命题大赛 山东省2025-2026学年高一下学期数学期末模拟数学练习

**基本信息** 高一下学期期末数学检测，以航天器轨道校准、有机燕麦消费调研等真实情境为载体，融合复数、统计、立体几何等知识，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数几何意义、统计量（中位数/方差）、空间线面关系|第7题结合消费调研数据，考查数据观念与图表分析| |填空题|3题15分|复数方程、向量叉乘模、正多边形与圆|第13题定义叉乘模，考查数学抽象与运算能力| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何（线面垂直/线面角）、统计案例、曲率创新应用|第19题引入曲率概念，结合欧拉公式考查创新思维与逻辑推理|

双向细目表 2025级高一下学期数学学科素养水平检测双向细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的共轭复数、复平面内点的坐标表示 0.85 2 单选题 5 统计数据的数字特征（极差、众数、中位数、方差） 0.8 3 单选题 5 平面向量垂直的坐标表示、向量数量积运算 0.75 4 单选题 5 空间直线与平面的位置关系、线线平行的充分条件判定 0.75 5 单选题 5 平面向量的线性运算、坐标运算综合 0.65 6 单选题 5 圆柱与圆锥的体积、表面积综合计算 0.7 7 单选题 5 统计图表分析、数据占比与中位数计算 0.45 8 单选题 5 正四棱锥的外接球、空间距离最值问题 0.5 9 多选题 6 样本数据的数字特征（百分位数、平均数、四分位数、方差） 0.6 10 多选题 6 正余弦定理、解三角形综合（解的个数、角平分线、中线、三角值域） 0.55 11 多选题 6 正方体的截面、异面直线所成角、二面角、空间距离最值 0.5 12 填空题 5 复数的运算、实系数一元二次方程的虚根共轭性质 0.75 13 填空题 5 平面向量的新定义运算、数量积与模的最值求法 0.55 14 填空题 5 平面向量综合、单位圆与正多边形、向量模的最值问题 0.5 15 解答题 13 平面向量综合、向量数量积、夹角计算与三角形面积求解 0.8 16 解答题 15 正余弦定理的综合应用、三角形面积的取值范围求解 0.7 17 解答题 15 频率分布直方图、统计计算、分层抽样与概率求解 0.65 18 解答题 17 空间几何的线面平行、线面垂直证明与线面角计算 0.55 19 解答题 17 新定义（曲率）、欧拉公式、空间几何综合与轨迹问题 0.35 $ 2025级普通高中学科素养水平检测考试（模拟） 数学参考答案 2026.6 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B A C D C B 二、选择题： 9 10 11 AB ABD ABC 3、 填空题： 12. 13. 2 14. 4、 解答题： 15.【解析】(1) 证明： （1分） （2分） （4分） （5分） （7分） （9分） .（12分） 即：若，则面积为.（13分） 16. 【解析】（1）， 故，即（2分） 故，（4分） 且，故.（6分） （2）由正弦定理得， ，（9分） 因为是锐角三角形，. 故，即（11分） 所以，故，（13分） 所以，（14分） 故面积的取值范围为.（15分） 17.【解析】（1）由题意得，（2分） 由图可得：，解得.（4分） （2）设受表彰的学生的最低分是， 频率为 频率为 故，且，解得，（6分） 故受表彰的学生的最低分是.（7分） （3） ）由分数在和）内的频率之比为， 故从成绩在和内的学生中共抽取6人，（8分） 则在内抽取2人，记为 在内抽取4人，记为 再从这6人中选取2人进行个案分析，抽取的样本空间为： ，共15个样本点，（12分） 这2人中恰有1人成绩在内的有： ，共8个样本点.（15分） 18. 【解析】（1）直线和直线相交，故四点共面，（1分） 四棱锥中，，平面， 平面，故平面，（3分） 因为平面平面，平面， 故.（5分） （2）（i），，故，（6分） 故，（7分） 所以，故，（8分） 因为平面，平面， 故，且，平面， 故平面.（10分） （ii）因为，E为的中点， 故F为的中点，且， 故，（11分） 因为平面，平面， 故，且，平面， 故平面，（13分） 故是直线与平面所成的角，（14分） 因为，， 所以 所以即，（16分） 故直线与平面所成的角为.（17分） 19. 【解析】（1）该多面体任取一顶点连接3个正三角形和1个正五边形，则该点的曲率为.（2分） （2）梯形性质分析​：由于梯形是等腰梯形，处的内角互补. 设梯形在的内角为，在的内角为，则. 但是根据曲率差的条件，. 解方程组：.​（4分） 从点向下底作垂线，交于，上下底中点分别为. 由于上底，下底， ∴，∴，（5分） 设上下底面的中心分别为，在下底面内的射影为，则分别在上， 且， 计算得， ，（7分） ， ， ∴为的交点，由于∴，（8分） ∴点D的轨迹为如图所示的以为圆心，以为端点，半径为圆弧， 轨迹的长度为.（10分） （3）​多面体由个正三角形和个正五边形组成，边长相等，各顶点曲率之和为4π. 每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同（顶点传递性）. ​欧拉公式​：对于凸多面体，欧拉公式，其中是顶点数，是边数，是面数.这里. ​曲率总和​：根据题目，曲率总和为. ​顶点均匀性​：题目要求每个顶点相同，意味着多面体是顶点传递的，且每个顶点周围的配置相同. ​面角计算​：正三角形的内角为，正五边形的内角为. ​顶点曲率​：设每个顶点周围有个正三角形和个正五边形. 由于顶点相同，所有顶点配置相同，面角总和为，曲率为. ​顶点数​：由于所有顶点相同，曲率总和为，因此，. ​边数计算​：每个正三角形有3条边，每个正五边形有5条边，但每条边被两个面共享，总边数. ​顶点配置​：由于多面体是顶点传递的，每个顶点有相同的边数（即相同的面数）. 设每个顶点周围有个面，. 由于每条边连接两个顶点，，但是，，因此，. ​结合欧拉公式​：，得. ​解方程组​：我们有以下方程： ， ， ， ，（11分） 由于每个顶点相同，我们需要考虑可能的值. ​枚举值​：常见的多面体顶点面数满足， ∴只能为3，4，5等.（12分） ​：. 可能的组合：：解得，，不满足题目要求； ：2个三角形和1个五边形，得，非整数，舍去. ：1个三角形和2个五边形，得，非整数，舍去. ：全五边形，不可能，因为三个五边形无法闭合（）.（13分） ：：全三角形，如八面体，解得，，舍去. ：3个三角形和1个五边形，解得. 现在，. . 解方程组： ， 解得：. 因此，.（12分） ：2个三角形和2个五边形，得. ， . ：1个三角形和3个五边形. ，舍去. ：全五边形，不可能.（15分） ​ ：：4个三角形和1个五边形. . . ， ∴ ∴. ：3个三角形和2个五边形. ，舍去. 其他组合导致为负数或非整数. ​：，方程组无解. 因此，多面体面数的所有可能取值为12，32和92.（17分） 高一数学试题参考答案 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期普通高中学科素养水平检测考试 数 学 2026.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 A. B. C. D. 2. 投掷质地均匀的骰子 4 次，记下每次正面向上的点数 ，下列说法正确的是 A. 极差可能是 6 B. 众数可能是 0 C. 中位数可能是 2.5 D. 方差不可能为 0 3. 已知，，若，则 A． B．2 C． D． 4. 直线 平行的一个充分条件是 A. 都垂直于同一个平面 B. 与同一个平面所成的角相等 C. 都平行于同一个平面 D. 都垂直于同一条直线 5. 航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标 的卫星进行三次平移（单位：km）：第一次沿向量 补偿平移；第二次沿向量 修正平移；第三次沿向量 校准平移。若卫星最终准确到达指定坐标 的同步轨道点，则实数 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为 3，圆锥的高为 4，若该几何模型的体积为 ，则其表面积为 A. B. C. D. 7. 随着消费者对食品安全和健康饮食的关注度的提升，中国有机燕麦作为有机食品中营养价值较高的产品，受到消费者青睐，下图为中国有机燕麦消费者调研样本构成，根据该图分析，下列说法正确的是 A．中国有机燕麦消费者中女性不超过男性的2倍 B．超过的中国有机燕麦消费者月收入不高于15000元 C．超过半数的中国有机燕麦消费者年龄在31~40岁 D．中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是33.0% 8. 已知正四棱锥 的底面边长为 2，侧棱长为 ，外接球的球心为 ，若点 是正四棱锥 的表面上的一点，则 的最小值为 A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：5,7,4,3,5,7,7,6,4,2，则该组数据 A. 80 百分位数是 7 B. 平均数是 5 C. 上四百分位数是 4 D. 方差是 3.5 10. 已知的三个内角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是 A．若，且只有一解，则的取值范围为 B．若点在边上，为角的角平分线且长度为，则 C．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 D．的取值范围是 11. 在棱长为 1 的正方体 中，E、F 分别是 、 的中点，P 是线段 上的动点，则 A. 过 A、E、F 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 异面直线 和 所成的角可以为 90° C. 当 P 为中点时，二面角 的正切值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若 是关于 的方程 的一个根，则 ____. 13. 已知两个非零向量 与 的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与 的叉乘的模，记作 ，即 。若 ，，则 的最小值为_____. 14. 已知正 边形 内接于单位圆 ，且满足 的顶点 恰有 个.若等腰直角 （为直角顶点） 的顶点 在圆 上，并考虑所有满足要求的正 边形与等腰直角 ，则 的最大值为 ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知 所在的平面内一点 ，满足：，. (1) 证明：向量 两两所成角相等； (2) 若 ，求 的面积. 16.(15分) 已知 是锐角三角形，内角 所对的边分别为 ，且. (1) 求 ； (2) 若 ，求 面积的取值范围. 17. (15分) 某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. (1)求m，n的值； (2)学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? (3) 若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在 和 内的学生中共抽取 6 人查看他们的答题情况，再从这 6 人中选取 2 人进行个案分析，求这 2 人中恰有 1 人成绩在 内的所有可能情况. 18. (17分) 如图，四棱锥 中， 平面 ，，，E 为 的中点，点 F 在棱 上，直线 和直线 相交. (1) 求证：； (2) 若 ，，. (i) 证明： 平面 ； (ii) 求直线 与平面 所成的角. 19. (17分) 在数学上用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体某顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中面角是多面体的面的内角（角用弧度制表示）．例如：对于正四面体任意一个顶点，每个面角均为，所以正四面体在该顶点的曲率为． (1) 如图1，该多面体由边长相等的10个正三角形和2个正五边形围成，任取一顶点，求该点的曲率； (2) 如图2，在正三棱台中，，，点A与处的曲率之差为π．若D为侧面（含边界）内一动点，且直线BD与平面所成角的正切值为2，求动点D的轨迹长度； (3) 某多面体由边长相等的个正三角形和个正五边形围成，若各顶点的曲率之和为4π，且每个顶点与其相连接的棱所形成的空间图形均相同（图3为满足条件的两个多面体示例），求该多面体面数的所有可能取值．(注：对于凸多面体，欧拉公式，其中是顶点数，是边数，是面数.) 高一数学试题 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $