湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高一下学期数学模块综合测评卷

**基本信息** 衡阳县五中高一数学模块卷覆盖必修二全册，以分层题型考查复数、立体几何、统计等核心知识，通过四棱锥证明、频率分布直方图分析等题，体现空间观念、数据意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、统计、线面关系|基础概念辨析，如纯虚数定义、百分位数计算| |多选|3/18|概率、解三角形|情境化问题，如排球比赛五局三胜制概率分析| |填空|3/15|解三角形应用、几何体表面积|文化情境（十字歇山顶）与几何直观| |解答|5/77|立体几何证明、统计|综合考查推理能力，如四棱锥中点证明、频率分布直方图的平均数计算|

衡阳县五中2026年春高一模块综合测评卷 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 考试范围：人教A版必修二全册 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1.若复数是纯虚数，则实数m的值为( ) A.2 B.3 C.2或3 D.0或3 2.已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则( ) A.86 B.87 C.88 D.89 3.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使的充分条件是( ) A.， B.，， C.， D.， 4.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 5.如图，在矩形中，分别为的中点，G为中点，则( ) A. B. C. D. 6.已知向量，满足，，且，则( ) A. B. C.2 D.3 7.在中，已知，，，则( ) A.1 B. C.2 D. 8.的面积为S.若，，则角B等于( ) A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以领先，则下列结论正确的是( ) A.甲队获胜的概率为 B.乙队以获胜的概率为 C.乙队以获胜的概率为 D.乙队以获胜的概率为 10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，若，且，则( ) A. B. C. D. 11.如图，点A，B，C，P，Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面ABC的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）.若A船的航行速度为，后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距_________. 13.中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图①角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图②），这两个三棱柱有一个公共侧面.在底面中，若，，则该几何体的表面积为_____________. 14.已知正三角形ABC的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则.的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知，，. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16.（15分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 17.（15分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点. （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点. 18.（17分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组……第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4. （1）求第七组的频率； （2）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求. 19.（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F. （1）求证：平面BDE； （2）求证：F为PD的中点； （3）在棱AB上是否存在点N，使得平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 答案及解析 1.答案：A 解析：因为是纯虚数， 所以，则，所以. 故选：A. 2.答案：C 解析：这组数据共有10个数，，故，所以.故选C. 3.答案：D 解析：α与β位置关系不确定，可相交，可平行，A项不合题意； α与β不一定垂直，B项不符合题意； α与β可以平行，不一定垂直，C项不符合题意； ，则在平面α内存在直线，且，则，又，则，D项符合题意. 4.答案：D 解析：设2名男同学为，，3名女同学为，，，从以上5名同学中任选2人总共有，，，，，，，，，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况有，，，共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率.故选D. 5.答案：C 解析：连接，如图所示： 因为分别为的中点， 所以， ， 因为G为中点， 所以. 故选：C. 6.答案：C 解析：因为，，所以. 由，得，即， 整理得， 解得，或（舍去）. 故选：C. 7.答案：C 解析：在中，因为，，， 由余弦定理，即， 解得或（舍去）. 故选：C 8.答案：C 解析：根据题意知，由正弦定理边角互化可知， ， 化简可得，在中，所以，则， 所以得，由， 可得，，所以，所以. 故选：C. 9.答案：AB 解析：在乙队以领先的前提下，若甲队获胜，则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；乙队以获胜，即第3局乙获胜，概率为，故B正确；乙队以获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；若乙队以获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以获胜的概率为，故D错误.选AB 10.答案：ACD 解析：，，即，，. ，根据正弦定理可得，即，又，.，，，.故选ACD. 11.答案：BD 解析：对于A，如图，连接BD，则， 又平面，所以PQ不平行于平面ABC，故A不正确； 对于B，由题知，因为平面，平面ABC，所以平面ABC，故B正确； 对于C，如图，取FN的中点D，连接EF，MN，CD，BD，QD，CP， 易得，，，又，， 所以A，B，C，D，P，Q六点共面，故C不正确； 对于D，如图，连接PD，交AB于O，连接OC， 因为四边形APBD为正方形，所以O为PD的中点，又C为DQ的中点，所以OC是的中位线，所以，又平面，平面ABC，所以平面ABC，故D正确.故选BD. 12.答案： 解析：由题意，，， 由正弦定理，即，解得.故答案为：. 13.答案： 解析：如图所示，该几何体可视为两个直三棱柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题意可知，故， 故两个直三棱柱的表面积之和为， 两者有公共侧面，其面积为，而四棱锥的侧面积为，故该几何体的表面积为. 14.答案： 解析：如图所示，O为正三角形ABC内切圆圆心，OD为内切圆半径，在中，，，可求得内切圆半径.又PQ为圆O的直径，. 利用向量的线性表示可得，，， ， 又M为边上的动点，由图可知，当M为边的中点时，取得最小值，最小值为，即；当M为的顶点时，取得最大值，最大值为，即.的取值范围为. 15.答案：(1)(2)且 解析：(1)，， 又， ，， . (2)与的夹角为锐角， ，， ，，，，，. 又与不共线，，， 且. 16.答案：（1）证明见解析（2） 解析：（1）因为， 所以，即， 则，所以， 故， 化简得， 所以或， 又，所以. （2）由（1）知，又，，所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积. 17.解析：(1)证明：取中点G，连接，， 在中，因为E，G分别为所在边的中点，所以，且， 又因为底面ABCD为平行四边形，F为的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； (2)连接，交于H，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，在中，H为中点， 所以E为中点. 18.答案：（1）0.06 （2）中位数为，平均数为 （3） 解析：（1）第六组的频率为， 第七组的频率为. （2）由频率分布直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由，， 可设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则. 由，得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为， 平均数为 . （3）第六组的抽取人数为4，记所抽取的人为a，b，c，d. 第八组的抽取人数为， 记所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况. 因为当且仅当随机抽取的两名男生在同一组时事件发生， 所以事件E包含的样本点为，，，，，，，共7种情况. 所以. 19.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在点N使得平面BDE，且 解析：（1）证明：连接AC，交BD于G，连接GE，如图， 由四边形ABCD为平行四边形，知G为AC的中点， 又E为PC的中点，所以， 又平面，平面BDE， 所以平面BDE. （2）证明：由题设知，平面，平面ABEF， 所以平面ABEF， 又平面PDC，平面平面， 所以， 又E为棱PC的中点，所以F为PD的中点. （3）存在点N使得平面BDE，且，理由如下： 取AB的中点H，连接FH， 由题设知且，由（2）知且， 所以且，所以四边形BHFE为平行四边形， 所以，又平面，平面BDE， 所以平面BDE，故H点即为所求N点， 故AB上存在点N，使得平面BDE，且. 学科网（北京）股份有限公司 $