精品解析：四川成都外国语学校2025-2026学年上期期期末考试高一数学试卷

成都外国语学校2025—2026学年度上期期末考试 高一数学试卷 命题人：金鑫 审题人：方兰英 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．所有题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，故A错误； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，由，可得，故D正确. 故选：D. 2. 下列各图中，不能表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B 3. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】因为命题，所以是. 故选：D. 4. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 5. 已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再通过计算区间端点的函数值，利用零点存在定理确定零点所在的区间，进而得到的值. 【详解】因为函数的定义域为， 函数与函数均在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，即， 由函数零点存在定理知，的零点所在的区间为， 所以. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：B 7. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 8. 若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的周期性作出函数的图象，再作出的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】因为，且当时，关于对称， 所以的函数图象在上关于点对称， 又，所以的周期， 因此的图象关于点对称， 又的图象关于点对称， 所以在上的所有零点两两关于点对称， 作出与的函数图象如图所示： 由图象可知与在区间上有8个交点， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为第二象限角即可判断三角函数值的符号. 【详解】因为为第二象限角，则, 所以或或,所以B、C、D选项正确, 对于A选项 ，由于，所以该选项错误. 故选：BCD 10. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项. 【详解】函数是幂函数，则有， 所以，解得或，B选项正确，C选项错误； 或，则有是奇函数，，AD选项正确. 故选：ABD. 11. 已知是奇函数，则（   ） A. B. 在上单调递增 C. 的解集为 D. 的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，列出方程，求出参数值，判断选项A的正误；根据复合函数单调性，判断选项B的正误；根据基本初等函数的性质，对函数解析式进行分离常数，判断函数值域，判断D的正误；根据函数单调性，解不等式即可，判断C的正误. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立，即， 化简得，得，故A正确； 可得，记，， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 因为，且在上单调递减， 所以，等价于，即， 因为单调递减，所以， 所以的解集为．故C错误； 因为且，所以且，所以或， 所以或，所以的值域为，故D正确． 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________ 【答案】8 【解析】 【分析】利用对数运算法则和指数幂的性质求解即可. 【详解】 。 故答案为：8. 13. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，设该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为______． （参考数据：，） 【答案】3 【解析】 【分析】由，可得.再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故答案为：. 14. 若定义在上的函数同时满足①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到是上的减函数，再由为奇函数，得到，得到函数为偶函数，结合，进而求得不等式的解集. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意的，且，都有， 不妨设，可得， 所以，所以函数是上的减函数， 又因为为奇函数，即任意，都有， 则，所以函数为偶函数， 因为，则，则， ，解得或， 则不等式的解集为. 因为，则不等式的解集与不等式的解集相同，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集， ，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集的定义运算； （2）由已知得，再由集合的包含关系求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 若，则， 因为，所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以， 即实数m的取值范围是． 16. 已知，且为第三象限角. （1）求的值； （2）已知函数. ①求函数的最小正周期及单调递减区间； ②求在区间上的最大值和最小值； 【答案】（1） （2）①，；②最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①先结合题意求出，进而利用正弦函数的性质求解最小正周期，利用整体代入法求解单调递减区间即可，②利用正弦函数性质求解在给定区间的最值即可. 【小问1详解】 因为，且为第三象限角， 所以. 【小问2详解】 ①由题意得， 因为，所以，则最小正周期， 由，解得． 则函数的单调递减区间为. ②因为，所以， 所以当时，，当时，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 某精工企业利用AI技术做了某产品前期生产和市场模拟，得到结论：生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品能全部销售完. （1）求年利润万元与年产量万件的关系式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为50万件时，公司所获年利润最大，最大年利润为2200万元 【解析】 【分析】（1）根据题设函数结合题意求解即可； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意知 . 【小问2详解】 当，且时，， 当时，； 当，时，， 当且仅当，即时取“”，此时. 综上，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，最大年利润为2200万元. 18. 已知函数. （1）若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；② （2）存在， 【解析】 【分析】（1）①将点代入函数求出； ②先根据得到关于的方程，再利用分离参数法得到，结合函数的单调性求出的取值范围； （2）先对函数进行化简，再根据对数函数的性质分析其最小值情况，进而确定的取值范围. 【小问1详解】 ①因为函数的图象经过点， 所以， 所以 由为单调递增函数，解得； ②， 因为，所以，即， 整理得. 因为当时，函数单调递减，所以， 所以使方程在上有解的实数的取值范围是； 【小问2详解】 由题意得， 当时，令，解得，所以的定义域为， 令，则为增函数，所以函数是增函数， 所以在上单调递增，无最小值； 当时，在上单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，又因为函数是增函数， 所以， 解得. 综上，存在实数使得存在最小值，且最小值小于， 此时实数的取值范围为. 19. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数、，对于定义域内任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”. （1）判断函数是否属于集合，并说明理由； （2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”； （3）若、都是函数的“伴随数对”，当时，，当时，，求当时，函数的解析式和的零点． 【答案】（1）不属于，理由： 的定义域为， 假设存在实数，对于定义域内的任意均有成立， 即所以不为定值，所以不属于 （2） （3）， 零点为 【解析】 【分析】（1）由“伴随数对”的定义判断即可； （2）由“伴随数对”的定义求解即可； （3）由题意可得函数的周期为，求出函数在上的解析式以及零点，即可得函数在上的解析式及的零点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的定义域为， 假设存在实数，对于定义域内的任意均有成立， 则，化为， 由于上式对于任意实数x都成立：，解得 是函数的“伴随数对”， 【小问3详解】 都是函数的“伴随数对”， ，， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，此时， ， 由= 所以 由得零点是 由得无零点 当时，函数的零点为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2025—2026学年度上期期末考试 高一数学试卷 命题人：金鑫 审题人：方兰英 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．所有题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 4．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，不能表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 4. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为第二象限角，则下列正确的有（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. C. D. 是奇函数 11. 已知是奇函数，则（   ） A. B. 在上单调递增 C. 的解集为 D. 的值域为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________ 13. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，设该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为______． （参考数据：，） 14. 若定义在上的函数同时满足①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集， ，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 16. 已知，且为第三象限角. （1）求的值； （2）已知函数. ①求函数的最小正周期及单调递减区间； ②求在区间上的最大值和最小值； 17. 某精工企业利用AI技术做了某产品前期生产和市场模拟，得到结论：生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品能全部销售完. （1）求年利润万元与年产量万件的关系式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数. （1）若函数的图象经过点. ①求实数的值； ②设，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得存在最小值，且最小值小于？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由． 19. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数、，对于定义域内任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”. （1）判断函数是否属于集合，并说明理由； （2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”； （3）若、都是函数的“伴随数对”，当时，，当时，，求当时，函数的解析式和的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $