ∵∠BDF＝∠EDM＝30°， ∴∠BDF＝∠F， ∴BF＝BD＝2． 【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点P为y轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数可得一次函数的关系式，再求出点，然后将点代入反比例函数可得答案； （2）先求出点，再设点，可得，然后根据求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与x轴相交于点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为； ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴点． 设点，则， ∴， 解得或， ∴点或． 25. 如图，抛物线（）与轴交于、两点． （1）求抛物线表达式； （2）若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； （3）若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为； （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可知，过点M作y轴的平行线，交于点N，由题意易得直线的解析式为，设，则，然后根据铅垂法可进行求解； （3）由题意可分当为对角线时，当或为对角线时，然后根据中点坐标公式可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， 解得：， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为，则令时，， ∴， 过点M作y轴的平行线，交于点N，如图所示： 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由题意可知：，设点， 当为对角线时，由中点坐标公式可得： ， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：或， ∴点D的坐标为或或； 综上所述：当以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 26. 问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）见详解（2）（3） 【解析】 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $